Applicazioni della legge di Gauss

Segue Flusso del campo elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0, qualunque siano forma della superficie e posizione delle cariche interne; in forma locale div E = ρ/ε0. Insieme a rot E = 0 riassume tutta l'elettrostatica.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss →. Seguito: Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →. Esercizi: Esercizio 12 · sfera con densità di carica variabile, Esercizio 13 · particella carica tra due piani indefiniti.

La ricetta

La legge di Gauss $\oint \vec E \cdot \hat n\,dS = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ permette di ricavare $E$ quando si riesce a portarlo fuori dall'integrale. Serve una superficie gaussiana (immaginaria) su cui:

1. il campo è perpendicolare alla superficie (così $\vec E \cdot \hat n = \pm E$) oppure parallelo (contributo nullo);
2. dove è perpendicolare, ha modulo costante.

Allora $\oint \vec E \cdot \hat n\,dS = E \cdot S_\perp$, e si ricava $E = Q_{\text{int}}/(\varepsilon_0 S_\perp)$.

Passi:

1. dalla simmetria della distribuzione dedurre direzione del campo e da quali coordinate dipende il suo modulo;
2. scegliere la superficie gaussiana con la stessa simmetria, passante per il punto dove si vuole il campo;
3. calcolare il flusso (in funzione di $E$) e la carica interna;
4. uguagliare e ricavare $E$.

Filo indefinito

Densità lineare $\lambda$. Simmetria: il filo è uguale a se stesso traslandolo lungo l'asse o ruotandolo; quindi $\vec E$ è radiale (perpendicolare al filo) e dipende solo dalla distanza $r$.

Superficie: cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $h$. Sulle due basi il campo è parallelo alla superficie: flusso nullo. Sulla superficie laterale il campo è perpendicolare e costante: flusso $E \cdot 2\pi r h$. Carica interna: $\lambda h$.

Formula (campo di un filo indefinito con la legge di Gauss). $$E \cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$$

Esempio. $\lambda = 5$ nC/m a $r = 10$ cm: $E = \frac{5\cdot10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}1} = 899$ V/m.

Lo stesso risultato ottenuto integrandoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →, ma in tre righe.

Piano indefinito

Densità superficiale $\sigma$. Simmetria: campo perpendicolare al piano, con verso opposto ai due lati, modulo che può dipendere solo dalla distanza.

Superficie: cilindretto con le basi di area $A$ parallele al piano, una per lato, alla stessa distanza. Superficie laterale: flusso nullo. Due basi: flusso $EA$ ciascuna (uscente da entrambe se $\sigma > 0$). Carica interna: $\sigma A$.

Formula (campo di un piano indefinito con la legge di Gauss). $$2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$

indipendente dalla distanza. Per una lastra spessa con densità volumica $\rho$ e spessore $d$, fuori dalla lastra vale lo stesso risultato con $\sigma = \rho d$; dentro, a distanza $x$ dal piano centrale, $E = \rho x/\varepsilon_0$.

Esempio. $\sigma = -10$ nC/m$^2$: $|E| = \frac{10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = 565$ V/m, diretto verso il piano.

Guscio sferico

Carica $Q$ distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio $R$. Simmetria sferica: $\vec E$ radiale, modulo dipendente solo da $r$. Superficie: sfera concentrica di raggio $r$, su cui il flusso è $E \cdot 4\pi r^2$.

Formula (campo di un guscio sferico carico).

• Fuori ($r > R$): $Q_{\text{int}} = Q$, quindi $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, come se tutta la carica fosse nel centro.
• Dentro ($r < R$): $Q_{\text{int}} = 0$, quindi $E = 0$.

Esempio. $Q = 5$ nC, $R = 2$ cm: a $r = 10$ cm $E = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 4495$ V/m; per $r < R$ è $E = 0$.

Il campo dentro il guscio è nullo: le cariche più vicine al punto sono poche ma contano di più, quelle lontane sono di più ma contano meno, e si compensano esattamente (di nuovo grazie a $1/r^2$).

Potenziale: fuori $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$; dentro, siccome $E = 0$, $V$ è costante e uguale al valore sulla superficie, $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$. Il potenziale è continuo anche dove il campo salta.

Sfera uniformemente carica

Carica $Q$ distribuita in tutto il volume di una sfera di raggio $R$, con densità $\rho = \frac{Q}{\frac43\pi R^3}$.

• Fuori ($r > R$): come prima, $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$.
• Dentro ($r < R$): la sfera gaussiana di raggio $r$ contiene solo la carica della sfera più piccola,

Formula (campo dentro una sfera uniformemente carica). $$Q_{\text{int}} = \rho\,\tfrac43\pi r^3 = Q\,\frac{r^3}{R^3} \quad\Longrightarrow\quad E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^3} = \frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}}$$

Esempio. $Q = 5$ nC, $R = 2$ cm, $r = 1$ cm: $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^3} = 56187$ V/m.

Il campo cresce linearmente dal centro (dove è nullo) fino alla superficie, dove vale $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ (raccordandosi con il valore esterno), poi cala come $1/r^2$.

Potenziale. Fuori $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$. Dentro si integra il campo dalla superficie al punto: $$V(r) = V(R) + \int_r^R E\,dr' = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\cdot\frac{R^2 - r^2}{2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3R^2 - r^2}{2R^3}$$ Al centro $V(0) = \frac32 \cdot \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$: il potenziale è massimo nel centro (per $Q > 0$).

Densità non uniforme. Se $\rho$ dipende da $r$, per esempio $\rho = \rho_0 r/R$, la carica interna va calcolata integrando gusci sferici di volume $4\pi r'^2 dr'$: $Q_{\text{int}}(r) = \int_0^r \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr'$. Esempio completo: Esercizio 12 · sfera con densità di carica variabile.

Cilindro indefinito carico in volume

Densità $\rho$ uniforme, raggio $R$. Cilindro gaussiano coassiale di raggio $r$ e altezza $h$:

Formula (campo di un cilindro indefinito carico in volume).

• dentro: $E \cdot 2\pi r h = \frac{\rho\,\pi r^2 h}{\varepsilon_0}$, quindi $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$ (lineare in $r$);
• fuori: $E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ con $\lambda = \rho\pi R^2$ (come un filo).

Esempio. $\rho = 2\ \mu\text{C/m}^3$, $R = 5$ cm: a $r = 1$ cm $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} = 1129$ V/m.

Riepilogo dei campi

Errori comuni

• Usare come carica interna la carica totale anche quando il punto è dentro la distribuzione.
• Scegliere una superficie che non rispetta la simmetria (un cubo intorno a una carica puntiforme): il flusso è sempre $q/\varepsilon_0$, ma $E$ non è costante sulle facce e non si ricava.
• Nel piano, dimenticare che il flusso esce da due basi.