Esercizio 8protone in un potenziale a tratti

Leggere il grafico del potenziale

Prima dei conti conviene tradurre il grafico in campo elettrico, perché il campo dice che tipo di moto fa il protone. Lungo un asse vale $E_x = -\dfrac{dV}{dx}$ (dal potenziale al campoIn una dimensione E_x = −dV/dx: il campo è meno la pendenza del grafico di V. Dove V è costante il campo è nullo.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →): il campo è meno la pendenza del grafico.

Dove il potenziale scende, una carica positiva viene spinta in avanti (come una pallina che rotola giù per una discesa); dove sale, viene frenata.

1) Velocità in $x_A = 3\ \text{m}$

La forza elettrica è conservativa: si conserva l'energia meccanica, cinetica più potenziale, con energia potenziale $U = eV$:

$$\tfrac12 m v_0^2 + eV(0) = \tfrac12 m v_A^2 + eV(x_A)$$

Dal grafico $V(0) = 2\ \text{V}$ e $V(x_A) = -4\ \text{V}$. Ricavando $v_A$:

$$v_A = \sqrt{v_0^2 + \frac{2e}{m}\,[V(0) - V(x_A)]} = \sqrt{10^8 + \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}} \cdot 6}$$

$$= \sqrt{10^8 + 1{,}150 \cdot 10^9} = \sqrt{1{,}250 \cdot 10^9} = 3{,}54 \cdot 10^4\ \text{m/s}$$

Il protone "scende" di $6\ \text{V}$ e guadagna $6\ \text{eV}$ di energia cinetica. Si noti che non serve sapere com'è fatto il potenziale tra $0$ e $3$: con l'energia contano solo gli estremi.

2) Tempo per arrivare in $x_A$

Il tempo invece dipende da come si va: si divide il percorso nei due tratti del grafico.

Tratto 1, da 0 a 1 m: moto uniforme. Campo nullo, velocità costante $v_0$:

$$t_1 = \frac{1\ \text{m}}{10^4\ \text{m/s}} = 1{,}00 \cdot 10^{-4}\ \text{s} = 100\ \mu\text{s}$$

Tratto 2, da 1 a 3 m: moto uniformemente accelerato. Campo costante $E = 3\ \text{V/m}$, quindi accelerazione costante

$$a = \frac{eE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 3}{1{,}67 \cdot 10^{-27}} = 2{,}87 \cdot 10^8\ \text{m/s}^2$$

Il protone entra con $v_0$ ed esce con $v_A$; da $v_A = v_0 + a\,t_2$:

$$t_2 = \frac{v_A - v_0}{a} = \frac{3{,}54 \cdot 10^4 - 1{,}00 \cdot 10^4}{2{,}87 \cdot 10^8} = 8{,}82 \cdot 10^{-5}\ \text{s} = 88{,}2\ \mu\text{s}$$

Controllo con lo spazio: $v_A^2 - v_0^2 = 2a\,d_2$ con $d_2 = 2\ \text{m}$ dà $2 \cdot 2{,}87 \cdot 10^8 \cdot 2 = 1{,}15 \cdot 10^9$, uguale al termine trovato al punto 1 ✓ (le due strade, energia e cinematica, devono coincidere).

$$t_A = t_1 + t_2 = 100 + 88{,}2 = 188\ \mu\text{s}$$

3) Punto di arresto

Tra 3 e 4 m il campo è nullo e il protone procede a $v_A$. Oltre $x = 4\ \text{m}$ il potenziale sale e il campo lo frena: si ferma nel punto $x_{\max}$ in cui tutta l'energia cinetica è tornata potenziale. Conservazione dell'energia tra $x = 0$ e $x_{\max}$ (dove $v = 0$):

$$\tfrac12 m v_0^2 + eV(0) = eV(x_{\max}) \quad\Longrightarrow\quad V(x_{\max}) = V(0) + \frac{m v_0^2}{2e}$$

$$V(x_{\max}) = 2 + \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^8}{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 2 + 0{,}52 = 2{,}52\ \text{V}$$

Il termine $\frac{mv_0^2}{2e} = 0{,}52\ \text{V}$ è l'energia cinetica iniziale espressa in volt (cioè in eV per un protone): il protone può risalire $0{,}52\ \text{V}$ sopra il potenziale da cui era partito. Con la legge del tratto finale:

$$3x_{\max} - 16 = 2{,}52 \quad\Longrightarrow\quad x_{\max} = \frac{2{,}52 + 16}{3} = 6{,}17\ \text{m}$$

Controllo: $6{,}17\ \text{m}$ sta davvero nel tratto $x > 4\ \text{m}$ ✓. Poi il protone torna indietro: il campo $E_x = -3\ \text{V/m}$ continua a spingerlo verso le $x$ decrescenti.

Verifica numerica

import numpy as np
m, e, v0 = 1.67e-27, 1.6e-19, 1e4
vA = np.sqrt(v0**2 + 2*e/m*(2 - (-4)))
a = e*3/m
t1, t2 = 1/v0, (vA - v0)/a
print(vA, a, t1, t2, t1 + t2)       # 3.54e4, 2.87e8, 1e-4, 8.82e-5, 1.88e-4 s
Vmax = 2 + m*v0**2/(2*e)
print(Vmax, (Vmax + 16)/3)          # 2.52 V, 6.17 m

Risultati

Errori comuni

• Sbagliare il segno dell'energia potenziale: per il protone $U = +eV$, quindi scende di energia dove $V$ scende. Per un elettrone sarebbe il contrario.
• Calcolare il tempo con l'energia: l'energia dà le velocità, ma per il tempo serve la cinematica tratto per tratto.
• Dimenticare che il protone parte già con energia cinetica: si ferma a $2{,}52\ \text{V}$, non a $2\ \text{V}$.