Dielettrici e polarizzazione

Segue Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →. Usa il Dipolo elettricoDue cariche opposte ±q a distanza a formano un dipolo di momento p = q a (da − a +). Lontano il potenziale cala come cosθ/r² e il campo come 1/r³; in un campo esterno uniforme il dipolo subisce un momento p×E che lo allinea, con energia U = −p·E.Dipolo elettrico →. Seguito: Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →. Esercizi: Esercizio 17 · tubo a U in due condensatori cilindrici, Esercizio 18 · energia di tre sfere concentriche, Esercizio 19 · condensatore piano e sferico in parallelo con dielettrico, Esercizio 20 · condensatore sferico riempito a metà.

Il fatto sperimentale

Si carica un condensatore piano, lo si stacca dal generatore (carica $Q$ fissa) e si misura la tensione $V_0$. Poi si riempie lo spazio tra le armature con un isolante (vetro, plastica, olio): la tensione scende a

Legge (effetto di un dielettrico sulla tensione a carica costante). $$V = \frac{V_0}{\varepsilon_r}$$

dove $\varepsilon_r > 1$ è un numero che dipende solo dal materiale, la costante dielettrica relativa. Siccome $Q$ non è cambiata, la capacità è aumentata dello stesso fattore: $C = \varepsilon_r C_0$. E siccome $V = Ed$, anche il campo tra le armature è sceso di $\varepsilon_r$.

Esempio. Condensatore isolato con $V_0 = 100$ V riempito con $\varepsilon_r = 4$: $V = \frac{100}{4} = 25$ V.

Un isolante usato così si chiama dielettrico. Il campo dentro è più debole perché il materiale "risponde" al campo producendo un campo opposto: si polarizza.

Polarizzazione microscopica

Un atomo o una molecola sono neutri, ma le loro cariche positive (nuclei) e negative (elettroni) possono spostarsi un po'. In un campo $\vec E$ succedono due cose diverse:

• Polarizzazione per deformazione (elettronica). In una molecola apolare (senza dipolo proprio, per esempio $\text{O}_2$, $\text{CH}_4$) il campo sposta la nuvola elettronica in verso opposto al campo rispetto al nucleo: nasce un piccolo dipolo indottoDue cariche ±q a distanza a: momento p = q a, diretto dalla negativa alla positiva.Dipolo elettrico →, parallelo a $\vec E$ e proporzionale a esso. Avviene in tutti i materiali e non dipende dalla temperatura.
• Polarizzazione per orientamento. Le molecole polari (come $\text{H}_2\text{O}$, $p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}\ \text{C m}$) hanno già un dipolo permanente. Senza campo i dipoli sono orientati a caso e la media è zero; il campo esercita su ciascuno il momento $\vec p \times \vec E$ e tende ad allinearlo, mentre l'agitazione termica lo disordina. Il risultato è un allineamento medio parziale, più forte a bassa temperatura (vedi Esercizio 9 · energia e forza tra due molecole d'acqua per il confronto tra energia elettrica e $k_BT$). Per questo l'acqua ha $\varepsilon_r$ così grande.

Il vettore polarizzazione e le cariche di polarizzazione

Si definisce il vettore polarizzazione come momento di dipolo per unità di volume:

Definizione (vettore polarizzazione). $$\vec\wp = \frac{\sum \vec p}{\Delta\tau} = n\,\langle\vec p\rangle \qquad [\text{C/m}^2]$$

Esempio. $n = 3\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ molecole con $\langle p\rangle = 2\cdot10^{-32}$ C m: $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$.

($n$ = numero di molecole per unità di volume, $\langle\vec p\rangle$ = dipolo medio). Ha le dimensioni di una densità superficiale di carica, e non per caso.

Dove va a finire la carica. Si prende una lastra di dielettrico polarizzata uniformemente, con $\vec\wp$ perpendicolare alle facce. All'interno, ogni positivo di una molecola è vicino al negativo della molecola accanto: le cariche si compensano. Sulle due facce invece resta uno strato non compensato: positivo sulla faccia verso cui punta $\vec\wp$, negativo sull'altra. È una carica legata (non può staccarsi dalle molecole), detta carica di polarizzazione, con densità

Formula (densità superficiale di carica di polarizzazione). $$\boxed{\sigma_p = \vec\wp \cdot \hat n}$$

dove $\hat n$ è la normale uscente dalla superficie del dielettrico. Se la polarizzazione non è uniforme compare anche una densità di volume $\rho_p = -\nabla \cdot \vec\wp$; nei problemi del corso la polarizzazione è uniforme e le cariche di polarizzazione stanno solo sulle superfici.

Esempio. Lastra con $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ perpendicolare alle facce: $\sigma_p = +6\cdot10^{-4}$ sulla faccia da cui esce $\vec\wp$ e $-6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ sull'altra.

Suscettività e costante dielettrica

Nei materiali comuni (dielettrici lineari e isotropi) la polarizzazione è proporzionale al campo che c'è nel materiale e ha la sua stessa direzione:

Formula (polarizzazione di un dielettrico lineare). $$\boxed{\vec\wp = \varepsilon_0\,\chi\,\vec E}$$

Esempio. $\chi = 3$ e $E = 10^5$ V/m: $\wp = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^5 = 2{,}66\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$.

$\chi \ge 0$ è la suscettività elettrica, un numero puro. Il campo $\vec E$ è quello totale nel dielettrico (cariche libere più cariche di polarizzazione).

Il campo nel condensatore pieno. Armature con densità libera $\pm\sigma$; sulle facce del dielettrico a contatto compaiono $\mp\sigma_p$, di segno opposto a quello dell'armatura vicina (la polarizzazione è parallela al campo, che va dall'armatura positiva alla negativa). Il campo nel dielettrico è quello di due piani con densità $\sigma - \sigma_p$:

$$E = \frac{\sigma - \sigma_p}{\varepsilon_0}, \qquad \sigma_p = \wp = \varepsilon_0\chi E$$

Sostituendo: $\varepsilon_0 E = \sigma - \varepsilon_0\chi E$, cioè

Formula (costante dielettrica relativa e suscettività). $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0(1 + \chi)} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}, \qquad \boxed{\varepsilon_r = 1 + \chi}$$

Esempio. $\chi = 3$ dà $\varepsilon_r = 1 + 3 = 4$ e il campo si riduce a $E = \frac{E_0}{4}$.

dove $E_0 = \sigma/\varepsilon_0$ è il campo che ci sarebbe nel vuoto. Il prodotto $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$ si chiama costante dielettrica assoluta del materiale. Una formula che torna in moltissimi esercizi:

Formula (carica di polarizzazione in funzione di quella libera). $$\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,\sigma \qquad\text{(e lo stesso per le cariche totali: } q_p = \tfrac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q\text{)}$$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m$^2$ e $\varepsilon_r = 4$: $\sigma_p = \frac{3}{4}\cdot10 = 7{,}5$ nC/m$^2$.

Per $\varepsilon_r \to 1$ (vuoto) $\sigma_p \to 0$; per $\varepsilon_r \to \infty$ $\sigma_p \to \sigma$ e il campo interno si annulla, come in un conduttore.

Dielettrici nei condensatori

Riempire completamente un condensatore con un dielettrico moltiplica la capacità per $\varepsilon_r$:

Formula (capacità con dielettrico). $$C = \varepsilon_r C_0 \qquad\text{(piano: } C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d\text{)}$$

Esempio. $C_0 = 100$ pF riempito con $\varepsilon_r = 4$: $C = 400$ pF.

Cosa succede alle altre grandezze dipende da cosa resta fisso:

Riempimento parziale. Si torna alle regole di serie e paralleloStrati paralleli alle armature: serie (stessa carica). Zone affiancate: parallelo (stessa tensione).Capacità e condensatori →:

• lastra di dielettrico di spessore $s$ parallela alle armature: serie di un condensatore vuoto (spessore $d - s$) e di uno pieno (spessore $s$), $\dfrac1C = \dfrac{d - s}{\varepsilon_0 S} + \dfrac{s}{\varepsilon_0\varepsilon_r S}$;
• dielettrico che occupa una frazione $f$ dell'area: parallelo, $C = C_0\,[(1 - f) + f\varepsilon_r]$.

Il dielettrico viene risucchiato. Un dielettrico vicino al bordo di un condensatore carico è attirato verso l'interno: il campo non uniforme del bordo agisce sui dipoli indotti, che sono attratti verso le zone di campo più intensoUn dipolo allineato al campo sente la forza p dE/dx, verso dove il campo è più forte.Dipolo elettrico →. Con il metodo dei lavori virtuali la forza è $F = \frac12 V^2\,\frac{dC}{dx}$: per questo un liquido dielettrico risale tra le armature verticali di un condensatore.

Il vettore induzione dielettrica $\vec D$

Nella legge di Gauss compaiono tutte le cariche, libere e di polarizzazione: $\oint \vec E \cdot d\vec S = (q_{\text{lib}} + q_p)/\varepsilon_0$. Le cariche di polarizzazione però non si conoscono in anticipo, dipendono dal campo. Si definisce allora

Definizione (vettore induzione dielettrica). $$\boxed{\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec\wp} \qquad [\text{C/m}^2]$$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $D = \varepsilon_0\varepsilon_r E = 3{,}54\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$.

e si dimostra che le sue sorgenti sono solo le cariche libere:

Legge (legge di Gauss per il vettore D). $$\boxed{\oint_S \vec D \cdot d\vec S = q_{\text{lib,int}}} \qquad\qquad \nabla \cdot \vec D = \rho_{\text{lib}}$$

Esempio. Sfera conduttrice con $q = 250$ pC in un dielettrico: a $r = 5$ cm $D = \frac{q}{4\pi r^2} = 7{,}96\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^2$, indipendente da $\varepsilon_r$.

(la carica di polarizzazione racchiusa è $-\oint \vec\wp \cdot d\vec S$, e portandola a sinistra si ottiene proprio il flusso di $\varepsilon_0\vec E + \vec\wp$.) Nei dielettrici lineari

$$\vec D = \varepsilon_0(1 + \chi)\vec E = \varepsilon_0\varepsilon_r\,\vec E$$

Come si usa negli esercizi. Con la simmetria giusta si calcola prima $D$ con Gauss usando solo le cariche libere (non serve sapere dove sta il dielettrico), poi $E = D/\varepsilon_0\varepsilon_r$ zona per zona, e infine $\wp = D - \varepsilon_0 E$ e le cariche di polarizzazione. Per esempio una carica puntiforme $q$ immersa in un dielettrico infinito: $D = q/4\pi r^2$, $E = q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2)$; tutte le forze elettriche nel mezzo sono ridotte di $\varepsilon_r$, come anticipato in Carica elettrica e legge di CoulombLa carica elettrica è una proprietà della materia, si conserva ed è quantizzata (multipli di e). Due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Carica elettrica e legge di Coulomb →.

All'interfaccia tra due dielettrici (senza cariche libere): la componente di $\vec D$ perpendicolare alla superficie è continua, quella di $\vec E$ parallela alla superficie è continua. Per questo nella serie di strati $D$ è lo stesso in tutti gli strati ed $E$ cambia, mentre nelle zone affiancate $E$ è lo stesso e $D$ cambia.

Energia e rigidità dielettrica

La densità di energia in un dielettrico lineare diventa

Formula (densità di energia in un dielettrico). $$u = \frac12\,\vec D \cdot \vec E = \frac12\,\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\cdot10^{10} = 0{,}177\ \text{J/m}^3$.

Ogni isolante sopporta un campo massimo, la rigidità dielettrica $E_{\max}$: oltre, gli elettroni vengono strappati dagli atomi, il materiale diventa conduttore e si ha una scarica che di solito lo danneggia. Per l'aria $E_{\max} \approx 3 \cdot 10^6\ \text{V/m}$, per la mica $\approx 10^8\ \text{V/m}$. Un buon dielettrico per condensatori deve quindi avere $\varepsilon_r$ grande (più capacità) e rigidità alta (più tensione, cioè più energia $\frac12 CV^2$).

Riepilogo

Errori comuni

• Usare la carica di polarizzazione nella legge di Gauss per $\vec D$: il flusso di $\vec D$ conta solo le cariche libere.
• Dividere per $\varepsilon_r$ anche fuori dal dielettrico: il campo è ridotto solo dove c'è il materiale.
• Confondere suscettività e costante dielettrica: $\chi = \varepsilon_r - 1$ (un testo che dà "suscettività 19" vuol dire $\varepsilon_r = 20$).
• Dimenticare se il condensatore è isolato o collegato quando si inserisce il dielettrico: cambia tutto (vedi la tabella).