Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione

Segue Carica elettrica e legge di CoulombLa carica elettrica è una proprietà della materia, si conserva ed è quantizzata (multipli di e). Due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Carica elettrica e legge di Coulomb →. Seguito: Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →. Esercizi: Esercizio 1 · molecola esagonale con sei cariche, Esercizio 3 · quattro cariche ai vertici di un quadrato, Esercizio 4 · punti di campo nullo e potenziale nullo sull'asse.

Dalla forza al campo

La legge di Coulomb descrive una forza "a distanza" tra due cariche. Conviene però separare i due ruoli:

1. le cariche sorgenti modificano lo spazio intorno a sé creando un campo;
2. una carica posta in un punto sente una forza dovuta al campo in quel punto.

Si definisce il campo elettrostatico in un punto $P$ mettendo in $P$ una carica di prova $q_0$ (positiva e piccola, per non spostare le sorgenti) e misurando la forza $\vec F$ che subisce:

Definizione (campo elettrostatico). $$\boxed{\vec E(P) = \frac{\vec F}{q_0}} \qquad [E] = \frac{\text{N}}{\text{C}} = \frac{\text{V}}{\text{m}}$$

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 1$ nC subisce $F = 5\ \mu$N: $E = \frac{5\cdot10^{-6}}{10^{-9}} = 5000$ N/C.

(Le due unità sono equivalenti; la seconda, volt su metro, si capisce dopo aver introdotto il potenzialeLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.)

Il campo non dipende da $q_0$: raddoppiando $q_0$ raddoppia la forza e il rapporto resta lo stesso. È una proprietà dello spazio creata dalle sorgenti. Una volta noto $\vec E$, la forza su qualunque carica $q$ posta in quel punto è

Formula (forza su una carica in un campo). $$\vec F = q\,\vec E$$

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ N/C: $F = eE = 1{,}6\cdot10^{-16}$ N, diretta contro il campo perché $q < 0$.

Se $q > 0$ la forza ha lo stesso verso di $\vec E$, se $q < 0$ verso opposto (un elettrone "risale" le linee di campo).

È un campo vettoriale: a ogni punto $(x, y, z)$ associa un vettore con tre componenti, ognuna funzione della posizione: $$\vec E(x,y,z) = E_x(x,y,z)\,\hat u_x + E_y(x,y,z)\,\hat u_y + E_z(x,y,z)\,\hat u_z$$ (Un campo scalareFunzione che a ogni punto dello spazio associa un numero, come la temperatura in una stanza. Un campo vettoriale invece associa un vettore, come la velocità del vento. come la temperatura associa invece un solo numero a ogni punto.)

Campo di una carica puntiforme

Dividendo la forza di Coulomb per $q_0$, il campo creato da una carica $q$ in un punto a distanza $r$ è

Legge (campo di una carica puntiforme). $$\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat u_r$$

con $\hat u_r$ versore che va dalla carica verso il punto. Quindi:

• $q > 0$: campo uscente (radiale verso l'esterno);
• $q < 0$: campo entrante (radiale verso la carica);
• il modulo cala come $1/r^2$: a distanza doppia il campo è quattro volte più debole.

Esempio. $q = 2$ nC a $r = 3$ cm: $E = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-9}}{9\cdot10^{-4}} = 2\cdot10^{4}$ N/C, uscente.

Principio di sovrapposizione

Se le sorgenti sono più cariche $q_1, q_2, \dots, q_n$, il campo in $P$ è la somma vettoriale dei campi che ciascuna produrrebbe da sola:

Principio di sovrapposizione (campo elettrico). $$\vec E(P) = \sum_{i=1}^{n} \vec E_i(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_{r_i}$$

dove $r_i$ è la distanza di $P$ dalla carica $q_i$ e $\hat u_{r_i}$ il versore da $q_i$ verso $P$. È un fatto sperimentale: le equazioni dell'elettromagnetismo sono lineari, quindi gli effetti delle diverse sorgenti non si disturbano a vicenda.

Metodo pratico (da seguire sempre negli esercizi):

1. disegnare le cariche e il punto $P$, scegliere gli assi;
2. per ogni carica calcolare la distanza $r_i$ e il modulo $E_i = k|q_i|/r_i^2$;
3. disegnare il vettore $\vec E_i$ (uscente se $q_i > 0$, entrante se $q_i < 0$) e scomporlo in componenti con seni e coseni;
4. sommare componente per componente;
5. sfruttare le simmetrie prima di fare conti: coppie di cariche uguali poste simmetricamente rispetto a $P$ producono componenti che si annullano.

Esempio: centro di un quadrato. Quattro cariche uguali $q$ ai vertici di un quadrato: al centro i campi delle cariche opposte (sulla stessa diagonale, alla stessa distanza) sono uguali e opposti, quindi $\vec E = 0$. Se invece due vertici consecutivi hanno $+q$ e gli altri due $-q$, le componenti lungo un asse si annullano e quelle lungo l'altro si sommano (vedi Esercizio 6 · energia di un quadrato di cariche e lavoro per spostarne una). Con le cariche alternate $+q, -2q, +q, -2q$ il campo al centro è di nuovo nullo, ma non a metà di un lato (Esercizio 3 · quattro cariche ai vertici di un quadrato).

Linee di campo

Per visualizzare un campo vettoriale si disegnano le linee di campo (o linee di forza):

• in ogni punto il campo è tangente alla linea, con il verso indicato dalla freccia;
• la densità delle linee (quante attraversano un'area unitaria perpendicolare) è proporzionale al modulo $E$: dove sono fitte il campo è intenso;
• le linee partono dalle cariche positive e finiscono su quelle negative (o all'infinito);
• due linee non si incrociano mai: in un punto il campo ha una sola direzione.

Esempi tipici: per una carica isolata linee radiali; per un dipolo (due cariche opposte vicine) linee che escono dalla positiva e si richiudono sulla negativa; per due cariche uguali linee che si respingono, con un punto a metà dove il campo è nullo.

Distribuzioni continue di carica

Se la carica è "spalmata" su un corpo, la si divide in pezzetti infinitesimi $dq$, ognuno trattato come una carica puntiforme, e la somma diventa un integrale:

Formula (campo di una distribuzione continua di carica). $$\vec E(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat u_r$$

Esempio. Filo con $\lambda = 5$ nC/m: un tratto di $2$ cm porta $dq = \lambda\,dl = 0{,}1$ nC e il suo contributo al campo è quello di una carica puntiforme da $0{,}1$ nC.

Per scrivere $dq$ si usano le densità di carica:

Se la densità è uniforme (costante) la carica totale è semplicemente densità per lunghezza, area o volume: $Q = \lambda L$, $Q = \sigma S$, $Q = \rho V$.

Attenzione: l'integrale è vettoriale. Si integra una componente alla volta, e quasi sempre la simmetria fa sì che solo una componente sopravviva. I casi classici (filo, anello, disco) sono svolti in Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →.

Moto di una carica in un campo uniforme

In una regione con $\vec E$ uniforme (per esempio tra le armature di un condensatore piano) una particella di carica $q$ e massa $m$ subisce una forza costante $q\vec E$, quindi ha accelerazione costante

Formula (accelerazione di una carica in un campo uniforme). $$\vec a = \frac{q}{m}\vec E$$

e si muove come un proiettile sotto la gravità: moto uniformemente accelerato lungo $\vec E$ e uniforme nella direzione perpendicolare. La traiettoria è una parabola. Su questo principio funzionano i deflettori dei vecchi tubi catodici e degli oscilloscopi (vedi Esercizio 5 · fascio di ioni deviato da un condensatore).

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ V/m: $a = \frac{eE}{m} = 1{,}76\cdot10^{14}\ \text{m/s}^2$.

Il peso della particella è quasi sempre trascurabile: per un elettrone in $E = 1000\ \text{V/m}$, $eE/(m_e g) = 1{,}6 \cdot 10^{-16}/(9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 9{,}81) \approx 1{,}8 \cdot 10^{13}$.

Errori comuni

• Confondere campo e forza: il campo esiste anche se in $P$ non c'è nessuna carica.
• Sommare i moduli dei campi: si sommano i vettori. Due campi di $100\ \text{V/m}$ perpendicolari danno $141\ \text{V/m}$, non $200$.
• Sbagliare il verso per le cariche negative: il campo punta verso la carica negativa.