Campo magnetico e forza di Lorentz

Segue Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →. Seguito: Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →. Esercizi: Esercizio 26 · elica in un campo magnetico uniforme, Esercizio 27 · spirale verso un piano carico, Esercizio 28 · ione sospeso tra gravità e campo magnetico.

Fenomeni magnetici

Alcuni minerali (la magnetite, $\text{Fe}_3\text{O}_4$) attirano il ferro; un ago di magnetite libero di ruotare si orienta sempre nella stessa direzione, all'incirca nord-sud: è la bussola. Ogni magnete ha due poli, chiamati nord (quello che punta verso il nord geografico) e sud: poli uguali si respingono, opposti si attraggono. A differenza delle cariche elettriche, però, i poli non si possono separare: spezzando una calamita si ottengono due calamite più piccole, ognuna con il suo nord e il suo sud. Non sono mai stati osservati "monopoli magnetici" isolati.

La Terra stessa è un grande magnete: il polo sud magnetico si trova vicino al polo nord geografico (per questo il nord dell'ago vi è attratto), e si sposta lentamente nel tempo.

Nel 1820 Ørsted scoprì che un filo percorso da corrente devia l'ago di una bussola: le correnti producono effetti magnetici, e i magneti esercitano forze sulle correnti. Oggi si sa che tutti i fenomeni magnetici sono dovuti a cariche in moto (anche nei magneti permanenti, dove si tratta del moto e dello spin degli elettroni, vedi Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H →).

Come per il campo elettrico, si introduce un campo magnetico $\vec B$ che descrive l'effetto magnetico in ogni punto. Le sue linee di campo escono dal polo nord di un magnete ed entrano nel sud, e (a differenza di quelle elettriche) sono sempre chiuse: dentro il magnete proseguono dal sud al nord. La limatura di ferro le rende visibili.

La forza di Lorentz

L'esperienza mostra che su una carica $q$ in moto con velocità $\vec v$ in un punto dove c'è un campo magnetico agisce una forza:

• proporzionale a $q$ e a $v$;
• nulla se $\vec v$ è parallela a una certa direzione (che si prende come direzione di $\vec B$);
• massima se $\vec v$ è perpendicolare a quella direzione;
• sempre perpendicolare sia a $\vec v$ sia a $\vec B$.

Tutto questo si riassume con un prodotto vettorialea × b: vettore perpendicolare ad a e a b, di modulo ab sinθ, verso dato dalla regola della mano destra.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →, che è anche la definizione operativa di $\vec B$:

Legge (forza di Lorentz). $$\boxed{\vec F = q\,\vec v \times \vec B} \qquad F = |q|\,v\,B\sin\theta$$

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $F = evB = 8{,}01\cdot10^{-14}$ N.

Se ci sono anche un campo elettrico, la forza totale è $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$, ed è questa che si chiama, in senso completo, forza di Lorentz.

Unità. Dalla formula, $[B] = \dfrac{\text{N}}{\text{C} \cdot \text{m/s}} = \dfrac{\text{N}}{\text{A m}}$: il tesla (T). Si usa anche il gauss: $1\ \text{G} = 10^{-4}\ \text{T}$.

Come si trova il verso. Regola della mano destra: si dispongono le dita nella direzione di $\vec v$, le si piega verso $\vec B$, e il pollice indica $\vec v \times \vec B$. Per una carica negativa la forza ha verso opposto. In componenti, con i versori: $\hat u_x \times \hat u_y = \hat u_z$, $\hat u_y \times \hat u_z = \hat u_x$, $\hat u_z \times \hat u_x = \hat u_y$ (e scambiando l'ordine cambia il segno).

Proprietà fondamentale: la forza magnetica non compie lavoro. Essendo sempre perpendicolare alla velocità, la potenza $\vec F \cdot \vec v = q(\vec v \times \vec B) \cdot \vec v$ è nulla. Il campo magnetico può curvare la traiettoria di una carica, ma non cambiarne il modulo della velocità né l'energia cinetica.

Errore classico. Le linee del campo magnetico non sono linee di forza: la forza su una carica è perpendicolare al campo, non diretta lungo di esso (al contrario del campo elettrico).

Moto di una carica in un campo uniforme

Velocità perpendicolare a $\vec B$: moto circolare uniforme. La forza ha modulo costante $|q|vB$ ed è sempre perpendicolare alla velocità: è una forza centripeta. La carica percorre una circonferenza nel piano perpendicolare a $\vec B$, con raggio dato da $|q|vB = mv^2/r$:

Formula (raggio e pulsazione di ciclotrone). $$\boxed{r = \frac{mv}{|q|B} = \frac{p}{|q|B}}$$

e pulsazione (detta di ciclotrone)

$$\boxed{\omega = \frac{v}{r} = \frac{|q|B}{m}}, \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B}$$

Il fatto notevole è che $\omega$ e il periodo non dipendono dalla velocità: una particella più veloce percorre un cerchio più grande nello stesso tempo. Su questo si basa il ciclotrone, che accelera particelle con una tensione alternata alla frequenza $\omega/2\pi$.

Esempio. Un elettrone con energia cinetica $100\ \text{eV}$ ($v = \sqrt{2K/m} = 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}$) in un campo di $10^{-3}\ \text{T}$: $r = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 5{,}9 \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-3}} = 3{,}4\ \text{cm}$, periodo $T = 3{,}6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$.

Velocità con una componente parallela: moto elicoidale. Si scompone $\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp$. La componente parallela a $\vec B$ non sente forza e resta costante; quella perpendicolare produce il moto circolare. Il risultato è un'elica con asse lungo $\vec B$, raggio $r = mv_\perp/|q|B$ e passo (avanzamento in un giro)

Formula (passo dell'elica). $$p = v_\parallel\,T = \frac{2\pi m\,v_\parallel}{|q|B}$$

Esempio. Protone con $v_\parallel = 10^5$ m/s in $B = 0{,}1$ T: $T = \frac{2\pi m}{eB} = 6{,}56\cdot10^{-7}$ s e $p = v_\parallel T = 0{,}066$ m.

Le particelle cariche del vento solare si avvolgono a elica attorno alle linee del campo terrestre e scendono verso i poli, dove producono le aurore.

Selettore di velocità

Una regione con campo elettrico e magnetico perpendicolari tra loro e alla velocità delle particelle (per esempio $\vec E$ lungo $y$, $\vec B$ lungo $z$, particelle lungo $x$). Le forze elettrica $q\vec E$ e magnetica $q\vec v \times \vec B$ sono lungo la stessa retta e possono bilanciarsi:

Formula (selettore di velocità). $$qE = qvB \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B}$$

Esempio. $E = 2\cdot10^4$ V/m e $B = 0{,}1$ T: $v = \frac{E}{B} = 2\cdot10^5$ m/s.

Solo le particelle con questa velocità attraversano la regione senza deviare, qualunque sia la loro carica o massa: le altre vengono curvate e fermate da un diaframma. Si usa come "filtro" all'ingresso degli spettrometri.

Spettrometro di massa

Ioni di carica $q$, tutti con la stessa velocità $v$ (dal selettore) o accelerati dalla stessa tensione $\Delta V$, entrano in un campo $B$ uniforme e percorrono mezza circonferenza prima di colpire un rivelatore. Il punto di arrivo, a distanza $2r$ dall'ingresso, dipende dal rapporto massa/carica:

Formula (raggio nello spettrometro di massa). $$r = \frac{mv}{qB} \qquad\text{oppure, se accelerati da } \Delta V\text{:}\qquad r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{q}}$$

Esempio. Ioni da $40$ u ($6{,}64\cdot10^{-26}$ kg) con $q = e$, $\Delta V = 1000$ V e $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}} = 0{,}288$ m.

Ioni più pesanti curvano meno e arrivano più lontano. Così si separano gli isotopi di un elemento (per esempio $^{235}\text{U}$ e $^{238}\text{U}$) e si analizza la composizione di un campione.

Riepilogo

Errori comuni

• Sbagliare il verso del prodotto vettoriale, o dimenticare di invertirlo per le cariche negative.
• Pensare che il campo magnetico acceleri le cariche (nel senso di aumentarne la velocità): ne cambia solo la direzione.
• Usare la velocità totale nel raggio dell'elica: conta solo la componente perpendicolare a $\vec B$.
• Scambiare raggio e diametro nello spettrometro: lo ione arriva a distanza $2r$ dal punto di ingresso.