Circuiti in corrente continua

Segue Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →. Seguito: Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →. Esercizi: Esercizio 21 · rete di sei resistori, Esercizio 22 · circuito RC che alimenta delle lampadine.

Perché serve un generatore

Il campo elettrostatico è conservativo: la sua circuitazione lungo qualunque linea chiusa è nulla, $\oint \vec E_{\text{el}} \cdot d\vec l = 0$. Una carica che percorre un circuito chiuso torna al potenziale di partenza, e il campo elettrostatico non le ha dato energia netta. Ma nei resistori la carica perde energia per effetto Joule a ogni giro: con il solo campo elettrostatico la corrente si fermerebbe subito (è quello che succede quando si collegano due conduttori carichi: la corrente dura un istante, finché i potenziali si uguagliano).

Per mantenere una corrente stazionaria serve un dispositivo che riporti le cariche "in salita", dal potenziale basso a quello alto, a spese di un'altra forma di energia: è il generatore (pila: energia chimica; dinamo: energia meccanica; cella solare: energia luminosa).

Forza elettromotrice e campo elettromotore

Dentro il generatore agisce sulle cariche una forza di natura non elettrostatica; divisa per la carica, definisce il campo elettromotore $\vec E^*$, che spinge le cariche positive dal polo negativo al positivo, contro il campo elettrostatico. La forza elettromotrice (f.e.m.) è il lavoro che questo campo compie per unità di carica lungo il circuito:

Definizione (forza elettromotrice). $$\boxed{\mathcal E = \oint \vec E^* \cdot d\vec l = \int_-^+ \vec E^* \cdot d\vec l} \qquad [\text{V}]$$

Esempio. Una pila che dà $1{,}5$ J a ogni coulomb portato dal polo negativo al positivo ha $\mathcal E = 1{,}5$ V.

Nonostante il nome non è una forza ma una tensione. Il campo elettromotore non è conservativo (la sua circuitazione non è nulla): proprio per questo può fornire energia a ogni giro.

Generatore a circuito aperto. Senza corrente le cariche nel generatore sono in equilibrio: il campo elettromotore è bilanciato da quello elettrostatico ($\vec E^* = -\vec E_{\text{el}}$), quindi la differenza di potenziale ai morsetti è uguale alla f.e.m.:

$$V_+ - V_- = \mathcal E \qquad (i = 0)$$

Generatore reale. Anche il materiale del generatore ha una resistenza, la resistenza interna $r$. Quando eroga la corrente $i$, una parte della f.e.m. si "spende" dentro il generatore stesso:

Formula (tensione ai morsetti di un generatore reale). $$\boxed{V = \mathcal E - r\,i}$$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$ e $i = 2$ A: $V = 12 - 0{,}5\cdot2 = 11$ V; in cortocircuito $i_{cc} = \mathcal E/r = 24$ A.

La tensione ai morsetti cala all'aumentare della corrente. In cortocircuito ($V = 0$) la corrente è la massima possibile, $i_{cc} = \mathcal E/r$. Un generatore ideale ha $r = 0$ e fornisce sempre $V = \mathcal E$.

Bilancio di potenza. Il generatore eroga $P = \mathcal E\,i$; di questa, $r i^2$ si dissipa al suo interno e $V i$ arriva al circuito esterno. Collegando una resistenza esterna $R$: $i = \dfrac{\mathcal E}{R + r}$, e la potenza trasferita a $R$ è massima quando $R = r$ (adattamento del carico).

Resistori in serie e in parallelo

Serie (uno dopo l'altro, stessa corrente): le tensioni si sommano, $V = R_1 i + R_2 i$:

Formula (resistori in serie). $$R_{\text{serie}} = R_1 + R_2 + \dots$$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in serie: $R_{serie} = 300\ \Omega$.

Parallelo (tra gli stessi due nodi, stessa tensione): le correnti si sommano, $i = V/R_1 + V/R_2$:

Formula (resistori in parallelo). $$\frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \qquad\text{(due resistori: } R_{\text{par}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}\text{)}$$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in parallelo: $R_{par} = \frac{100\cdot200}{300} = 66{,}7\ \Omega$, minore della più piccola.

La resistenza in parallelo è minore della più piccola: aggiungere un ramo dà alla corrente una strada in più. Le regole sono l'opposto di quelle dei condensatori.

Partitori. In una serie la tensione si divide in proporzione alle resistenze: $V_1 = V\dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$. In un parallelo la corrente si divide in proporzione inversa: $i_1 = i\,\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$ (passa più corrente nel ramo con meno resistenza).

Leggi di Kirchhoff

Quando la rete non si riduce a serie e parallelo, si usano due leggi generali. Un nodo è un punto in cui si incontrano tre o più fili; una maglia è un percorso chiuso nel circuito.

Legge (leggi di Kirchhoff).

1. Legge dei nodi (conservazione della carica in regime stazionario): in ogni nodo la somma delle correnti entranti è uguale a quella delle uscenti, $\sum i_k = 0$ con segno.
2. Legge delle maglie (il campo elettrostatico è conservativo): lungo ogni maglia la somma delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione, $\sum \mathcal E_k = \sum R_k i_k$.

Procedura.

1. Si sceglie un verso (arbitrario) per la corrente in ogni ramo. Se alla fine una corrente esce negativa, scorre al contrario.
2. Si scrivono le equazioni dei nodi (tutti tranne uno: l'ultimo è conseguenza degli altri).
3. Si scrivono le equazioni delle maglie indipendenti, percorrendole in un verso: una f.e.m. conta $+\mathcal E$ se la si attraversa da $-$ a $+$, una resistenza conta $+R i$ se la si attraversa nel verso della sua corrente.
4. Si risolve il sistema: tante equazioni quanti rami.

Esempio. Due generatori $\mathcal E_1 = 12\ \text{V}$ e $\mathcal E_2 = 6\ \text{V}$, ciascuno in serie con una resistenza ($R_1 = 2\ \Omega$, $R_2 = 4\ \Omega$), collegati in parallelo su un carico $R = 6\ \Omega$. Con le correnti $i_1$, $i_2$ uscenti dai poli positivi e $i = i_1 + i_2$ nel carico: maglia 1, $12 = 2i_1 + 6(i_1 + i_2)$; maglia 2, $6 = 4i_2 + 6(i_1 + i_2)$, cioè $8i_1 + 6i_2 = 12$ e $6i_1 + 10i_2 = 6$. Risolvendo: $i_1 = 1{,}91\ \text{A}$, $i_2 = -0{,}55\ \text{A}$ (il segno meno dice che nel secondo generatore la corrente entra dal polo positivo: il generatore più debole viene ricaricato), $i = 1{,}36\ \text{A}$.

Strumenti di misura

• L'amperometro misura la corrente in un ramo: va inserito in serie, e deve avere resistenza interna molto piccola per non alterare la corrente.
• Il voltmetro misura la differenza di potenziale tra due punti: va collegato in parallelo, e deve avere resistenza interna molto grande per non deviare corrente.
• L'ohmetro misura una resistenza facendovi passare una corrente nota con una pila interna e misurando la tensione (il componente va scollegato dal circuito).

Gli strumenti analogici sono costruiti attorno al galvanometroBobina immersa in un campo magnetico e trattenuta da una molla: la corrente produce un momento che la fa ruotare di un angolo proporzionale alla corrente.: con una piccola resistenza in parallelo (shunt) diventa un amperometro, con una grande resistenza in serie un voltmetro.

Errori comuni

• Dimenticare la resistenza interna: la tensione ai morsetti di un generatore reale non è la f.e.m.
• Scambiare le regole di serie e parallelo con quelle dei condensatori.
• Contare due volte la stessa maglia o scrivere più equazioni dei nodi del necessario: il sistema diventa dipendente.
• Spaventarsi per una corrente negativa: vuol dire solo che il verso scelto era sbagliato.