Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo

Segue Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H →. Seguito: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →.

Tre comportamenti

Il prof divide i materiali in due grandi famiglie:

• amagnetici, che si magnetizzano pochissimo: a loro volta diamagnetici (si magnetizzano in verso opposto al campo) e paramagnetici (nello stesso verso);
• magnetici, cioè ferromagnetici, che si magnetizzano moltissimo.

Le linee di campo. Un cilindretto messo in un campo uniforme lo modifica così:

• diamagnetico: le linee vengono leggermente espulse, il campo dentro è un po' più debole;
• paramagnetico: le linee vengono leggermente concentrate dentro il materiale;
• ferromagnetico: le linee vengono fortemente concentrate, il materiale "risucchia" il flusso.

Le forze. In un campo non uniforme un dipolo magnetico allineato al campo è attratto verso le zone di campo più intenso (vedi Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →). Quindi paramagnetici e ferromagnetici sono attratti dai magneti; i diamagnetici, con il momento opposto al campo, sono respinti. Nei materiali amagnetici l'effetto è così debole che serve un magnete potente per notarlo.

Diamagnetismo

Il meccanismo. Accendendo un campo $\vec B$ attorno a un atomo, le orbite degli elettroni si modificano: per la legge di LenzUna variazione di flusso magnetico produce una corrente indotta che si oppone alla variazione stessa.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →, applicata alle "spire" atomiche, nasce un momento magnetico indotto che si oppone al campo applicato. Questo effetto c'è in tutti gli atomi; si vede da solo nei materiali i cui atomi non hanno momento magnetico permanente (gas nobili, rame, oro, bismuto, acqua, quasi tutte le sostanze organiche). Negli altri è nascosto dagli effetti più intensi, para- o ferromagnetici.

Caratteristiche.

• $\chi_m < 0$, piccolissima ($10^{-6}$–$10^{-4}$ in valore assoluto);
• non dipende dalla temperatura: non c'è un allineamento che l'agitazione termica possa disturbare, il momento è indotto direttamente dal campo.

Levitazione diamagnetica. In un campo molto intenso e non uniforme la repulsione può bilanciare il peso: una lamina di grafite pirolitica, o un frammento di bismuto, galleggiano sopra una griglia di magneti al neodimio. Con campi di $16\ \text{T}$ si è fatta levitare perfino una rana (che è fatta soprattutto d'acqua, diamagnetica).

Caso limite: i superconduttori espellono completamente il campo magnetico dal loro interno (effetto Meissner): si comportano come diamagneti perfetti, con $\chi_m = -1$ e $B = 0$ dentro.

Paramagnetismo

Il meccanismo. Gli atomi o le molecole hanno un momento magnetico permanente $m_0$ (per esempio alluminio, titanio, platino, ossigeno). In un campo $\vec B$ ognuno tende ad allinearsi, perché l'energia del dipoloU = −m·B: minima quando il momento è parallelo al campo.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → $U = -\vec m \cdot \vec B$ è minima con $\vec m$ parallelo a $\vec B$. Ma l'agitazione termica, con energie dell'ordine di $k_BT$, rimescola continuamente le orientazioni.

Quanto si allineano? Confrontiamo le due energie con numeri tipici: $m_0 B \approx 9{,}3 \cdot 10^{-24} \cdot 1 \approx 10^{-23}\ \text{J}$ per un campo di $1\ \text{T}$, contro $k_BT = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 4 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$ a temperatura ambiente. L'energia magnetica è centinaia di volte più piccola di quella termica: l'allineamento medio è solo una piccola frazione, $\approx m_0B/3k_BT$. Per questo $\chi_m$ è così piccola.

Legge di Curie. Il ragionamento dice anche come dipende dalla temperatura: più è caldo, meno i momenti si allineano.

Legge di Curie. $$\boxed{\chi_m = \frac{C}{T}}$$

con $C$ costante di Curie, caratteristica del materiale. Raffreddando, la suscettività cresce: l'ossigeno liquido (a $90\ \text{K}$) è abbastanza paramagnetico da restare sospeso tra i poli di un magnete.

Esempio. Con $C = 0{,}08$ K: $\chi_m(300\ \text{K}) = 2{,}7\cdot10^{-4}$ e $\chi_m(150\ \text{K}) = 5{,}3\cdot10^{-4}$: dimezzando la temperatura la suscettività raddoppia.

Saturazione. A temperature bassissime e campi intensissimi l'allineamento può diventare completo: allora $M$ smette di crescere con il campo e la relazione lineare $M = \chi_m H$ non vale più. Nelle condizioni ordinarie si è sempre molto lontani da questa situazione.

Ferromagnetismo

I domini di Weiss. Nel ferro, nel nichel, nel cobalto (e in alcune leghe) i momenti magnetici di atomi vicini interagiscono fortemente tra loro (un effetto quantistico, detto interazione di scambio, molto più intenso dell'interazione magnetica tra dipoli) e tendono ad allinearsi spontaneamente, anche senza campo esterno. Il materiale è diviso in domini di Weiss, regioni di dimensioni tipiche tra $10^{-6}$ e $10^{-4}\ \text{m}$, ognuna magnetizzata completamente in una certa direzione.

• Ferro "smagnetizzato": le direzioni dei domini sono distribuite a caso e la magnetizzazione media è nulla, $\langle\vec m\rangle = 0$.
• In un campo esterno i domini orientati come il campo si allargano a spese degli altri (le pareti tra i domini si spostano), e a campi più intensi interi domini ruotano: la magnetizzazione media diventa grandissima, $\langle\vec m\rangle \ne 0$.

Gli spostamenti delle pareti avvengono a scatti, quando superano le imperfezioni del cristallo: la curva di magnetizzazione, vista al microscopio, è una scaletta (effetto Barkhausen, che si può anche "sentire" collegando a un altoparlante una bobina avvolta sul campione).

Permeabilità non costante. Siccome il meccanismo è questo, $M$ non è proporzionale a $H$: si definisce comunque $\mu_r = B/(\mu_0 H)$ punto per punto, ma il suo valore dipende dal campo e dalla storia del materiale. Negli esercizi si assume spesso un valore costante "nell'intervallo di campi considerato", come approssimazione.

Ciclo di isteresi

Si avvolge un solenoide attorno a un campione di ferro mai magnetizzato e si varia la corrente, cioè $H = ni$, misurando $B$.

1. Curva di prima magnetizzazione: partendo da $H = 0$, $B = 0$, aumentando $H$ il campo $B$ cresce prima lentamente, poi rapidamente (spostamento delle pareti), poi sempre più piano.
2. Saturazione: tutti i domini sono allineati, $M$ non cresce più e $B$ aumenta solo come $\mu_0 H$.
3. Riportando $H$ a zero, $B$ non torna a zero: resta il campo residuo (o rimanenza) $B_r$. Il ferro è diventato una calamita permanente: i domini non tornano tutti nella posizione di prima.
4. Per annullare $B$ serve un campo opposto, il campo coercitivo $H_c$.
5. Continuando in verso opposto si arriva alla saturazione opposta, e tornando indietro si chiude un anello: il ciclo di isteresi.

"Isteresi" significa che lo stato dipende dalla storia: a un dato valore di $H$ corrispondono valori diversi di $B$ a seconda che il campo stesse salendo o scendendo.

L'area del ciclo è energia persa. Si dimostra che il lavoro fatto dal generatore per percorrere un ciclo completo, per unità di volume del materiale, è $\oint H\,dB$, cioè l'area racchiusa dal ciclo nel piano $(H, B)$. Quest'energia va in calore.

Materiali dolci e duri.

Temperatura di Curie

L'allineamento spontaneo dei domini compete con l'agitazione termica. Al di sopra di una temperatura critica, la temperatura di Curie $T_C$, l'agitazione vince: i domini si disfano e il materiale diventa paramagnetico, con una suscettività che segue la legge di Curie-Weiss

Legge (legge di Curie-Weiss). $$\chi_m = \frac{C}{T - T_C} \qquad (T > T_C)$$

Esempio. Ferro con $T_C = 1043$ K: a $1143$ K $\chi_m = \frac{C}{100\ \text{K}}$, a $1053$ K $\chi_m = \frac{C}{10\ \text{K}}$, dieci volte più grande avvicinandosi a $T_C$.

Riscaldare una calamita oltre $T_C$ la smagnetizza; raffreddandola senza campo esterno i domini si riformano con orientazioni casuali.

Errori comuni

• Pensare che i diamagnetici abbiano $\mu_r < 0$: $\mu_r = 1 + \chi_m$ è appena sotto $1$, è $\chi_m$ a essere negativa.
• Usare $B = \mu_0\mu_r H$ con $\mu_r$ costante per un ferromagnetico senza che il testo lo dica: in generale $\mu_r$ dipende dal campo e dalla storia.
• Confondere campo residuo e campo coercitivo: il residuo è il $B$ che resta a $H = 0$, il coercitivo è l'$H$ che serve per avere $B = 0$.
• Attribuire il diamagnetismo solo ad alcuni materiali: c'è sempre, ma si vede solo quando mancano i momenti permanenti.