Esercizio 66reticolo illuminato con luce bianca e ordine mancante

(a) Gli ordini

Condizione dei massimi principali del reticoloMassimi principali dove le onde di tutte le fenditure sono in fase: passo per sin θ = mλ.Diffrazione da una fenditura e reticolo →: $a\sin\theta = m\lambda$. Nella stessa direzione $\theta$, per tutte e tre le lunghezze d'onda $a\sin\theta$ è lo stesso numero, quindi

$$m_1\lambda_1 = m_2\lambda_2 = m_3\lambda_3$$

Uso di $m_2 = m_1 - 1$.

$$m_1\lambda_1 = (m_1 - 1)\lambda_2 \quad\Longrightarrow\quad m_1(\lambda_2 - \lambda_1) = \lambda_2 \quad\Longrightarrow\quad m_1 = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} = \frac{466{,}7}{66{,}7} = 7$$

Quindi $m_2 = 6$ e

$$m_3 = \frac{m_2\lambda_2}{\lambda_3} = \frac{6 \cdot 466{,}7}{700} = 4$$

Ha senso: la lunghezza d'onda più corta compare all'ordine più alto.

(b) Passo del reticolo

$$a = \frac{m_1\lambda_1}{\sin\theta} = \frac{7 \cdot 400\ \text{nm}}{0{,}5} = 5{,}60\ \mu\text{m}$$

(circa 179 righe per millimetro). Controllo: $6 \cdot 466{,}7/0{,}5 = 4 \cdot 700/0{,}5 = 5600\ \text{nm}$.

(c) Larghezza minima delle fenditure

Chi manca. A $30°$ si ha $a\sin\theta = 2800\ \text{nm}$; le lunghezze d'onda che danno un massimo principale lì sono $2800/m$:

Nell'intervallo visibile ($390$–$780\ \text{nm}$) cadono gli ordini 4, 5, 6, 7. Ma si osservano solo 4, 6, 7: l'ordine 5 ($560\ \text{nm}$, luce verde) manca.

Perché manca. Le fenditure hanno una larghezza $b$, e ognuna produce la propria figura di diffrazione con minimi a $b\sin\theta = n\lambda$. Un massimo principale sparisce se cade su un minimo di diffrazione (un ordine mancanteIl massimo principale a sin θ = mλ/a cade su un minimo di diffrazione b sin θ = nλ: succede quando m/n = a/b.Diffrazione da una fenditura e reticolo →):

$$a\sin\theta = 5\lambda \quad\text{e}\quad b\sin\theta = n\lambda \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{a} = \frac{n}{5}$$

Il valore più piccolo si ha con $n = 1$:

$$b_{\min} = \frac{a}{5} = 1{,}12\ \mu\text{m}$$

Con $b = a/5$ mancano anche gli ordini 10, 15, ... (fuori dal visibile in questa direzione), mentre 4, 6, 7 non cadono su minimi di diffrazione, coerentemente con i dati.

(d) Separazione del doppietto del sodio

Criterio di Rayleigh. Il massimo principale di ordine $m$ per $\lambda_b$ deve cadere almeno sul primo minimo accanto al massimo di ordine $m$ per $\lambda_a$. Il primo minimo dopo un massimo principale è a $\frac{N\delta}{2} = mN\pi + \pi$, cioè a $a\sin\theta = \left(m + \frac1N\right)\lambda_a$. La condizione è

$$m\lambda_b \geq \left(m + \frac1N\right)\lambda_a \quad\Longrightarrow\quad m(\lambda_b - \lambda_a) \geq \frac{\lambda_a}{N} \quad\Longrightarrow\quad m \geq \frac{\lambda_a}{N(\lambda_b - \lambda_a)} = \frac{589}{200 \cdot 0{,}6} = 4{,}9$$

È il potere risolutivoUn reticolo di N fenditure all'ordine m separa due righe se λ/Δλ ≤ mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo → $\lambda/\Delta\lambda \leq mN$ con $\lambda/\Delta\lambda = 982$ e $N = 200$.

L'ordine 5 manca. Il primo intero che soddisfa la condizione sarebbe $m = 5$, ma l'ordine 5 è soppresso dalla diffrazione (la condizione $b/a = 1/5$ non dipende dalla lunghezza d'onda). Quindi il doppietto si vede separato a partire da

$$m_R = 6 \qquad (\sin\theta = 6 \cdot 589/5600 = 0{,}63)$$

Verifica numerica

import numpy as np
l1, l2, l3, th, N = 400e-9, 466.7e-9, 700e-9, np.pi/6, 200
m1 = round(l2/(l2 - l1)); m2 = m1 - 1; m3 = round(m2*l2/l3)
a = m1*l1/np.sin(th)
print(m1, m2, m3, a)                             # 7 6 4, 5.6e-6 m
print([round(a*np.sin(th)/m*1e9) for m in range(3, 9)])   # 933 700 560 467 400 350
print(a/5)                                       # 1.12e-6 m
la, lb = 589e-9, 589.6e-9
print(la/(N*(lb - la)), 6*la/a)                  # 4.9, 0.63

Risultati

Errori comuni

• Non accorgersi dell'ordine mancante: il dato "soltanto tre lunghezze d'onda" serve proprio a trovare $b$.
• Prendere $m_R = 5$: quell'ordine non esiste per questo reticolo.
• Confondere passo e larghezza: i massimi principali dipendono dal passo, i minimi di diffrazione dalla larghezza.