Esercizio 9energia e forza tra due molecole d'acqua

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Testo (esercizio di allenamento sul dipolo). La molecola d'acqua ha un momento di dipolo elettrico permanente $p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}\ \text{C m}$ . Due molecole d'acqua si trovano a distanza $x = 0{,}5\ \text{nm}$ , molto maggiore delle dimensioni di una molecola, così che ciascuna si può trattare come un dipolo puntiforme.

a) Con i due dipoli allineati lungo la loro congiungente e concordi ( $\rightarrow\ \rightarrow$ ), calcolare l'energia elettrostatica di interazione $U$ e la forza $F$ tra le molecole. b) Calcolare $U$ se invece i dipoli sono affiancati, paralleli tra loro e perpendicolari alla congiungente ( $\uparrow\ \uparrow$ ), alla stessa distanza; e se sono affiancati ma antiparalleli ( $\uparrow\ \downarrow$ ). c) Confrontare le energie con l'energia di agitazione termica $k_B T$ a temperatura ambiente ( $T = 300\ \text{K}$ , $k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$ ).

Teoria: Dipolo elettrico.

L'idea: un dipolo nel campo dell'altro

L'energia di interazione di due dipoli si ottiene mettendo il dipolo 2 nel campo prodotto dal dipolo 1. Un dipolo in un campo esterno ha energia (energia di un dipolo in un campo)

$U = -\vec p_2 \cdot \vec E_1$

dove $\vec E_1$ è il campo del dipolo 1 nel punto in cui si trova il dipolo 2. Il risultato è simmetrico: mettendo il dipolo 1 nel campo del 2 si ottiene lo stesso numero (è l'energia della coppia, come $kq_1q_2/r$ per due cariche).

Il campo di un dipolo a distanza $r$ grande rispetto alla sua lunghezza si legge dalla tabella della teoria:

posizione rispetto a $\vec p_1$	campo $\vec E_1$
sull'asse	$\dfrac{2kp}{r^3}$ , concorde con $\vec p_1$
sul piano equatoriale	$\dfrac{kp}{r^3}$ , opposto a $\vec p_1$

con $k = 1/4\pi\varepsilon_0$ . La quantità che compare in tutti i conti è

$\frac{kp^2}{x^3} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (6{,}2 \cdot 10^{-30})^2}{(0{,}5 \cdot 10^{-9})^3} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 3{,}84 \cdot 10^{-59}}{1{,}25 \cdot 10^{-28}} = 2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$

a) Dipoli allineati e concordi

Il dipolo 2 sta sull'asse del dipolo 1: lì $\vec E_1 = \dfrac{2kp}{x^3}$ nella direzione di $\vec p_1$ , che è anche quella di $\vec p_2$ . Il prodotto scalare è il prodotto dei moduli ( $\cos 0 = 1$ ):

$U = -p\,\frac{2kp}{x^3} = -\frac{2kp^2}{x^3} = -2 \cdot 2{,}76 \cdot 10^{-21} = -5{,}53 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$

L'energia è negativa: la configurazione "testa-coda" è legata, le molecole si attraggono (il $+$ di una è vicino al $-$ dell'altra).

Forza. La forza è meno la derivata dell'energia rispetto alla distanza (la forza è meno il gradiente dell'energia potenziale):

$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx}\left(-\frac{2kp^2}{x^3}\right) = -\frac{6kp^2}{x^4}$

(la derivata di $x^{-3}$ è $-3x^{-4}$ : i due segni meno si moltiplicano e ne resta uno davanti). Numericamente:

$F = -\frac{6 \cdot 2{,}76 \cdot 10^{-21}}{0{,}5 \cdot 10^{-9}} = -3{,}32 \cdot 10^{-11}\ \text{N}$

Il segno meno (con $x$ distanza tra le molecole) indica una forza che tende a ridurre $x$ : attrattiva. La forza cala come $1/x^4$ , molto più rapidamente della forza di Coulomb tra cariche ( $1/x^2$ ): due oggetti neutri si sentono solo da molto vicino.

Lo stesso risultato si ottiene con la formula della forza su un dipolo in un campo non uniforme, $F = p\,\dfrac{dE_1}{dx}$ con $E_1 = 2kp/x^3$ : $F = p \cdot (-6kp/x^4)$ ✓.

b) Dipoli affiancati

Ora il dipolo 2 sta sul piano equatoriale del dipolo 1, a distanza $x$ : lì il campo vale $\dfrac{kp}{x^3}$ ed è opposto a $\vec p_1$ .

Paralleli ( $\uparrow\ \uparrow$ ). $\vec p_2$ è concorde con $\vec p_1$ , quindi opposto a $\vec E_1$ : $\cos 180° = -1$ .

$U_{\uparrow\uparrow} = -p\,\frac{kp}{x^3}\,(-1) = +\frac{kp^2}{x^3} = +2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$

Energia positiva: affiancati e paralleli i dipoli si respingono (i due $+$ sono uno accanto all'altro, e così i due $-$ ).

Antiparalleli ( $\uparrow\ \downarrow$ ). $\vec p_2$ è ora concorde con $\vec E_1$ :

$U_{\uparrow\downarrow} = -\frac{kp^2}{x^3} = -2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$

Attrattivi, ma con energia la metà del caso testa-coda.

Riepilogo delle configurazioni:

configurazione	$U$	in unità di $kp^2/x^3$
allineati concordi $\rightarrow\ \rightarrow$	$-5{,}53 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$	$-2$ (la più legata)
affiancati antiparalleli $\uparrow\ \downarrow$	$-2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$	$-1$
affiancati paralleli $\uparrow\ \uparrow$	$+2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$	$+1$
allineati opposti $\rightarrow\ \leftarrow$	$+5{,}53 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$	$+2$

c) Confronto con l'agitazione termica

$k_B T = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 4{,}14 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$

$\frac{|U_{\rightarrow\rightarrow}|}{k_B T} = \frac{5{,}53}{4{,}14} = 1{,}3, \qquad \frac{|U_{\uparrow\downarrow}|}{k_B T} = 0{,}67$

L'energia di interazione tra due dipoli d'acqua a mezzo nanometro è dello stesso ordine dell'energia degli urti termici. Significa che a temperatura ambiente l'agitazione termica riesce a disordinare continuamente gli orientamenti delle molecole, ma non del tutto: in media prevalgono un po' le orientazioni attrattive. È questa competizione tra allineamento elettrico e disordine termico che si ritrova nei dielettrici polari.

(A distanze più piccole, come quelle del legame idrogeno tra molecole vicine nel liquido, l'approssimazione di dipolo puntiforme non vale più e le energie sono circa cinque volte più grandi di $k_BT$ .)

Verifica numerica

python

k, p, x = 8.99e9, 6.2e-30, 0.5e-9
kT = 1.38e-23*300
u = k*p**2/x**3
print(u, -2*u, -6*k*p**2/x**4)      # 2.76e-21 J, -5.53e-21 J, -3.32e-11 N
print(2*u/kT, u/kT)                 # 1.33, 0.67

Risultati

grandezza	valore
$U$ allineati concordi	$-5{,}53 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$
$F$ allineati concordi	$3{,}32 \cdot 10^{-11}\ \text{N}$ , attrattiva
$U$ affiancati paralleli	$+2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$ (repulsivi)
$U$ affiancati antiparalleli	$-2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$
$\lvert U \rvert / k_B T$	$1{,}3$ e $0{,}67$ : stesso ordine di grandezza

Errori comuni

Usare il campo sull'asse anche per i dipoli affiancati: sul piano equatoriale il campo è la metà e ha verso opposto a $\vec p_1$ .
Dimenticare il segno meno in $U = -\vec p \cdot \vec E$ .
Derivare l'energia rispetto alla distanza e perdere un segno: conviene controllare il verso della forza con il segno di $U$ (energia che diventa più negativa avvicinandosi vuol dire attrazione).

Versione ripasso

Teoria: Dipolo elettrico.

Metodo: energia di interazione = dipolo 2 nel campo del dipolo 1: $U=-\vec p_2\cdot\vec E_1$ (energia di un dipolo in un campo); campo del dipolo: sull'asse $\frac{2kp}{r^3}$ concorde a $\vec p_1$ , sul piano equatoriale $\frac{kp}{r^3}$ opposto. Unità: $\frac{kp^2}{x^3}=\frac{8{,}99\cdot10^9\cdot(6{,}2\cdot10^{-30})^2}{(0{,}5\cdot10^{-9})^3}=2{,}76\cdot10^{-21}$ J.

a) Allineati concordi (sull'asse): $U=-\frac{2kp^2}{x^3}=-5{,}53\cdot10^{-21}$ J (legati, attrazione). $F=-\frac{dU}{dx}=-\frac{6kp^2}{x^4}=-\frac{6\cdot2{,}76\cdot10^{-21}}{0{,}5\cdot10^{-9}}=-3{,}32\cdot10^{-11}$ N, attrattiva, $\propto1/x^4$ (stesso risultato da $F=p\frac{dE_1}{dx}$ ).
b) Affiancati (piano equatoriale): paralleli $\uparrow\uparrow$ $U=+\frac{kp^2}{x^3}=+2{,}76\cdot10^{-21}$ J (repulsione); antiparalleli $\uparrow\downarrow$ $U=-2{,}76\cdot10^{-21}$ J. In unità di $kp^2/x^3$ : $\rightarrow\rightarrow$ $-2$ ; $\uparrow\downarrow$ $-1$ ; $\uparrow\uparrow$ $+1$ ; $\rightarrow\leftarrow$ $+2$ .
c) $k_BT=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300=4{,}14\cdot10^{-21}$ J: $\frac{\lvert U_{\rightarrow\rightarrow}\rvert}{k_BT}=1{,}3$ , $\frac{\lvert U_{\uparrow\downarrow}\rvert}{k_BT}=0{,}67$ , stesso ordine di grandezza: l'agitazione termica disordina gli orientamenti ma prevalgono un po' quelli attrattivi (dielettrici polari). A distanze minori il modello di dipolo puntiforme non vale.

Risultati: $U_{\rightarrow\rightarrow}=-5{,}53\cdot10^{-21}$ J, $F=3{,}32\cdot10^{-11}$ N attrattiva; $U_{\uparrow\uparrow}=+2{,}76\cdot10^{-21}$ J, $U_{\uparrow\downarrow}=-2{,}76\cdot10^{-21}$ J; $\lvert U\rvert/k_BT=1{,}3$ e $0{,}67$ .

Errori tipici: campo sull'asse per i dipoli affiancati (sul piano equatoriale è la metà e opposto); dimenticare il segno meno di $U$ ; perdere un segno derivando (il segno di $U$ dice se attrae).