Dipolo elettrico

Segue Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →. Seguito: Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →. Il dipolo tornerà nei dielettriciUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione → (le molecole si comportano come dipoli) e, per analogia, nella spira percorsa da corrente. Esercizio: Esercizio 9 · energia e forza tra due molecole d'acqua.

Definizione

Un dipolo elettrico è una coppia di cariche uguali e opposte, $+q$ e $-q$, a distanza fissa $a$. Si definisce il momento di dipolo

Definizione (momento di dipolo elettrico). $$\vec p = q\,\vec a \qquad [p] = \text{C}\cdot\text{m}$$

dove $\vec a$ è il vettore che va dalla carica negativa alla positiva. La carica totale è nulla, ma il campo non lo è: le due cariche non sono nello stesso punto.

Esempio. Cariche $\pm1$ nC a distanza $a = 2$ mm: $p = qa = 10^{-9}\cdot2\cdot10^{-3} = 2\cdot10^{-12}$ C m.

Esempi reali. Molte molecole hanno un momento di dipolo permanente perché gli elettroni sono spostati verso uno degli atomi: la molecola d'acqua ha $p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}\ \text{C m}$ (equivale a separare una carica $e$ di circa $0{,}4 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$). Un atomo neutro in un campo esterno diventa un dipolo indotto perché la nube elettronica si sposta rispetto al nucleo.

Potenziale del dipolo

Si mette il dipolo lungo l'asse $z$, centrato nell'origine, con $+q$ in $z = a/2$ e $-q$ in $z = -a/2$. In un punto $P$ a distanza $r$ dal centro, con angolo $\theta$ rispetto all'asse, le distanze dalle due cariche sono $r_+$ e $r_-$:

$$V(P) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{r_- - r_+}{r_+ r_-}$$

Approssimazione di grande distanza ($r \gg a$, l'unico caso interessante: il dipolo si "vede" da lontano). Le rette da $P$ alle due cariche sono quasi parallele, quindi:

• $r_- - r_+ \approx a\cos\theta$ (la differenza di cammino è la proiezione di $a$ sulla direzione di $P$);
• $r_+ r_- \approx r^2$.

Quindi

Formula (potenziale di un dipolo). $$\boxed{V(r, \theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,a\cos\theta}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p \cdot \hat u_r}{r^2}}$$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m, $r = 10$ cm, $\theta = 0$: $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-12}}{0{,}01} = 1{,}8$ V.

Osservazioni:

• il potenziale cala come $1/r^2$, più in fretta di quello di una carica singola ($1/r$): da lontano le due cariche quasi si compensano;
• è positivo dalla parte di $+q$ ($\cos\theta > 0$), negativo dalla parte di $-q$, nullo sul piano equatoriale ($\theta = 90°$).

Campo del dipolo

Si ricava con $\vec E = -\nabla V$ in coordinate polari (componente radiale $-\partial V/\partial r$, componente angolare $-\frac1r\partial V/\partial\theta$):

Formula (campo di un dipolo). $$E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3} \qquad\qquad E_\theta = -\frac1r\frac{\partial V}{\partial\theta} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3}$$

Esempio. Stesso dipolo sull'asse a $r = 10$ cm: $E = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3} = 36$ V/m.

Il modulo è $E = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\sqrt{3\cos^2\theta + 1}$. Due casi da ricordare:

Il campo cala come $1/r^3$. In forma vettoriale compatta: $\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left[3(\vec p \cdot \hat u_r)\hat u_r - \vec p\right]$.

Dipolo in un campo esterno uniforme

Un dipolo rigido in un campo $\vec E$ uniforme, con $\vec p$ che forma un angolo $\theta$ con $\vec E$:

• forza totale nulla: $q\vec E + (-q)\vec E = 0$. Il centro del dipolo non accelera.
• momento meccanico non nullo: le due forze formano una coppia di braccio $a\sin\theta$:

Formula (momento meccanico su un dipolo). $$\boxed{\vec M = \vec p \times \vec E} \qquad M = pE\sin\theta$$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in $E = 10^4$ V/m con $\theta = 30°$: $M = pE\sin\theta = 10^{-8}$ N m.

Il momento tende a ruotare $\vec p$ per allinearlo a $\vec E$.

• energia potenziale: è la somma delle energie delle due cariche, $U = qV(+) - qV(-) = -q\,E\,a\cos\theta$:

Formula (energia potenziale di un dipolo). $$\boxed{U = -\vec p \cdot \vec E = -pE\cos\theta}$$

Esempio. Con gli stessi dati, dipolo allineato ($\theta = 0$): $U = -pE = -2\cdot10^{-8}$ J; per ribaltarlo ($\theta = 180°$) serve $\Delta U = 2pE = 4\cdot10^{-8}$ J.

Il lavoro per ruotare il dipolo dalla posizione stabile a quella instabile è $\Delta U = 2pE$.

Piccole oscillazioni. Spostato di poco dalla posizione stabile, il dipolo (momento d'inerzia $I$) oscilla come un pendolo: $I\ddot\theta = -pE\sin\theta \approx -pE\,\theta$, quindi moto armonico con $\omega = \sqrt{pE/I}$.

Dipolo in un campo non uniforme

Se $\vec E$ cambia da punto a punto, le due cariche sentono forze diverse e la forza totale non è più nulla. Dalla relazione $\vec F = -\nabla U$:

Formula (forza su un dipolo in un campo non uniforme). $$\vec F = \nabla(\vec p \cdot \vec E)$$

Esempio. Dipolo allineato con $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in un campo con $\frac{dE}{dx} = 10^5\ \text{V/m}^2$: $F_x = p\frac{dE}{dx} = 2\cdot10^{-7}$ N, verso il campo più intenso.

Per un dipolo allineato al campo lungo $x$: $F_x = p\,\frac{dE}{dx}$. Il dipolo allineato è attratto verso le zone di campo più intenso. Così si spiega perché una bacchetta carica attira pezzetti di carta neutri: il campo della bacchetta polarizza la carta (dipoli indotti, allineati) e, essendo più intenso vicino alla bacchetta, la attira.

Errori comuni

• Verso di $\vec p$: va dalla carica negativa alla positiva (al contrario delle linee di campo all'interno del dipolo).
• Usare le formule approssimate a distanze confrontabili con $a$: lì bisogna sommare esattamente i contributi delle due cariche.
• Confondere $\vec M = \vec p \times \vec E$ (vettore) con $U = -\vec p \cdot \vec E$ (scalare).