Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young

Prerequisiti: Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche → (onde armoniche, intensità) e Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →. Prosegue in Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →. Esercizi: Esercizio 59 · fori di Young in un mezzo con indice di rifrazione, Esercizio 60 · pellicola davanti a una fenditura di Young e polarizzatori incrociati, Esercizio 61 · due coppie di sorgenti coerenti con lunghezze d'onda diverse, Esercizio 54 · parete di vetro di un acquario all'angolo di Brewster.

Sovrapposizione e coerenza

Le equazioni di Maxwell sono lineari: se due onde arrivano nello stesso punto, il campo totale è la somma dei campi (principio di sovrapposizione). L'intensità invece, che è proporzionale al quadrato del campo, non è in generale la somma delle intensità: è questo il fenomeno dell'interferenza.

Perché l'interferenza si veda serve che le due onde siano coerenti: stessa frequenza e differenza di fase costante nel tempo. Due lampadine non sono coerenti tra loro: ogni atomo emette treni d'onda lunghi circa $10^{-8}\ \text{s}$ con fasi casuali, la differenza di fase cambia in modo disordinato miliardi di volte al secondo e l'effetto si cancella in media. Per avere luce coerente si divide in due la luce di un'unica sorgente (due fenditure illuminate dalla stessa onda, uno specchio semiriflettente) oppure si usa un laser.

Intensità di due onde sovrapposte

Due sorgenti puntiformi $S_1$ e $S_2$ emettono onde della stessa pulsazione $\omega$, polarizzate nella stessa direzione. In un punto $P$, a distanze $r_1$ e $r_2$, i campi sono

$$E_1 = E_{01}\cos(kr_1 - \omega t + \alpha_1), \qquad E_2 = E_{02}\cos(kr_2 - \omega t + \alpha_2)$$

dove $\alpha_1$, $\alpha_2$ sono le fasi iniziali delle sorgenti. La differenza di fase in $P$ è

Formula (differenza di fase tra due onde). $$\boxed{\delta = k(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1)}$$

Esempio. Sorgenti sincrone, $\lambda = 600$ nm e $r_2 - r_1 = 1{,}5\ \mu$m: $\delta = 2\pi\cdot2{,}5 = 5\pi$, quindi $\cos\delta = -1$: minimo.

Per sorgenti sincrone ($\alpha_1 = \alpha_2$) dipende solo dalla differenza di cammino $r_2 - r_1$: ogni lunghezza d'onda di differenza vale $2\pi$ di fase.

Calcolo dell'intensità. L'intensità è la media nel tempo di $E^2$ diviso $Z_0$ (per un'onda sola $\langle E_1^2\rangle = E_{01}^2/2$ e $I_1 = E_{01}^2/2Z_0$). Sviluppando il quadrato della somma:

$$\langle (E_1 + E_2)^2\rangle = \langle E_1^2\rangle + \langle E_2^2\rangle + 2\langle E_1E_2\rangle$$

Nel doppio prodotto si usa $\cos A\cos B = \frac12[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$: il termine $\cos(A + B)$ contiene $2\omega t$ e ha media nulla, il termine $\cos(A - B) = \cos\delta$ è costante. Quindi $\langle E_1E_2\rangle = \frac12E_{01}E_{02}\cos\delta$ e, dividendo per $Z_0$:

Formula (intensità di due onde sovrapposte). $$\boxed{I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\delta}$$

Esempio. $I_1 = I_2 = I_0$: per $\delta = 0$ è $I = 4I_0$, per $\delta = \frac\pi2$ è $I = 2I_0$, per $\delta = \pi$ è $I = 0$.

L'ultimo è il termine di interferenza: può essere positivo o negativo a seconda del punto.

(Il prof lo ricava con i fasori di Fresnel: ogni onda è un vettore rotante di lunghezza pari all'ampiezza, e l'ampiezza risultante è la somma dei due vettori, che formano l'angolo $\delta$; per il teorema del coseno $E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01}E_{02}\cos\delta$, che è la stessa formula moltiplicata per $1/2Z_0$.)

Massimi e minimi.

con $m = 0, \pm1, \pm2, \ldots$ (ordine del massimo o del minimo). Nei massimi le onde arrivano in fase e si rinforzano, nei minimi in opposizione di fase e si indeboliscono.

Intensità uguali ($I_1 = I_2 = I_0$, il caso più frequente):

Formula (intensità di due onde uguali). $$I = 2I_0(1 + \cos\delta) = 4I_0\cos^2\frac{\delta}{2}$$

Esempio. $I_0 = 1\ \text{W/m}^2$ e $\delta = 60°$: $I = 4I_0\cos^2 30° = 3\ \text{W/m}^2$.

Nei massimi $I = 4I_0$ (quattro volte una sorgente, non due!), nei minimi $I = 0$: luce più luce può fare buio. L'energia non si crea né si distrugge: la media di $\cos^2$ è $\frac12$, quindi in media l'intensità è $2I_0$, la somma delle due. L'interferenza ridistribuisce l'energia, togliendola dai minimi e portandola nei massimi.

Dove sono i massimi. I punti con $r_2 - r_1$ costante formano un'iperbole con fuochi nelle sorgenti (nello spazio, un iperboloide): massimi e minimi si alternano su una famiglia di iperboli.

Quando non c'è interferenza.

• Sorgenti incoerenti: $\delta$ varia a caso, la media di $\cos\delta$ è zero e $I = I_1 + I_2$.
• Polarizzazioni perpendicolari: il doppio prodotto è $\vec E_1 \cdot \vec E_2 = 0$, quindi $I = I_1 + I_2$ anche se le onde sono coerenti. Se le polarizzazioni formano un angolo $\varphi$, interferisce solo la componente parallela (il termine di interferenza è moltiplicato per $\cos\varphi$).

Cammino ottico

In un mezzo di indice $n$ la lunghezza d'onda è $\lambda_0/n$ e il numero d'onda è $k = 2\pi n/\lambda_0$. Un tratto $r$ nel mezzo produce la stessa fase di un tratto $nr$ nel vuoto: $nr$ si chiama cammino ottico. Se le onde viaggiano in mezzi diversi, nella differenza di fase va la differenza dei cammini ottici:

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(n_2r_2 - n_1r_1)$$

Lamina davanti a una sorgente. Una lamina trasparente di spessore $s$ e indice $n$ messa davanti a una sola delle due sorgenti sostituisce un tratto $s$ di aria con un tratto $s$ di materiale: aggiunge il cammino ottico $(n - 1)s$ e quindi la fase

Formula (sfasamento introdotto da una lamina). $$\Delta\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,s$$

Esempio. Lamina con $n = 1{,}5$ e $s = 2\ \mu$m, $\lambda_0 = 500$ nm: $\Delta\delta = \frac{2\pi}{500\ \text{nm}}\cdot0{,}5\cdot2000\ \text{nm} = 4\pi$, cioè la figura si sposta di $2$ ordini.

Tutta la figura di interferenza si sposta: dove prima c'era il massimo di ordine 0 ora c'è quello di ordine $\Delta m = (n - 1)s/\lambda_0$. Esempio: $n = 1{,}5$, $\lambda_0 = 600\ \text{nm}$; una lamina spessa $s = 600\ \text{nm}$ sfasa di $\pi$ e trasforma il massimo centrale in un minimo.

Esperimento di Young

Nel 1801 Thomas Young illuminò con la stessa luce due fenditure sottili e vicine, $S_1$ e $S_2$, a distanza $d$, e osservò su uno schermo lontano (distanza $L$) una serie di frange chiare e scure alternate. Per il principio di Huygens ogni fenditura diventa una sorgente di onde (cilindriche), e le due sorgenti sono coerenti e sincrone perché sono raggiunte dallo stesso fronte d'onda. Le frange scure non si possono spiegare se la luce è fatta di corpuscoli (due getti di particelle non si annullano): l'esperimento fu la prova della natura ondulatoria della luce (domanda d'orale).

Approssimazione di parallasse. Lo schermo è lontano, $L \gg d$: i due raggi che vanno verso un punto $P$ dello schermo, visto sotto l'angolo $\theta$ rispetto all'asse, sono quasi paralleli. Tracciando da $S_1$ la perpendicolare al raggio di $S_2$ si vede che la differenza di cammino è il cateto di un triangolo rettangolo con ipotenusa $d$ e angolo $\theta$:

$$r_2 - r_1 \approx d\sin\theta$$

Massimi e minimi:

Formula (massimi e minimi dell'esperimento di Young). $$\boxed{d\sin\theta_m = m\lambda\ \ \text{(massimi)}, \qquad d\sin\theta = \left(m + \tfrac12\right)\lambda\ \ \text{(minimi)}}$$

Esempio. $d = 0{,}2$ mm e $\lambda = 600$ nm: primo massimo a $\sin\theta = \frac{6\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-4}} = 3\cdot10^{-3}$, cioè $\theta = 0{,}17°$.

Siccome $|\sin\theta| \leq 1$, i massimi visibili hanno $|m| \leq d/\lambda$.

Sullo schermo. La posizione del punto è $x = L\tan\theta$. Per angoli piccoli $\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta$:

Formula (distanza tra le frange). $$x_m = m\,\frac{\lambda L}{d}, \qquad \boxed{\Delta x = \frac{\lambda L}{d}}$$

Esempio. $\lambda = 600$ nm, $L = 2$ m, $d = 0{,}2$ mm: $\Delta x = \frac{6\cdot10^{-7}\cdot2}{2\cdot10^{-4}} = 6$ mm.

Le frange sono equidistanti, con passo $\Delta x$; i minimi stanno a metà strada, il primo a $x = \frac{\lambda L}{2d}$. Esempio: $\lambda = 600\ \text{nm}$, $d = 0{,}5\ \text{mm}$, $L = 2\ \text{m}$ danno $\Delta x = \frac{6 \cdot 10^{-7} \cdot 2}{5 \cdot 10^{-4}} = 2{,}4\ \text{mm}$. Più le fenditure sono vicine, più le frange sono larghe; misurando $\Delta x$, $d$ e $L$ si misura la lunghezza d'onda della luce.

Intensità sullo schermo (fenditure uguali, ciascuna con intensità $I_0$):

Formula (intensità sullo schermo nell'esperimento di Young). $$I(\theta) = 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right) \approx 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\,x}{\lambda L}\right)$$

Esempio. Con i dati precedenti, a $x = 3$ mm: $\frac{\pi d x}{\lambda L} = \frac\pi2$, quindi $I = 4I_0\cos^2\frac\pi2 = 0$: frangia scura a metà tra due massimi.

Luce bianca. Ogni colore ha le sue frange; nel centro ($m = 0$) tutti i colori hanno un massimo e la frangia è bianca, ai lati le frange sono colorate (il violetto, con $\lambda$ più piccolo, è più vicino al centro) e presto si confondono.

In un mezzo. Se tutto il dispositivo è immerso in un mezzo di indice $n$, nelle formule va la lunghezza d'onda nel mezzo $\lambda_0/n$: $nd\sin\theta = m\lambda_0$.

Interferenza con un'onda riflessa

Un'onda e la sua riflessione su una superficie si comportano come due sorgenti coerenti (la sorgente vera e la sua "immagine" dietro la superficie). Nella differenza di fase va aggiunto lo sfasamento di $\pi$ se la riflessione avviene su un mezzo più denso (vedi Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →).

Lamina sottile. Una lamina di spessore $d$ e indice $n_2$ immersa in un mezzo $n_1$ riflette due onde: una sulla prima faccia e una sulla seconda (dopo aver attraversato la lamina due volte). Con $\theta_t$ l'angolo dentro la lamina, la seconda percorre nella lamina il cammino ottico $2n_2d/\cos\theta_t$, ma la prima, nel frattempo, percorre fuori il tratto $2d\tan\theta_t\sin\theta_i$ (cammino ottico $n_1 \cdot 2d\tan\theta_t\sin\theta_i = 2n_2d\tan\theta_t\sin\theta_t$, usando Snell). La differenza è

Formula (differenza di cammino in una lamina sottile). $$\Delta = \frac{2n_2d}{\cos\theta_t} - \frac{2n_2d\sin^2\theta_t}{\cos\theta_t} = 2n_2d\cos\theta_t$$

a cui si aggiunge $\pi$ per ogni riflessione su un mezzo più denso. Sono le iridescenze delle bolle di sapone e delle macchie d'olio, e il principio dei rivestimenti antiriflesso degli occhiali.

Esempio. Bolla di sapone con $n_2 = 1{,}33$ e spessore $250$ nm a incidenza normale: $\Delta = 2n_2d = 665$ nm.

Errori comuni

• Sommare le intensità di onde coerenti: si sommano i campi; $I = I_1 + I_2$ vale solo per onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente.
• Dimenticare che nel massimo $I = 4I_0$ e non $2I_0$.
• Usare $\lambda_0$ in un mezzo: la fase dipende dal cammino ottico, $\delta = 2\pi n\,\Delta r/\lambda_0$.
• Usare $\Delta x = \lambda L/d$ per angoli grandi: vale solo se $\sin\theta \approx \tan\theta$; altrimenti $x = L\tan\theta$ con $\sin\theta = m\lambda/d$.
• Mettere il primo minimo a $\lambda L/d$: lì c'è il primo massimo laterale; il primo minimo è a metà, $\lambda L/2d$.