Esercizio 13particella carica tra due piani indefiniti

Esame

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Testo (V appello, 16 settembre 2024, problema 1). Due piani paralleli indefiniti sono entrambi caricati con una densità di carica superficiale uniforme $\sigma = 9\ \text{nC/m}^2$ . I piani sono ortogonali a un asse $x$ e si trovano in posizione $x_1 = -40\ \text{cm}$ e $x_2 = 40\ \text{cm}$ . Una particella di massa $m = 5 \cdot 10^{-6}\ \text{kg}$ e carica $Q = -8\ \text{nC}$ si muove lungo l'asse $x$ , attraversando il punto $x = 0$ al tempo $t = 0$ con velocità $\vec v_0 = (2\ \text{m/s})\,\hat u_x$ . Determinare:

il tempo $t_A$ necessario per raggiungere il punto $A$ posto sul secondo piano;
il tempo $t_B$ necessario per raggiungere, dal punto $A$ , il punto $B$ in cui si ferma la particella (assumendo che la particella attraversi un foro microscopico nel secondo piano);
la differenza di energia potenziale $U_B - U_A$ della particella tra il punto $B$ e il punto $A$ .

Teoria: Applicazioni della legge di Gauss (piano indefinito), Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico.

Il campo di due piani carichi

Ogni piano indefinito produce, con la legge di Gauss, un campo uniforme di modulo $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , perpendicolare al piano e uscente da entrambi i lati se $\sigma > 0$ (piano indefinito). Il campo totale è la somma dei due, zona per zona:

zona	campo del piano 1 ( $x = -40$ )	campo del piano 2 ( $x = +40$ )	totale
$x < -40\ \text{cm}$	$-\sigma/2\varepsilon_0$ (verso sinistra)	$-\sigma/2\varepsilon_0$	$-\sigma/\varepsilon_0$
$-40 < x < 40\ \text{cm}$	$+\sigma/2\varepsilon_0$ (verso destra)	$-\sigma/2\varepsilon_0$ (verso sinistra)	$0$
$x > 40\ \text{cm}$	$+\sigma/2\varepsilon_0$	$+\sigma/2\varepsilon_0$	$+\sigma/\varepsilon_0$

Tra due piani con cariche uguali il campo è nullo; fuori è doppio. (Con cariche opposte sarebbe il contrario: è il caso del condensatore piano.)

Grafico interattivo: Campo E_x dei due piani carichi in x = ±0,4 m (ordinata in unità di σ/ε₀ = 1,02·10³ V/m): −σ/ε₀ a sinistra, nullo tra i piani, +σ/ε₀ a destra; sulla carica negativa Q la forza è opposta al campo, quindi frena la particella che esce oltre il secondo piano

$\frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{9 \cdot 10^{-9}}{8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 1{,}02 \cdot 10^3\ \text{V/m}$

1) Da $x = 0$ al secondo piano

Tra i piani il campo è nullo: nessuna forza (la gravità si trascura, o comunque agisce in direzione perpendicolare all'asse $x$ e non cambia il moto lungo $x$ ). Il moto è rettilineo uniforme:

$t_A = \frac{x_2 - 0}{v_0} = \frac{0{,}40\ \text{m}}{2\ \text{m/s}} = 0{,}20\ \text{s}$

La particella arriva in $A$ con la stessa velocità $v_0 = 2\ \text{m/s}$ .

2) Oltre il secondo piano, fino all'arresto

Passato il piano (attraverso il foro), la particella è nella zona $x > 40\ \text{cm}$ , dove il campo vale $+\sigma/\varepsilon_0$ (verso destra). La forza su $Q$ negativa è opposta al campo, quindi verso sinistra: la particella viene frenata (è attratta dai piani positivi).

$a = \frac{QE}{m} = \frac{(-8 \cdot 10^{-9}) \cdot 1{,}02 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-6}} = -1{,}63\ \text{m/s}^2$

Il campo è uniforme, quindi l'accelerazione è costante: moto uniformemente decelerato. La particella si ferma quando $v = v_0 + a\,t_B = 0$ :

$t_B = -\frac{v_0}{a} = \frac{v_0\,m\,\varepsilon_0}{|Q|\,\sigma} = \frac{2}{1{,}63} = 1{,}23\ \text{s}$

Il punto $B$ dista da $A$ : $\Delta x = \dfrac{v_0^2}{2|a|} = \dfrac{4}{2 \cdot 1{,}63} = 1{,}23\ \text{m}$ (coincidenza numerica con $t_B$ , perché $v_0 = 2$ ). Dopo l'arresto la particella torna indietro, ripassa il foro e attraversa la zona senza campo: oscillerebbe avanti e indietro tra le due zone esterne.

Grafico interattivo: Energia potenziale della particella Q = −8 nC in funzione di x (ascissa: x in m, ordinata: U in µJ): costante tra i piani, poi sale con pendenza |Q|σ/ε₀ = 8,13 µJ/m; la particella parte da x = 0 con energia totale ½mv₀² = 10 µJ (retta tratteggiata) e si ferma dove U la raggiunge, in x = 0,4 + 1,23 = 1,63 m (punto B)

3) Differenza di energia potenziale

L'energia meccanica si conserva. In $A$ la particella ha energia cinetica $\frac12 m v_0^2$ , in $B$ nessuna: tutta l'energia cinetica è diventata potenziale.

$U_B - U_A = -(K_B - K_A) = \tfrac12 m v_0^2 = \tfrac12 \cdot 5 \cdot 10^{-6} \cdot 4 = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{J}$

Controllo con il potenziale. Con campo uniforme $E$ lungo $x$ , $V_B - V_A = -E\,\Delta x = -1{,}02 \cdot 10^3 \cdot 1{,}23 = -1{,}25 \cdot 10^3\ \text{V}$ ; quindi $U_B - U_A = Q(V_B - V_A) = (-8 \cdot 10^{-9}) \cdot (-1{,}25 \cdot 10^3) = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{J}$ ✓. La carica negativa va verso potenziali più bassi e la sua energia potenziale aumenta: per le cariche negative i ruoli di "salita" e "discesa" sono invertiti.

Verifica numerica

python

eps0 = 8.854e-12
sigma, m, Q, v0 = 9e-9, 5e-6, -8e-9, 2.0
E = sigma/eps0
a = Q*E/m
print(0.40/v0, E, a, -v0/a, v0**2/(2*abs(a)), 0.5*m*v0**2)
# 0.2 s, 1016 V/m, -1.63 m/s², 1.23 s, 1.23 m, 1e-5 J

Risultati

grandezza	valore
campo tra i piani	$0$
campo fuori dai piani	$\sigma/\varepsilon_0 = 1{,}02 \cdot 10^3\ \text{V/m}$
tempo fino al secondo piano	$t_A = 0{,}20\ \text{s}$
tempo dal piano all'arresto	$t_B = 1{,}23\ \text{s}$ (dopo $1{,}23\ \text{m}$ )
$U_B - U_A$	$1{,}0 \cdot 10^{-5}\ \text{J}$

Errori comuni

Mettere campo $\sigma/\varepsilon_0$ tra i piani: vale per piani con carica opposta; con cariche uguali i due campi interni si cancellano.
Usare $\sigma/2\varepsilon_0$ fuori: fuori i due contributi hanno lo stesso verso e si sommano.
Sbagliare il verso della forza: la carica è negativa, la forza è opposta al campo.

Versione ripasso

il tempo $t_A$ necessario per raggiungere il punto $A$ posto sul secondo piano;
il tempo $t_B$ necessario per raggiungere, dal punto $A$ , il punto $B$ in cui si ferma la particella (assumendo che la particella attraversi un foro microscopico nel secondo piano);
la differenza di energia potenziale $U_B - U_A$ della particella tra il punto $B$ e il punto $A$ .

Teoria: Applicazioni della legge di Gauss (piano indefinito), Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico.

Metodo: ogni piano dà $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ uscente (piano indefinito); con cariche uguali tra i piani il campo è nullo e fuori vale $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{9\cdot10^{-9}}{8{,}854\cdot10^{-12}}=1{,}02\cdot10^3$ V/m (verso sinistra per $x<-40$ cm, verso destra per $x>40$ cm); poi cinematica e conservazione dell'energia (Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico).

1) Tra i piani nessuna forza, moto uniforme: $t_A=\frac{0{,}40}{2}=0{,}20$ s, con $v_0=2$ m/s.
2) Oltre il secondo piano $E=+\frac\sigma{\varepsilon_0}$ ma $Q<0$ : forza verso sinistra, $a=\frac{QE}{m}=\frac{-8\cdot10^{-9}\cdot1{,}02\cdot10^3}{5\cdot10^{-6}}=-1{,}63$ m/s²; si ferma per $v_0+at_B=0$ : $t_B=\frac{v_0}{\lvert a\rvert}=\frac{2}{1{,}63}=1{,}23$ s (a $\Delta x=\frac{v_0^2}{2\lvert a\rvert}=1{,}23$ m da $A$ ; poi torna indietro e oscilla).
3) $U_B-U_A=\frac12mv_0^2=\frac12\cdot5\cdot10^{-6}\cdot4=1{,}0\cdot10^{-5}$ J (controllo: $V_B-V_A=-E\Delta x=-1{,}25\cdot10^3$ V e $Q\Delta V=1{,}0\cdot10^{-5}$ J; la carica negativa sale verso potenziali più bassi).

Risultati: $t_A=0{,}20$ s; $t_B=1{,}23$ s; $U_B-U_A=1{,}0\cdot10^{-5}$ J.

Errori tipici: campo $\sigma/\varepsilon_0$ tra i piani (vale per cariche opposte); $\sigma/2\varepsilon_0$ fuori (i contributi si sommano); verso della forza su una carica negativa.