Campo di distribuzioni continue: filo, anello e disco

Segue Dipolo elettricoDue cariche opposte ±q a distanza a formano un dipolo di momento p = q a (da − a +). Lontano il potenziale cala come cosθ/r² e il campo come 1/r³; in un campo esterno uniforme il dipolo subisce un momento p×E che lo allinea, con energia U = −p·E.Dipolo elettrico → e applica il metodo delle densità di carica di Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →. Molti di questi risultati si ritrovano più in fretta con la legge di GaussCon la legge di Gauss e una superficie scelta in base alla simmetria si ricava il campo di filo indefinito (λ/2πε0r), piano indefinito (σ/2ε0), guscio sferico (nullo dentro, kQ/r² fuori), sfera uniformemente carica (proporzionale a r dentro) e cilindro carico.Applicazioni della legge di Gauss →; l'anello e il disco però no, perché non hanno abbastanza simmetria. Esercizi: Esercizio 10 · carica lanciata lungo l'asse di un anello, Esercizio 11 · disco carico con un foro centrale.

Il metodo

1. Si divide la distribuzione in elementi $dq$ ($\lambda\,dl$, $\sigma\,dS$, $\rho\,dV$).
2. Si scrive il contributo $d\vec E$ di ciascun elemento nel punto $P$ (o il contributo $dV$ al potenziale, che è scalare e quindi più facile).
3. Prima di integrare si usa la simmetria per capire quali componenti si annullano.
4. Si integra la componente che resta.

Filo rettilineo uniformemente carico

Filo con densità $\lambda$ lungo l'asse $x$, punto $P$ a distanza $R$ dal filo. Ogni elemento $dq = \lambda\,dx$ dista $r = \sqrt{x^2 + R^2}$ da $P$.

Filo indefinito. Per ogni elemento in $+x$ ce n'è uno in $-x$: le componenti parallele al filo si annullano a coppie e resta solo quella perpendicolare, $dE_\perp = dE\cos\alpha$ con $\cos\alpha = R/r$: $$E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{R\,dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$$ Con la sostituzione $x = R\tan\alpha$ ($dx = R\,d\alpha/\cos^2\alpha$, $x^2 + R^2 = R^2/\cos^2\alpha$) l'integrando diventa $\cos\alpha\,d\alpha/R$ e $\alpha$ va da $-\pi/2$ a $\pi/2$: $$E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\alpha\,d\alpha = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\cdot 2$$

Formula (campo di un filo indefinito). $$\boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}} \qquad \text{radiale, uscente se } \lambda > 0$$

Esempio. $\lambda = 10$ nC/m a $R = 5$ cm: $E = \frac{10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}05} = 3595$ V/m.

Il campo cala come $1/R$, più lentamente di quello di una carica puntiforme: il filo è infinito.

Filo finito. Se il filo è visto da $P$ tra gli angoli $\alpha_1$ e $\alpha_2$ (misurati dalla perpendicolare), lo stesso integrale con estremi diversi dà $$E_\perp = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1) \qquad E_\parallel = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}(\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1)$$ (con $\alpha_1 \to -\pi/2$, $\alpha_2 \to \pi/2$ si ritrova il filo indefinito).

Potenziale del filo indefinito. Da $V(A) - V(B) = \int_A^B E\,dR$: $$V(R) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R}{R_0}$$ Qui non si può mettere $V(\infty) = 0$: il logaritmo diverge, perché il filo stesso si estende all'infinito. Si fissa lo zero a una distanza di riferimento $R_0$ qualsiasi.

Bacchetta carica, potenziale sul suo prolungamento. Bacchetta di lunghezza $l$ tra $x = -l$ e $x = 0$, punto sull'asse in $x > 0$: ogni elemento in $x'$ dista $x - x'$, quindi $$V(x) = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-l}^{0}\frac{dx'}{x - x'} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{x + l}{x}$$

Anello carico, sull'asse

Anello di raggio $R$ con carica $q$ distribuita uniformemente ($\lambda = q/2\pi R$), punto $P$ sull'asse a distanza $z$ dal centro. Tutti gli elementi dell'anello distano da $P$ la stessa quantità $r = \sqrt{z^2 + R^2}$.

Potenziale (immediato, perché $r$ è costante e si porta fuori dall'integrale):

Formula (potenziale di un anello carico sull'asse). $$V(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{z^2 + R^2}}$$

Esempio. $q = 10$ nC, $R = 5$ cm, $z = 10$ cm: $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}}{\sqrt{0{,}01 + 0{,}0025}} = 804$ V.

Campo. Per simmetria le componenti perpendicolari all'asse si annullano a coppie (elementi diametralmente opposti). Resta la componente lungo l'asse, che si ottiene derivando: $E_z = -dV/dz$,

Formula (campo di un anello carico sull'asse). $$\boxed{E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}}$$

Esempio. Stessi dati: $E_z = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}\cdot0{,}1}{(0{,}0125)^{3/2}} = 6433$ V/m.

Proprietà:

• al centro ($z = 0$) $E = 0$: i contributi si annullano per simmetria;
• lontano ($z \gg R$) $E \approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}$: l'anello si vede come una carica puntiforme;
• il campo è massimo in $z = \pm R/\sqrt2$ (derivando $E_z$ e ponendo la derivata uguale a zero: $(z^2 + R^2) - 3z^2 = 0$).

Oscillazioni lungo l'asse. Una carica $q_0$ di segno opposto a $q$ vicino al centro ($z \ll R$) sente $F_z \approx -\frac{|q_0 q|}{4\pi\varepsilon_0 R^3}z$: una forza di richiamo elastica, quindi moto armonico con $\omega = \sqrt{\frac{|q_0 q|}{4\pi\varepsilon_0 m R^3}}$. È il cuore dell'Esercizio 10 · carica lanciata lungo l'asse di un anello.

Disco carico, sull'asse

Disco di raggio $R$ con densità superficiale $\sigma$ uniforme. Lo si divide in anelli concentrici di raggio $r'$ e spessore $dr'$, con carica $dq = \sigma\,2\pi r'\,dr'$, e si sommano i risultati dell'anello.

Potenziale: $$V(z) = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R\frac{2\pi r'\,dr'}{\sqrt{z^2 + r'^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[\sqrt{z^2 + r'^2}\right]_0^R = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + R^2} - |z|\right)$$

Campo (per $z > 0$), da $E_z = -dV/dz$:

Formula (campo di un disco carico sull'asse). $$\boxed{E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)}$$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m$^2$, $R = 10$ cm, $z = 5$ cm: $E_z = \frac{10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{125}}\right) = 312$ V/m.

Casi limite:

• molto vicino al disco ($z \ll R$): $E \to \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, indipendente da $z$;
• lontano ($z \gg R$): sviluppando $\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \left(1 + \frac{R^2}{z^2}\right)^{-1/2} \approx 1 - \frac{R^2}{2z^2}$ si ottiene $E \approx \frac{\sigma\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0 z^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}$: di nuovo una carica puntiforme.

Piano indefinito

Mandando $R \to \infty$ nel campo del disco, il termine $z/\sqrt{z^2 + R^2}$ va a zero e resta

Formula (campo di un piano indefinito). $$\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}} \qquad \text{uniforme, perpendicolare al piano, uscente da entrambi i lati se } \sigma > 0$$

Esempio. $\sigma = 5$ nC/m$^2$: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 282$ V/m, a qualunque distanza.

Il campo non dipende dalla distanza: allontanandosi, ogni elemento contribuisce meno, ma "si vede" sempre più piano sotto lo stesso angolo. Il campo cambia verso attraversando il piano, con un salto di $\sigma/\varepsilon_0$.

Due piani paralleli con densità $+\sigma$ e $-\sigma$ (il modello del condensatore pianoLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →): tra i piani i due campi hanno lo stesso verso e si sommano, fuori sono opposti e si annullano:

Formula (campo tra due piani con densità opposte). $$E_{\text{dentro}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \qquad E_{\text{fuori}} = 0$$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m$^2$: tra i piani $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 1129$ V/m, fuori $E = 0$.

Disco con foro (corona circolare)

Una corona tra i raggi $r$ e $R$ si tratta per sovrapposizione: disco pieno di raggio $R$ con densità $+\sigma$ più un disco di raggio $r$ con densità $-\sigma$ (che "cancella" la parte centrale):

Formula (campo di una corona circolare sull'asse). $$E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \qquad V(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2 + r^2}\right)$$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m$^2$, $r = 2$ cm, $R = 10$ cm, $z = 5$ cm: $E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{5}{\sqrt{29}} - \frac{5}{\sqrt{125}}\right) = 272$ V/m.

Applicazione: Esercizio 11 · disco carico con un foro centrale.

Riepilogo

Controllo utile: ogni formula, a grande distanza, deve tornare a quella della carica puntiforme con la carica totale (tranne filo e piano, che sono infiniti).