Magnetizzazione e campo H

Segue Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →. È il corrispondente magnetico di Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Seguito: Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismoI materiali "amagnetici" hanno suscettività piccolissima: diamagnetici χm ≈ −10⁻⁵ (tutti gli atomi, momenti indotti opposti al campo, respinti dai magneti), paramagnetici χm ≈ +10⁻⁵ (momenti permanenti allineati poco dall'agitazione termica, legge di Curie χm = C/T). I ferromagnetici (Fe, Ni, Co) hanno χm da 10² a 10⁵, non costante: sono divisi in domini di Weiss già magnetizzati, presentano isteresi (campo residuo, campo coercitivo) e sopra la temperatura di Curie diventano paramagnetici.Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo →. Esercizi (insieme all'induzione): Esercizio 46 · toroide con nucleo e traferro, Esercizio 47 · cilindro di ferro estratto da un solenoide.

Da dove viene il magnetismo della materia

Un pezzo di ferro avvicinato a una calamita si magnetizza e viene attratto; un filo di rame quasi non risponde; un pezzo di bismuto viene debolmente respinto. Per capire perché, si guarda a cosa succede dentro gli atomi.

L'elettrone in orbita è una spira. Nel modello più semplice un elettrone (carica $-e$, massa $m_e$) gira attorno al nucleo su una circonferenza di raggio $r$ con velocità $v$. Passando una volta per giro da ogni punto dell'orbita, equivale a una corrente

$$i = \frac{e}{T} = \frac{e\,v}{2\pi r}$$

(il periodo è $T = 2\pi r/v$). Una corrente che gira su una circonferenza è una spira, con momento magneticom = i S: corrente per area della spira, diretto lungo la normale data dalla regola della mano destra.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →

Formula (momento magnetico orbitale di un elettrone). $$m = i\,\pi r^2 = \frac{e\,v\,r}{2}$$

Esempio. Idrogeno con $r = 0{,}53\cdot10^{-10}$ m e $v = 2{,}2\cdot10^6$ m/s: $m = \frac{evr}{2} = 9{,}34\cdot10^{-24}\ \text{A m}^2$, il magnetone di Bohr (con $r$ e $v$ arrotondati; i valori esatti, $r = 0{,}529\cdot10^{-10}$ m e $v = 2{,}19\cdot10^6$ m/s, danno il valore tabulato $9{,}27\cdot10^{-24}\ \text{A m}^2$).

Con i valori dell'atomo di idrogeno ($r = 0{,}53 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$, $v = 2{,}2 \cdot 10^6\ \text{m/s}$) viene $m = 9{,}3 \cdot 10^{-24}\ \text{A m}^2$: è il magnetone di Bohr, l'unità naturale dei momenti magnetici atomici. Il verso di $\vec m$ è opposto a quello del momento angolare $\vec L$ dell'elettrone, perché la carica è negativa: $\vec m = -\frac{e}{2m_e}\vec L$.

Lo spin. Oltre al moto orbitale, ogni elettrone possiede un momento magnetico "proprio", legato allo spin, dello stesso ordine di grandezza (un magnetone di Bohr). Non ha un'immagine classica semplice, ma si comporta come un'altra spira microscopica.

Atomi con e senza momento. In molti atomi e molecole i momenti degli elettroni si cancellano a coppie e il momento totale è nullo; in altri (ferro, nichel, ossigeno molecolare, alluminio...) resta un momento netto. Queste spire microscopiche si chiamano correnti amperiane (Ampère aveva ipotizzato che il magnetismo dei materiali fosse dovuto a correnti molecolari, prima che si conoscessero gli elettroni).

Il vettore magnetizzazione

Senza campo esterno le spire atomiche hanno orientazioni casuali e i loro momenti si annullano in media. In un campo $\vec B$ ognuna sente un momento meccanico $\vec m \times \vec B$ che tende ad allinearla: il materiale acquista un momento magnetico netto, cioè si magnetizza. Come per la polarizzazione dei dielettrici, si descrive la situazione con una grandezza media:

Definizione (vettore magnetizzazione). $$\boxed{\vec M = \frac{d\vec m}{d\tau}} \qquad [\text{A m}^2/\text{m}^3 = \text{A/m}]$$

il vettore magnetizzazione, momento magnetico per unità di volume ($d\tau$ è un volumetto piccolo ma che contiene moltissimi atomi). Se in un volume ci sono $n$ atomi per metro cubo, ognuno con momento medio $\langle\vec m\rangle$ lungo il campo, allora $\vec M = n\langle\vec m\rangle$.

Esempio. $n = 5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ atomi con $m = 2\cdot10^{-23}\ \text{A m}^2$ allineati: $M = 10^6$ A/m.

Magnetizzazione massima. Con il ferro ($n \approx 8{,}5 \cdot 10^{28}$ atomi/m³, circa $2{,}2$ magnetoni di Bohr per atomo) e tutti i momenti allineati: $M_{\max} \approx 8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 2{,}2 \cdot 9{,}3 \cdot 10^{-24} = 1{,}7 \cdot 10^6\ \text{A/m}$. È la magnetizzazione di saturazione, e corrisponde a $\mu_0 M \approx 2{,}2\ \text{T}$.

Le correnti di magnetizzazione

Il cilindro magnetizzato uniformemente. Si prende un cilindro con $\vec M$ uniforme lungo l'asse e lo si immagina come un insieme di spire atomiche tutte uguali, affiancate, ognuna percorsa da una corrente nello stesso verso. Guardando una sezione:

• all'interno, due spire vicine hanno correnti opposte sul tratto di confine comune: le correnti interne si cancellano;
• sul bordo non c'è una spira vicina che compensi: resta una corrente che gira tutto attorno alla superficie laterale.

Il cilindro magnetizzato equivale quindi a un solenoide: una corrente superficiale che gira attorno alla superficie laterale. Quanto vale? Si prende un tratto di cilindro di lunghezza $\ell$ e sezione $S$: il suo momento magnetico è $M\,S\ell$. Una corrente superficiale con densità lineare $k_m$ (ampere per metro di lunghezza del cilindro) che gira attorno alla sezione $S$ ha momento $(k_m\ell)\,S$. Uguagliando:

Formula (corrente superficiale di magnetizzazione). $$\boxed{k_m = M} \qquad\text{in forma vettoriale}\qquad \vec k_m = \vec M \times \hat n$$

dove $\hat n$ è la normale uscente dalla superficie. Il prodotto vettoriale dice che la corrente scorre sulle superfici parallele a $\vec M$ (laterale del cilindro) e non su quelle perpendicolari (le basi, dove $\vec M \parallel \hat n$).

Esempio. Cilindro con $M = 10^6$ A/m: $k_m = 10^6$ A/m, come un solenoide con $n\,i = 10^6$ A/m.

Magnetizzazione non uniforme. Se $\vec M$ cambia da punto a punto, le correnti delle spire vicine non si cancellano più del tutto e resta anche una densità di corrente di volume

$$\vec j_m = \nabla \times \vec M$$

(nulla se $\vec M$ è uniforme). Le correnti di magnetizzazione sono vere correnti microscopiche, ma non trasportano carica su distanze macroscopiche: nessun elettrone lascia il proprio atomo.

Confronto con i dielettrici. In un dielettrico polarizzato compaiono le cariche di polarizzazioneσp = P · n sulla superficie, ρp = −div P all'interno.Dielettrici e polarizzazione → $\sigma_p = \vec P \cdot \hat n$; in un materiale magnetizzato compaiono le correnti di magnetizzazione $\vec k_m = \vec M \times \hat n$. In entrambi i casi il campo prodotto dal materiale si calcola come quello di queste sorgenti "equivalenti" nel vuoto.

Il campo H e la legge di Ampère nella materia

Il teorema di AmpèreLa circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la somma delle correnti concatenate.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère → vale per tutte le correnti, comprese quelle di magnetizzazione:

$$\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0\,(i_{\text{libere}} + i_m)$$

dove le correnti libere sono quelle "vere" che facciamo passare nei fili (dette anche di conduzione), e $i_m$ quelle di magnetizzazione concatenate. Il guaio è che $i_m$ dipende da come si magnetizza il materiale, che a sua volta dipende da $\vec B$: non la conosciamo in anticipo. Si dimostra (con il teorema di Stokes applicato a $\vec j_m = \nabla \times \vec M$) che

$$i_m = \oint \vec M \cdot d\vec l$$

Portando questo termine a sinistra:

$$\oint\left(\frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M\right)\cdot d\vec l = i_{\text{libere}}$$

Si definisce quindi il campo magnetizzante

Definizione (campo magnetizzante H). $$\boxed{\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M} \qquad [\text{A/m}]$$

Esempio. In un materiale con $B = 1{,}2$ T e $M = 9{,}4\cdot10^5$ A/m: $H = \frac{B}{\mu_0} - M = 14930$ A/m.

che soddisfa la legge di Ampère per il campo $\vec H$:

Legge (legge di Ampère per il campo H). $$\boxed{\oint \vec H \cdot d\vec l = i_{\text{libere, conc}}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \times \vec H = \vec j_{\text{libere}}$$

Esempio. Toroide con $N = 500$, $i = 2$ A e $r = 10$ cm: $H\cdot2\pi r = Ni$, quindi $H = 1592$ A/m, qualunque sia il nucleo.

Perché è utile. Le sorgenti di $\vec H$ (nella legge della circuitazione) sono solo le correnti libere, che conosciamo. Se la simmetria lo permette, si calcola prima $\vec H$ con Ampère ignorando il materiale, poi si ricavano $\vec M$ e $\vec B$. È lo stesso ruolo che ha il vettore DD = ε0 E + P ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso uscente da una superficie chiusa è la carica libera interna.Dielettrici e polarizzazione → nei dielettrici.

Attenzione: $\vec B$ resta il campo "fondamentale", quello che compare nella forza di Lorentz e che rispetta sempre $\nabla \cdot \vec B = 0$. Il campo $\vec H$ è una grandezza ausiliaria: in generale $\nabla \cdot \vec H \ne 0$ (per esempio alle estremità di una barra magnetizzata).

Materiali lineari: suscettività e permeabilità

Nella maggior parte dei materiali (tutti tranne i ferromagnetici) la magnetizzazione è proporzionale al campo:

Formula (magnetizzazione di un materiale lineare). $$\boxed{\vec M = \chi_m\,\vec H}$$

Esempio. Ferro dolce con $\chi_m = 999$ in $H = 1000$ A/m: $M = 999\cdot1000 \approx 10^6$ A/m.

dove $\chi_m$ è la suscettività magnetica, un numero puro. Sostituendo in $\vec B = \mu_0(\vec H + \vec M)$:

Formula (relazione tra B e H nei materiali lineari). $$\boxed{\vec B = \mu_0(1 + \chi_m)\,\vec H = \mu_0\mu_r\,\vec H = \mu\,\vec H}$$

con $\mu_r = 1 + \chi_m$ permeabilità magnetica relativa e $\mu = \mu_0\mu_r$ permeabilità assoluta del mezzo. Nel vuoto $\chi_m = 0$, $\mu_r = 1$ e $\vec B = \mu_0\vec H$.

Esempio. $\mu_r = 1000$ e $H = 1000$ A/m: $B = \mu_0\mu_r H = 1{,}26$ T.

(Una differenza di definizione: $\chi_e$ moltiplica $\varepsilon_0\vec E$, mentre $\chi_m$ moltiplica $\vec H$, non $\vec B/\mu_0$.)

Il solenoide riempito di materiale

Un solenoide indefinito con $n$ spire per metro e corrente $i$ è riempito di un materiale lineare con permeabilità $\mu_r$.

Passo 1: $H$ con Ampère. Il rettangolo usato per il solenoide nel vuotoRettangolo con un lato dentro e uno fuori: B ℓ = μ0 n ℓ i, quindi B = μ0 n i.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère → concatena le stesse correnti libere $n\ell i$; la simmetria è la stessa e fuori il campo è nullo. Quindi

Formula (campo H in un solenoide). $$H = n\,i$$

Esempio. $n = 2000$ spire/m e $i = 0{,}5$ A: $H = ni = 1000$ A/m, indipendente dal materiale del nucleo.

indipendentemente dal materiale.

Passo 2: $M$ e $B$.

Formula (magnetizzazione e campo B in un solenoide riempito). $$M = \chi_m\,n\,i, \qquad B = \mu_0\mu_r\,n\,i$$

Il campo $B$ è $\mu_r$ volte quello che ci sarebbe nel vuoto. Il contributo in più, $\mu_0 M$, è il campo del "solenoide equivalente" formato dalle correnti di magnetizzazione sulla superficie del materiale, con $k_m = M$ ampere per metro, che si somma alle $n i$ ampere per metro dell'avvolgimento.

Esempio. $n = 1000$ spire/m, $i = 1\ \text{A}$: $H = 1000\ \text{A/m}$. Nel vuoto $B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000 = 1{,}26\ \text{mT}$. Con un nucleo di ferro dolce ($\mu_r \approx 1000$ a questi campi) $B \approx 1{,}26\ \text{T}$: mille volte di più, con la stessa corrente. Per questo elettromagneti, trasformatori e induttanze hanno un nucleo di ferro. Con l'alluminio ($\chi_m = 2{,}2 \cdot 10^{-5}$) il campo cambierebbe di due parti su centomila: in pratica nulla.

Campi al confine tra due materiali

Alla superficie di separazione tra due mezzi:

• la componente normale di $\vec B$ è continua, $B_{1n} = B_{2n}$: segue da $\oint \vec B \cdot d\vec S = 0$ applicato a un cilindretto piatto a cavallo della superficie;
• la componente tangente di $\vec H$ è continua, $H_{1t} = H_{2t}$, se sulla superficie non scorrono correnti libere: segue da Ampère per $\vec H$ applicato a un rettangolino a cavallo della superficie.

Conseguenza pratica: in un materiale con $\mu_r$ molto grande le linee di $\vec B$ restano "intrappolate" e lo seguono come l'acqua segue un tubo. Il ferro funziona da conduttore del flusso magnetico.

Toroide con nucleo e traferro

Un solenoide toroidale di $N$ spire, raggio medio $r$ (con sezione piccola rispetto a $r$), avvolto su un nucleo di permeabilità $\mu_r$ in cui è stato tagliato un sottile traferro (o interferro) di spessore $h$, cioè uno spazio d'aria.

Le linee di campo. Per la continuità della componente normale, $B$ è lo stesso nel nucleo e nel traferro (le linee attraversano il taglio perpendicolarmente, e se $h$ è piccolo non si allargano). $H$ invece è diverso: $H_{\text{nucleo}} = B/\mu_0\mu_r$, $H_{\text{aria}} = B/\mu_0$.

Ampère per $H$ lungo la circonferenza media, che concatena $N$ volte la corrente:

$$H_{\text{nucleo}}\,(2\pi r - h) + H_{\text{aria}}\,h = N\,i \quad\Longrightarrow\quad \frac{B}{\mu_0}\left(\frac{2\pi r - h}{\mu_r} + h\right) = N\,i$$

Formula (campo in un toroide con nucleo e traferro). $$\boxed{B = \frac{\mu_0\,N\,i}{\dfrac{2\pi r - h}{\mu_r} + h}}$$

Esempio. $N = 500$, $i = 2$ A, $r = 10$ cm, $h = 1$ mm, $\mu_r = 1000$: $B = \frac{\mu_0 N i}{\frac{2\pi r - h}{\mu_r} + h} = 0{,}77$ T; senza traferro sarebbe $B = 2$ T.

Come si legge. Il denominatore è una "lunghezza efficace": il tratto di nucleo conta come se fosse $\mu_r$ volte più corto, il traferro conta per intero. Con $\mu_r = 1000$, $r = 10\ \text{cm}$ e $h = 1\ \text{mm}$: $\frac{0{,}628}{1000} + 0{,}001 = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{m}$. Un millimetro d'aria "pesa" più dei 63 cm di ferro! Il traferro riduce molto il campo, ma lo rende disponibile in una zona accessibile (è così che si costruiscono elettromagneti con un campo intenso tra due espansioni polari).

Errori comuni

• Usare Ampère con $\vec B$ e le sole correnti libere dentro un materiale: con $\vec B$ vanno contate anche quelle di magnetizzazione; con $\vec H$ solo le libere.
• Dimenticare $\mu_0$ passando da $H$ a $B$: $B = \mu_0\mu_r H$, e $H$ si misura in A/m, non in tesla.
• Mettere correnti di magnetizzazione sulle basi di un cilindro magnetizzato lungo l'asse: $\vec M \times \hat n = 0$ dove $\vec M$ è perpendicolare alla superficie.
• Pensare che $H$ sia continuo attraverso un traferro: è $B$ (componente normale) a essere continuo.