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Note per Studenti Esercizio 42 · circuito RL e lavoro del generatore

Esercizio 42circuito RL e lavoro del generatore

Esame
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Testo (III appello, 20 giugno 2024, problema 2). Si consideri un circuito RL con resistenza R=30 ΩR = 30\ \Omega, induttanza L=300 mHL = 300\ \text{mH} e generatore di forza elettromotrice VV. Il circuito viene chiuso al tempo t0=0t_0 = 0 e si osserva che nella situazione finale (dopo un tempo praticamente infinito) l'autoflusso del campo magnetico nella bobina è Φ=0,6 Wb\Phi = 0{,}6\ \text{Wb}. Determinare:

  1. il valore della forza elettromotrice VV del generatore nel circuito;
  2. l'energia UdU_d dissipata nella resistenza fra l'istante t0t_0 e l'istante t1=12 mst_1 = 12\ \text{ms};
  3. il lavoro WgW_g fatto dal generatore di f.e.m. fra l'istante t0t_0 e l'istante t1t_1.

Teoria: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →.

1) F.e.m. del generatore

L'autoflussoΦ = L i: il flusso del campo prodotto dal circuito e concatenato con il circuito stesso è proporzionale alla corrente.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → è proporzionale alla corrente, Φ=Li\Phi = Li. A regime la corrente non cambia, l'induttore si comporta come un filo e la corrente è fissata solo dalla resistenza, i0=V/Ri_0 = V/R. Quindi

i0=ΦL=0,60,3=2 A,V=R i0=30⋅2=60 Vi_0 = \frac{\Phi}{L} = \frac{0{,}6}{0{,}3} = 2\ \text{A}, \qquad V = R\,i_0 = 30 \cdot 2 = 60\ \text{V}

2) Energia dissipata nella resistenza fino a t1t_1

La corrente. Alla chiusura di un circuito RL:

i(t)=i0(1−e−t/τ),τ=LR=0,330=10 msi(t) = i_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R} = \frac{0{,}3}{30} = 10\ \text{ms}

t1=12 mst_1 = 12\ \text{ms} è poco più di una costante di tempo: il transitorio è ancora in corso.

L'integrale. La potenza dissipata è Ri2Ri^2, da integrare:

Ud=∫0t1R i02(1−e−t/τ)2dt=R i02∫0t1(1−2e−t/τ+e−2t/τ)dtU_d = \int_0^{t_1} R\,i_0^2\left(1 - e^{-t/\tau}\right)^2 dt = R\,i_0^2\int_0^{t_1}\left(1 - 2e^{-t/\tau} + e^{-2t/\tau}\right)dt

Si integrano i tre termini separatamente:

  • ∫0t11 dt=t1\int_0^{t_1} 1\,dt = t_1;
  • ∫0t12e−t/τ dt=2τ(1−e−t1/τ)\int_0^{t_1} 2e^{-t/\tau}\,dt = 2\tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right);
  • ∫0t1e−2t/τ dt=τ2(1−e−2t1/τ)\int_0^{t_1} e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{\tau}{2}\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right).

Ud=R i02[t1−2τ(1−e−t1/τ)+τ2(1−e−2t1/τ)]U_d = R\,i_0^2\left[t_1 - 2\tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right) + \frac{\tau}{2}\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right)\right]

Numeri. e−t1/τ=e−1,2=0,3012e^{-t_1/\tau} = e^{-1{,}2} = 0{,}3012 ed e−2,4=0,0907e^{-2{,}4} = 0{,}0907; Ri02=120 WRi_0^2 = 120\ \text{W}:

Ud=120⋅[0,012−0,02⋅0,6988+0,005⋅0,9093]=120⋅[0,012−0,013976+0,004546]=120⋅2,570⋅10−3=0,308 JU_d = 120 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}02 \cdot 0{,}6988 + 0{,}005 \cdot 0{,}9093\right] = 120 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}013976 + 0{,}004546\right] = 120 \cdot 2{,}570 \cdot 10^{-3} = 0{,}308\ \text{J}

3) Lavoro del generatore

Il bilancio. Dall'equazione del circuito moltiplicata per iV i = R i² + d(½ L i²)/dt: la potenza del generatore va in calore e in energia magnetica.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → il lavoro del generatore si divide tra il calore nella resistenza e l'energia magnetica accumulata nell'induttore:

Wg=Ud+12L i(t1)2W_g = U_d + \frac12 L\,i(t_1)^2

Corrente a t1t_1: i(t1)=2 (1−0,3012)=1,398 Ai(t_1) = 2\,(1 - 0{,}3012) = 1{,}398\ \text{A}. Energia magnetica: 12⋅0,3⋅1,3982=0,293 J\frac12 \cdot 0{,}3 \cdot 1{,}398^2 = 0{,}293\ \text{J}.

Wg=0,308+0,293=0,601 JW_g = 0{,}308 + 0{,}293 = 0{,}601\ \text{J}

Controllo diretto. Il lavoro del generatore è anche ∫0t1V i dt\int_0^{t_1} V\,i\,dt:

Wg=V i0[t1−τ(1−e−t1/τ)]=60⋅2⋅[0,012−0,01⋅0,6988]=120⋅5,012⋅10−3=0,601 J ✓W_g = V\,i_0\left[t_1 - \tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right)\right] = 60 \cdot 2 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}01 \cdot 0{,}6988\right] = 120 \cdot 5{,}012 \cdot 10^{-3} = 0{,}601\ \text{J}\ ✓

Grafico interattivo: Circuito RL con V = 60 V, R = 30 Ω, τ = 10 ms (ascissa: t in ms; ordinata: potenza in W): la potenza del generatore V·i = 120(1 − e^(−t/τ)) e quella dissipata nella resistenza R i² = 120(1 − e^(−t/τ))²; fino a t₁ = 12 ms l'area sotto la prima curva è W_g = 0,601 J, l'area colorata sotto la seconda è l'energia dissipata U_d = 0,308 J, e la differenza, 0,293 J, è l'energia accumulata nell'induttore

A questo istante quasi metà del lavoro del generatore è ancora "immagazzinata" nell'induttore; a regime l'energia magnetica si ferma a 12Li02=0,6 J\frac12 Li_0^2 = 0{,}6\ \text{J}, mentre il calore continua a crescere con la potenza costante Ri02=120 WRi_0^2 = 120\ \text{W}.

Verifica numerica

python
import numpy as np
R, L, Phi, t1 = 30, 0.3, 0.6, 12e-3
i0 = Phi/L; V = R*i0; tau = L/R
Ud = R*i0**2*(t1 - 2*tau*(1 - np.exp(-t1/tau)) + tau/2*(1 - np.exp(-2*t1/tau)))
i1 = i0*(1 - np.exp(-t1/tau))
print(V, tau, Ud, i1, Ud + 0.5*L*i1**2)            # 60 V, 0.01 s, 0.308 J, 1.40 A, 0.601 J
print(V*i0*(t1 - tau*(1 - np.exp(-t1/tau))))       # 0.601 J

Risultati

grandezza valore
corrente di regime 2 A2\ \text{A}
f.e.m. del generatore 60 V60\ \text{V}
costante di tempo 10 ms10\ \text{ms}
energia dissipata fino a t1t_1 0,308 J0{,}308\ \text{J}
corrente a t1t_1, energia magnetica 1,40 A1{,}40\ \text{A}, 0,293 J0{,}293\ \text{J}
lavoro del generatore 0,601 J0{,}601\ \text{J}

Errori comuni

  • Calcolare il calore con la corrente di regime: durante il transitorio la corrente è minore, bisogna integrare Ri2Ri^2.
  • Sviluppare male il quadrato (1−e−t/τ)2(1 - e^{-t/\tau})^2: il doppio prodotto è −2e−t/τ-2e^{-t/\tau} e il quadrato e−2t/τe^{-2t/\tau}.
  • Dimenticare l'energia magnetica nel lavoro del generatore.

Versione ripasso

Testo (III appello, 20 giugno 2024, problema 2). Si consideri un circuito RL con resistenza R=30 ΩR = 30\ \Omega, induttanza L=300 mHL = 300\ \text{mH} e generatore di forza elettromotrice VV. Il circuito viene chiuso al tempo t0=0t_0 = 0 e si osserva che nella situazione finale (dopo un tempo praticamente infinito) l'autoflusso del campo magnetico nella bobina è Φ=0,6 Wb\Phi = 0{,}6\ \text{Wb}. Determinare:

  1. il valore della forza elettromotrice VV del generatore nel circuito;
  2. l'energia UdU_d dissipata nella resistenza fra l'istante t0t_0 e l'istante t1=12 mst_1 = 12\ \text{ms};
  3. il lavoro WgW_g fatto dal generatore di f.e.m. fra l'istante t0t_0 e l'istante t1t_1.

Teoria: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →.

Metodo: a regime l'induttore è un filo, i0=V/Ri_0=V/R; Φ=Li\Phi=Li (autoflussoΦ = L i: il flusso del campo prodotto dal circuito e concatenato con il circuito stesso è proporzionale alla corrente.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →); i=i0(1−e−t/τ)i=i_0(1-e^{-t/\tau}), τ=LR\tau=\frac LR; calore =∫Ri2dt=\int Ri^2dt; bilancio del generatore.

  1. 1) i0=ΦL=0,60,3=2i_0=\frac\Phi L=\frac{0{,}6}{0{,}3}=2 A, V=Ri0=30⋅2=60V=Ri_0=30\cdot2=60 V; τ=0,330=10\tau=\frac{0{,}3}{30}=10 ms (t1=12t_1=12 ms: transitorio in corso).
  2. 2) Ud=Ri02∫0t1(1−2e−t/τ+e−2t/τ)dt=Ri02[t1−2τ(1−e−t1/τ)+τ2(1−e−2t1/τ)]U_d=Ri_0^2\int_0^{t_1}(1-2e^{-t/\tau}+e^{-2t/\tau})dt=Ri_0^2\left[t_1-2\tau(1-e^{-t_1/\tau})+\frac\tau2(1-e^{-2t_1/\tau})\right]. Con e−1,2=0,3012e^{-1{,}2}=0{,}3012, e−2,4=0,0907e^{-2{,}4}=0{,}0907, Ri02=120Ri_0^2=120 W: Ud=120[0,012−0,02⋅0,6988+0,005⋅0,9093]=120⋅2,570⋅10−3=0,308U_d=120[0{,}012-0{,}02\cdot0{,}6988+0{,}005\cdot0{,}9093]=120\cdot2{,}570\cdot10^{-3}=0{,}308 J.
  3. 3) Dall'equazione del circuito moltiplicata per iV i = R i² + d(½ L i²)/dt: la potenza del generatore va in calore e in energia magnetica.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →: Wg=Ud+12Li(t1)2W_g=U_d+\frac12Li(t_1)^2, con i(t1)=2(1−0,3012)=1,398i(t_1)=2(1-0{,}3012)=1{,}398 A e 12⋅0,3⋅1,3982=0,293\frac12\cdot0{,}3\cdot1{,}398^2=0{,}293 J: Wg=0,308+0,293=0,601W_g=0{,}308+0{,}293=0{,}601 J. Controllo: Wg=Vi0[t1−τ(1−e−t1/τ)]=120⋅(0,012−0,01⋅0,6988)=0,601W_g=Vi_0[t_1-\tau(1-e^{-t_1/\tau})]=120\cdot(0{,}012-0{,}01\cdot0{,}6988)=0{,}601 J.

Risultati: V=60V=60 V; Ud=0,308U_d=0{,}308 J; Wg=0,601W_g=0{,}601 J.

Errori tipici: calore con la corrente di regime; sviluppare male (1−e−t/τ)2(1-e^{-t/\tau})^2; dimenticare l'energia magnetica nel lavoro del generatore.

Teoria collegata