Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico

Segue Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione → e usa il gradiente dei richiami di calcolo vettorialeGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →. Seguito: Dipolo elettricoDue cariche opposte ±q a distanza a formano un dipolo di momento p = q a (da − a +). Lontano il potenziale cala come cosθ/r² e il campo come 1/r³; in un campo esterno uniforme il dipolo subisce un momento p×E che lo allinea, con energia U = −p·E.Dipolo elettrico →. Esercizi: Esercizio 3 · quattro cariche ai vertici di un quadrato, Esercizio 4 · punti di campo nullo e potenziale nullo sull'asse, Esercizio 6 · energia di un quadrato di cariche e lavoro per spostarne una, Esercizio 7 · campo elettrico da un potenziale assegnato, Esercizio 8 · protone in un potenziale a tratti.

Il lavoro della forza elettrica

Una carica $q_0$ si sposta da $A$ a $B$ in presenza di un campo $\vec E$. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica $\vec F = q_0 \vec E$ è

Definizione (lavoro della forza elettrica). $$W_{AB} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec l = q_0 \int_A^B \vec E \cdot d\vec l$$

Esempio. $q_0 = 2$ nC in un campo uniforme $E = 500$ N/C spostata di $0{,}1$ m nel verso del campo: $W = q_0 E d = 10^{-7}$ J.

Caso di una carica puntiforme sorgente $q$. Lo spostamento $d\vec l$ si scompone in una parte radiale $dr$ e una perpendicolare a $\hat u_r$. Il campo è radiale, quindi solo la parte radiale conta: $\vec E \cdot d\vec l = E\,dr$. Allora

$$W_{AB} = q_0 \int_{r_A}^{r_B} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr = \frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac1r\right]_{r_A}^{r_B} = \frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right)$$

Il risultato dipende solo dalle distanze iniziale e finale, non dal percorso seguito. Per il principio di sovrapposizione la stessa cosa vale per qualunque insieme di cariche ferme: la forza elettrostatica è conservativa. Equivalentemente, il lavoro lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo:

Proprietà (circuitazione nulla del campo elettrostatico). $$\oint \vec E \cdot d\vec l = 0$$

Esempio. Campo uniforme $E = 100$ V/m e percorso chiuso quadrato: i lati opposti danno contributi uguali e opposti, quindi $\oint\vec E\cdot d\vec l = 0$.

(la circuitazione del campo elettrostatico è nulla). Per il teorema di StokesGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → questo equivale a $\nabla \times \vec E = 0$.

Energia potenziale

Come in meccanica, per una forza conservativa si definisce un'energia potenziale $U$ tale che il lavoro sia la diminuzione di $U$:

Definizione (energia potenziale elettrostatica). $$W_{AB} = -\Delta U = U(A) - U(B)$$

Esempio. Una carica che subisce dal campo il lavoro $W_{AB} = +2$ mJ passa da $U(A)$ a $U(B) = U(A) - 2$ mJ: $\Delta U = -2$ mJ.

Per due cariche puntiformi, scegliendo $U = 0$ quando sono infinitamente lontane:

Formula (energia potenziale di due cariche puntiformi). $$\boxed{U(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\,q}{r}}$$

Esempio. $q_0 = 2$ nC e $q = 3$ nC a $r = 3$ cm: $U = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{6\cdot10^{-18}}{0{,}03} = 1{,}8\cdot10^{-6}$ J.

• Cariche dello stesso segno: $U > 0$, e diminuisce allontanandole (si respingono "spontaneamente").
• Cariche di segno opposto: $U < 0$, e diminuisce avvicinandole (si attraggono).

Interpretazione. $U(r)$ è il lavoro che un agente esterno deve compiere per portare $q_0$ dall'infinito alla distanza $r$ da $q$, lentamente (senza fornire energia cinetica). Il lavoro dell'agente esterno è l'opposto di quello della forza elettrica: $W_{\text{est}} = +\Delta U$.

Il potenziale elettrostatico

L'energia potenziale dipende dalla carica di prova $q_0$. Dividendo per $q_0$ si ottiene una grandezza che dipende solo dalle sorgenti, il potenziale elettrostatico:

Definizione (potenziale elettrostatico). $$V = \frac{U}{q_0} \qquad\qquad V(A) - V(B) = \int_A^B \vec E \cdot d\vec l$$

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 2$ nC con $U = 6\ \mu$J ha $V = \frac{6\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-9}} = 3000$ V.

• Unità: il volt, $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$. Da qui si vede perché il campo si misura anche in V/m.
• Fisicamente conta solo la differenza di potenziale (d.d.p. o tensione) $\Delta V$; il valore assoluto dipende da dove si mette lo zero. Per distribuzioni limitate si sceglie $V(\infty) = 0$.
• Il potenziale è uno scalare: per più sorgenti si sommano numeri con il loro segno, molto più semplice che sommare vettori.

Carica puntiforme:

Formula (potenziale di una carica puntiforme). $$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$$

Esempio. $q = 2$ nC a $r = 3$ cm: $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} = 599$ V.

Sistema di cariche puntiformi e distribuzione continua:

Formula (potenziale di più cariche). $$V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{r_i} \qquad\qquad V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r}$$

Esempio. $P$ a $3$ cm da $+2$ nC e a $6$ cm da $-2$ nC: $V = 8{,}99\cdot10^9\left(\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}06}\right) = 300$ V.

Lavoro e potenziale. Una carica $q$ che passa da $A$ a $B$ subisce dal campo un lavoro

Principio di conservazione dell'energia (carica in un campo elettrico). $$W_{AB} = q\,[V(A) - V(B)]$$ e, se agisce solo la forza elettrica, la sua energia meccanica si conserva: $$\tfrac12 m v_A^2 + q V(A) = \tfrac12 m v_B^2 + q V(B)$$

Esempio. Protone da fermo attraverso $\Delta V = 1000$ V: $v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}673\cdot10^{-27}}} = 4{,}38\cdot10^{5}$ m/s.

Questo è lo strumento principale degli esercizi: una carica positiva lasciata libera va verso potenziali più bassi e accelera; una negativa va verso potenziali più alti.

L'elettronvolt. È l'energia acquistata da una carica $e$ che attraversa una d.d.p. di 1 V:

Definizione (elettronvolt). $$1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$$

Esempio. Un elettrone accelerato da $1000$ V acquista $1000$ eV $= 1{,}602\cdot10^{-16}$ J.

È l'unità naturale per le energie di atomi e particelle: un elettrone accelerato da 100 V ha energia cinetica 100 eV.

Energia di un sistema di cariche

L'energia elettrostatica di un sistema di cariche puntiformi è il lavoro necessario per costruirlo portando le cariche una alla volta dall'infinito. Si porta $q_1$ (lavoro nullo, non c'è ancora campo), poi $q_2$ nel campo di $q_1$, poi $q_3$ nel campo di $q_1$ e $q_2$, e così via. Il risultato è la somma su tutte le coppie, ciascuna contata una volta:

Formula (energia elettrostatica di un sistema di cariche). $$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac12\sum_i q_i V_i$$

dove $V_i$ è il potenziale nel punto di $q_i$ dovuto a tutte le altre cariche (il fattore $\frac12$ corregge il fatto che nella seconda forma ogni coppia compare due volte). Con 3 cariche le coppie sono 3, con 4 cariche sono 6. Un esempio completo: Esercizio 6 · energia di un quadrato di cariche e lavoro per spostarne una.

Esempio. Tre cariche da $1$ nC ai vertici di un triangolo equilatero di lato $10$ cm: $U = 3\cdot8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-18}}{0{,}1} = 2{,}7\cdot10^{-7}$ J.

Dal potenziale al campo: $\vec E = -\nabla V$

Per uno spostamento infinitesimo, $dV = -\vec E \cdot d\vec l$. Confrontando con $dV = \nabla V \cdot d\vec l$ (definizione di gradienteGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →):

Formula (campo dal potenziale). $$\boxed{\vec E = -\nabla V} \qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\ E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\ E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$$

Esempio. $V = 3x^2$ (volt, con $x$ in metri): $E_x = -\frac{dV}{dx} = -6x$, quindi in $x = 2$ m è $E_x = -12$ V/m.

Conseguenze:

• il campo punta verso i potenziali decrescenti, nella direzione in cui $V$ cala più in fretta;
• in una dimensione $E_x = -dV/dx$: dove il grafico di $V(x)$ è piatto il campo è nullo, dove è una retta il campo è uniforme e vale meno la pendenza;
• è spesso più comodo calcolare prima $V$ (scalare, si somma senza componenti) e poi derivare.

Verifica sulla carica puntiforme: $V = kq/r$ dipende solo da $r$, quindi $\vec E = -\frac{dV}{dr}\hat u_r = \frac{kq}{r^2}\hat u_r$ ✓.

Esempio di lettura di un grafico. Se $V(x)$ è costante a $2\ \text{V}$ per $0 < x < 1\ \text{m}$ e poi scende linearmente fino a $-4\ \text{V}$ in $x = 3\ \text{m}$, nel primo tratto $E = 0$, nel secondo $E_x = -\frac{-4 - 2}{3 - 1} = +3\ \text{V/m}$. È esattamente la situazione dell'Esercizio 8 · protone in un potenziale a tratti.

Superfici equipotenziali

Sono le superfici su cui $V$ è costante. Proprietà:

• il campo $\vec E$ è sempre perpendicolare alle equipotenziali (perché il gradiente è perpendicolare alle superfici di livello);
• spostare una carica lungo un'equipotenziale non richiede lavoro;
• due equipotenziali diverse non si intersecano (in un punto il potenziale ha un solo valore);
• dove le equipotenziali (a passi uguali di $\Delta V$) sono più fitte, il campo è più intenso.

Esempi: per una carica puntiforme sono sfere concentriche; per un campo uniforme sono piani perpendicolari al campo; la superficie di un conduttore in equilibrioIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico → è sempre equipotenziale.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Segno del lavoro: il lavoro della forza elettrica è $-\Delta U$, quello dell'agente esterno è $+\Delta U$. Leggere bene cosa chiede il testo.
• Potenziale nullo non vuol dire campo nullo (e viceversa): nel punto medio tra due cariche $+q$ e $-q$ il potenziale è zero ($kq/a - kq/a$) ma il campo no (i due campi puntano entrambi verso $-q$ e si sommano); al centro di quattro cariche uguali il campo è zero ma il potenziale no.
• Sommare i potenziali come vettori: si sommano come numeri, con il segno della carica.