Polarizzatori e legge di Malus

Prerequisiti: la polarizzazione delle onde in Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →. La polarizzazione per riflessione è in Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →. Esercizi: Esercizio 55 · due polarizzatori e trasmissione a 45 gradi, Esercizio 56 · fascio in parte polarizzato e in parte naturale tra due polarizzatori, Esercizio 57 · tre polarizzatori e riflessione della componente sigma, Esercizio 58 · due onde incoerenti tra due polarizzatori e uno specchio.

Luce polarizzata e luce naturale

Ricordiamo che la polarizzazione è la direzione in cui oscilla il campo elettrico. La luce di una lampadina o del Sole è naturale (non polarizzata): è la somma di moltissimi treni d'onda emessi indipendentemente dai singoli atomi, ciascuno con una sua polarizzazione, che cambia in modo casuale in tempi brevissimi. Nessuna direzione perpendicolare al raggio è privilegiata.

Si ottiene luce polarizzata linearmente in due modi principali:

• per riflessione all'angolo di Brewster (la luce riflessa è tutta σ);
• per assorbimento selettivo (dicroismoProprietà di alcuni materiali di assorbire la luce in modo diverso a seconda della direzione del campo elettrico. Nei Polaroid si ottiene con lunghe catene di molecole allineate.) con un polarizzatore.

Il polarizzatore

Un polarizzatore (per esempio un foglio di Polaroid) è una lamina sottile che contiene lunghe molecole allineate tutte nella stessa direzione, lungo le quali gli elettroni possono muoversi. La componente del campo elettrico parallela alle molecole mette in moto gli elettroni e cede loro energia: viene assorbita. La componente perpendicolare non trova elettroni liberi di muoversi e passa. La direzione di trasmissione, perpendicolare alle molecole, si chiama asse ottico (o asse di trasmissione) del polarizzatore.

Un polarizzatore ideale trasmette per intero la componente lungo l'asse e assorbe per intero l'altra, senza riflessioni.

Legge di Malus

Un'onda polarizzata linearmente, di ampiezza $E_0$ e intensità $I_0$, incide su un polarizzatore il cui asse forma l'angolo $\theta$ con la direzione di $\vec E$. Si scompone il campo lungo l'asse e perpendicolarmente:

$$E_\parallel = E_0\cos\theta \ \ (\text{passa}), \qquad E_\perp = E_0\sin\theta \ \ (\text{assorbita})$$

L'onda uscente ha ampiezza $E_0\cos\theta$ ed è polarizzata lungo l'asse del polarizzatore. L'intensità è proporzionale al quadrato dell'ampiezza ($I = E_0^2/2Z_0$), quindi

Legge di Malus. $$\boxed{I = I_0\cos^2\theta} \qquad \text{(legge di Malus)}$$

dove $\theta$ è l'angolo tra il campo elettrico incidente e l'asse ottico. Casi notevoli: $\theta = 0$, passa tutto; $\theta = 90°$, non passa niente; $\theta = 45°$, passa metà. L'energia che non passa è assorbita dal polarizzatore (che si scalda).

Esempio. Luce polarizzata con $I_0 = 100\ \text{W/m}^2$ su un polarizzatore con asse a $\theta = 60°$: $I = 100\cos^2 60° = 25\ \text{W/m}^2$.

Il segno di $\theta$ e l'aggiunta di $180°$ non contano ($\cos^2$ è uguale): un asse ottico è una retta, non un vettore.

Luce naturale. La direzione di $\vec E$ cambia continuamente e in modo casuale, quindi l'angolo $\theta$ assume tutti i valori; conta la media di $\cos^2\theta$, che è $\frac12$:

Formula (luce naturale su un polarizzatore). $$\boxed{I = \frac{I_0}{2}} \qquad \text{(luce naturale, qualunque orientazione dell'asse)}$$

Esempio. Luce naturale con $I_0 = 1000\ \text{W/m}^2$: dopo il polarizzatore $I = 500\ \text{W/m}^2$, per qualunque orientazione dell'asse.

La luce esce polarizzata lungo l'asse. Ruotando il polarizzatore l'intensità uscente non cambia: è il modo per riconoscere la luce naturale.

Polarizzatore e analizzatore

Due polarizzatori in fila: il primo (polarizzatore) rende la luce polarizzata, il secondo (analizzatore), ruotato di $\theta$ rispetto al primo, ne trasmette la frazione $\cos^2\theta$:

Formula (polarizzatore e analizzatore). $$I_1 = \frac{I_0}{2}, \qquad I_2 = I_1\cos^2\theta = \frac{I_0}{2}\cos^2\theta$$

Esempio. Con $\theta = 60°$: $I_2 = \frac{I_0}{2}\cdot\frac14 = \frac{I_0}{8}$. Con gli assi perpendicolari (polarizzatori incrociati) non passa niente.

Un analizzatore serve anche a scoprire se una luce è polarizzata e in che direzione: lo si ruota finché l'intensità uscente è minima; se il minimo è zero la luce è polarizzata linearmente, perpendicolarmente all'asse in quella posizione.

Il terzo polarizzatore. Tra due polarizzatori incrociati se ne inserisce un terzo a $45°$. La luce che esce dal primo ($I_0/2$) passa nel secondo con un fattore $\cos^2 45° = \frac12$, e quella che esce dal secondo, ora polarizzata a $45°$, passa nell'ultimo con un altro $\frac12$:

Formula (tre polarizzatori con quello centrale a 45°). $$I = \frac{I_0}{2}\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac{I_0}{8}$$

Esempio. Luce naturale con $I_0 = 800\ \text{W/m}^2$ su tre polarizzatori (asse del secondo a $45°$ dai due incrociati): $I = \frac{800}{8} = 100\ \text{W/m}^2$, mentre con i soli due incrociati sarebbe $0$.

Aggiungendo un filtro passa più luce che senza: il polarizzatore intermedio non si limita a togliere, ma cambia la direzione di polarizzazione della luce che passa. Con molti polarizzatori ruotati ciascuno di poco si ruota la polarizzazione quasi senza perdite: $N$ polarizzatori, ognuno ruotato di $90°/N$ rispetto al precedente, trasmettono la frazione $\cos^{2N}(90°/N)$ della luce già polarizzata: $0{,}25$ per $N = 2$, $0{,}78$ per $N = 10$, $0{,}92$ per $N = 30$.

Luce in parte polarizzata

Un fascio che contiene una parte naturale (intensità $I_{\text{nat}}$) e una parte polarizzata linearmente ($I_{\text{pol}}$) passa in un polarizzatore che forma l'angolo $\theta$ con la direzione della parte polarizzata. Le due parti non interferiscono (non sono coerenti), quindi si sommano le intensità uscenti:

Formula (luce in parte polarizzata). $$I = \frac{I_{\text{nat}}}{2} + I_{\text{pol}}\cos^2\theta$$

Esempio. $I_{nat} = 100\ \text{W/m}^2$ e $I_{pol} = 60\ \text{W/m}^2$: ruotando il polarizzatore $I$ varia tra $I_{\min} = 50$ e $I_{\max} = 50 + 60 = 110\ \text{W/m}^2$.

Ruotando il polarizzatore l'intensità oscilla tra $I_{\max} = \frac{I_{\text{nat}}}{2} + I_{\text{pol}}$ e $I_{\min} = \frac{I_{\text{nat}}}{2}$. Il rapporto $P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{I_{\text{pol}}}{I_{\text{pol}} + I_{\text{nat}}}$ è il grado di polarizzazione (0 per la luce naturale, 1 per quella polarizzata).

Allo stesso modo, due onde incoerenti (per esempio di colori diversi) polarizzate in direzioni diverse passano ciascuna con il proprio $\cos^2$, e le intensità si sommano.

Campi dopo un polarizzatore

Negli esercizi si chiedono spesso i campi. Dopo il polarizzatore:

• $\vec E$ è parallelo all'asse ottico, con ampiezza $E_0\cos\theta$ (per la luce naturale si ricava dall'intensità: $E_1 = \sqrt{2Z_0I_1}$);
• $\vec B$ è perpendicolare sia a $\vec E$ sia alla direzione di propagazione, con $B = E/c$.

Esempio: luce naturale con $I_0 = 1000\ \text{W/m}^2$. Dopo il polarizzatore $I_1 = 500\ \text{W/m}^2$, $E_1 = \sqrt{2 \cdot 377 \cdot 500} = 614\ \text{V/m}$ lungo l'asse, $B_1 = 2{,}05\ \mu\text{T}$.

Specchio ideale. Uno specchio perfetto che riflette all'indietro a incidenza normale non cambia la direzione di polarizzazione: un fascio polarizzato lungo l'asse di un polarizzatore, riflesso, lo riattraversa senza perdite.

Applicazioni

• Occhiali da sole polarizzati: asse verticale, bloccano i riflessi polarizzati orizzontalmente da acqua e strade.
• Fotografia: un filtro polarizzatore ruotato elimina i riflessi sui vetri e scurisce il cielo.
• Schermi LCD: ogni pixel è un sottile strato di cristallo liquido tra due polarizzatori incrociati; il cristallo ruota la polarizzazione di $90°$ e lascia passare la luce, ma una tensione applicata annulla la rotazione e il pixel diventa scuro.
• Cinema 3D: le due immagini sono proiettate con polarizzazioni diverse, e ogni lente degli occhiali ne lascia passare una sola.

Errori comuni

• Applicare Malus alla luce naturale con un angolo qualsiasi: per la luce naturale il primo polarizzatore dà sempre $I_0/2$.
• Misurare l'angolo tra gli assi di polarizzatori non consecutivi: ogni polarizzatore si confronta con la polarizzazione della luce che gli arriva, cioè con l'asse del polarizzatore precedente.
• Usare $\cos\theta$ per le intensità: $\cos\theta$ vale per i campi, $\cos^2\theta$ per le intensità.
• Credere che un polarizzatore aggiunto possa solo togliere luce: tra due incrociati ne fa passare.