Esercizio 37spira che entra in un campo magnetico

Cosa succede

Mentre la spira entra, la parte immersa nel campo è un rettangolo $a \times x$, dove $x$ è il tratto già entrato: il flusso $\Phi = Bax$ cresce e nella spira circola una corrente indotta. Solo il lato anteriore (quello già dentro $\mathcal R$, parallelo al bordo) sente una forza netta; sui due lati perpendicolari al bordo le forze sono uguali e opposte. Quando la spira è tutta dentro, il flusso non cambia più, la corrente si annulla e la spira prosegue a velocità costante $v_1$.

1) Potenza all'istante iniziale

F.e.m. Il flusso cresceℰ = −dΦ/dt; per un lato che avanza con velocità v in un campo B la f.e.m. è B ℓ v.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → con rapidità $\frac{d\Phi}{dt} = Ba\,\frac{dx}{dt} = Bav$:

$$\mathcal E_0 = Bav_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}3\ \text{V}$$

Corrente e potenza:

$$i_0 = \frac{\mathcal E_0}{R} = \frac{0{,}3}{0{,}05} = 6\ \text{A}, \qquad P = R\,i_0^2 = 0{,}05 \cdot 36 = 1{,}8\ \text{W}$$

Il verso (Lenz): il flusso uscente aumenta, quindi la corrente indotta produce un campo entrante dentro la spira, cioè circola in senso orario.

2) Carica circolata

Per la legge di FeliciLa carica che circola in un circuito di resistenza R è|Φi − Φf|/R, indipendentemente da come varia il flusso.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → basta conoscere il flusso iniziale (zero, la spira è fuori) e quello finale (spira tutta dentro, $Ba^2$):

$$q = \frac{|\Phi_f - \Phi_i|}{R} = \frac{Ba^2}{R} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}04}{0{,}05} = 0{,}4\ \text{C}$$

Non serve sapere come cambia la velocità durante l'ingresso.

3) Energia dissipata

Equazione del moto. Con velocità $v$ la corrente è $i = Bav/R$ e la forza sul lato anteriore, per Lenz, è contraria al moto:

$$m\,\frac{dv}{dt} = -i\,a\,B = -\frac{B^2a^2}{R}\,v$$

Dal tempo allo spazio. Il testo dà una distanza (la spira è tutta dentro dopo aver percorso $a$), non un tempo. Si usa $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}$:

$$m\,v\,\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2a^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\frac{B^2a^2}{R}\,dx$$

La $v$ si semplifica: la velocità cala linearmente con lo spazio. Integrando da $x = 0$ ($v = v_0$) a $x = a$ ($v = v_1$):

$$v_1 = v_0 - \frac{B^2a^3}{mR} = 3 - \frac{0{,}25 \cdot 0{,}008}{0{,}1 \cdot 0{,}05} = 3 - 0{,}4 = 2{,}6\ \text{m/s}$$

Energia. Nessun'altra forza compie lavoro: l'energia cinetica persa è tutta dissipata per effetto Joule nella spira.

$$W_R = \frac12 m\left(v_0^2 - v_1^2\right) = \frac12 \cdot 0{,}1 \cdot (9 - 6{,}76) = 0{,}112\ \text{J}$$

Un modo equivalente per la velocità. L'impulso della forza frenante è $\int i\,aB\,dt = aB\int i\,dt = aBq$: la quantità di moto persa è $aB$ per la carica circolata, $m(v_0 - v_1) = aBq = 0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}04\ \text{kg m/s}$, cioè $\Delta v = 0{,}4\ \text{m/s}$. ✓ Le due domande 2 e 3 sono collegate.

Il tempo $t_1$ (non richiesto): nel tempo la velocità cala esponenzialmente, $v = v_0\,e^{-t/\tau}$ con $\tau = \frac{mR}{B^2a^2} = 0{,}5\ \text{s}$; $v_1 = 2{,}6\ \text{m/s}$ si raggiunge a $t_1 = \tau\ln\frac{v_0}{v_1} = 72\ \text{ms}$.

Verifica numerica

import numpy as np
a, m, R, B, v0 = 0.2, 0.1, 0.05, 0.5, 3
i0 = B*a*v0/R; print(i0, R*i0**2, B*a**2/R)        # 6 A, 1.8 W, 0.4 C
v1 = v0 - B**2*a**3/(m*R); print(v1)               # 2.6 m/s
print(0.5*m*(v0**2 - v1**2))                       # 0.112 J
tau = m*R/(B*a)**2; print(tau, tau*np.log(v0/v1))  # 0.5 s, 0.072 s

Risultati

Errori comuni

• Calcolare la forza su tutti e quattro i lati: le forze sui due lati perpendicolari al bordo si cancellano, e il lato posteriore è fuori dal campo.
• Integrare nel tempo quando il dato è una distanza: conviene passare a $v\,dv/dx$.
• Pensare che la spira si fermi: una volta tutta dentro il campo il flusso è costante e non ci sono più forze.