Flusso del campo elettrico e legge di Gauss

Segue Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →. Seguito: Applicazioni della legge di GaussCon la legge di Gauss e una superficie scelta in base alla simmetria si ricava il campo di filo indefinito (λ/2πε0r), piano indefinito (σ/2ε0), guscio sferico (nullo dentro, kQ/r² fuori), sfera uniformemente carica (proporzionale a r dentro) e cilindro carico.Applicazioni della legge di Gauss →. Usa flusso e teorema della divergenza dei richiami di calcolo vettorialeGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →. Esercizio: Esercizio 3 · quattro cariche ai vertici di un quadrato (punto c).

Flusso di un campo vettoriale

Per una superficie piana $S$ immersa in un campo uniforme $\vec E$, il flusso è

Definizione (flusso di un campo uniforme su una superficie piana). $$\Phi = \vec E \cdot \hat n\,S = E\,S\cos\theta$$

dove $\hat n$ è il versore normale alla superficie e $\theta$ l'angolo tra $\vec E$ e $\hat n$. Il flusso conta "quante linee di campo attraversano la superficie": è massimo se la superficie è perpendicolare al campo ($\theta = 0$), nullo se il campo le scorre parallelo ($\theta = 90°$).

Esempio. $E = 200$ N/C, $S = 0{,}5\ \text{m}^2$ e normale a $60°$ dal campo: $\Phi = 200\cdot0{,}5\cos60° = 50$ V m.

Per una superficie qualsiasi e un campo non uniforme si somma su elementi $dS$:

Definizione (flusso del campo elettrico). $$\Phi_S(\vec E) = \int_S \vec E \cdot \hat n\,dS \qquad [\Phi] = \text{V}\cdot\text{m}$$

Per una superficie chiusa (che delimita un volume) si usa il simbolo $\oint$ e la normale si prende sempre uscente: il flusso è positivo se le linee escono, negativo se entrano.

Esempio. Campo uniforme $E = 2 \cdot 10^4\ \text{V/m}$ e un quadrato di lato $10\ \text{cm}$: con il quadrato perpendicolare al campo $\Phi = 2 \cdot 10^4 \cdot 0{,}01 = 200\ \text{V m}$; inclinato in modo che la normale formi $30°$ con il campo, $\Phi = 200\cos 30° = 173\ \text{V m}$.

Flusso di una carica puntiforme attraverso una sfera

Sfera di raggio $r$ centrata su una carica $q$: il campo è radiale, quindi parallelo a $\hat n$ ovunque, e ha lo stesso modulo su tutta la sfera. Allora

Formula (flusso di una carica puntiforme attraverso una sfera). $$\Phi = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

Esempio. $q = 2$ nC: $\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{2\cdot10^{-9}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 226$ V m, qualunque sia il raggio.

Il raggio è sparito: allargando la sfera il campo cala come $1/r^2$ ma la superficie cresce come $r^2$, e i due effetti si compensano esattamente. Questo succede solo perché la forza di Coulomb va come $1/r^2$.

Angolo solido

Per estendere il risultato a superfici di forma qualsiasi serve l'angolo solido. L'angolo solido sotto cui da un punto $O$ si vede un elementino di superficie $dS$ a distanza $r$ è

Definizione (angolo solido). $$d\Omega = \frac{dS\cos\theta}{r^2} = \frac{dS_\perp}{r^2}$$

Esempio. Un'area $dS_\perp = 1\ \text{cm}^2$ vista da $r = 10$ cm sottende $d\Omega = \frac{10^{-4}}{10^{-2}} = 0{,}01$ sr; l'angolo solido totale è $4\pi$ sr.

(area "vista di fronte" divisa per $r^2$, come l'angolo piano è arco diviso raggio). Si misura in steradianti; l'angolo solido totale intorno a un punto è $4\pi$ (l'area della sfera di raggio 1).

Il flusso del campo di $q$ attraverso $dS$ è allora $$d\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dS\cos\theta = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega$$ e dipende solo dall'angolo solido, non dalla distanza né dall'inclinazione della superficie.

La legge di Gauss

Teorema di Gauss. Il flusso del campo elettrostatico attraverso una qualunque superficie chiusa $S$ è uguale alla carica totale contenuta all'interno divisa per $\varepsilon_0$: $$\boxed{\oint_S \vec E \cdot \hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}$$

Dimostrazione.

• Carica interna. Sommando $d\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$ su tutta la superficie, l'angolo solido totale è $4\pi$ (la superficie circonda la carica in ogni direzione), quindi $\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0}$, qualunque sia la forma.
• Carica esterna. Ogni cono di angolo solido $d\Omega$ uscente dalla carica attraversa la superficie un numero pari di volte: dove le linee entrano il contributo è $-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$, dove escono $+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$. I contributi si annullano a coppie: una carica esterna dà flusso totale nullo.
• Più cariche. Per il principio di sovrapposizione il flusso totale è la somma dei flussi: contano solo le cariche interne, ciascuna con il suo segno.

Cosa dice e cosa non dice.

• Il campo $\vec E$ che compare nell'integrale è quello totale, prodotto da tutte le cariche, anche quelle esterne. Sono solo i loro contributi al flusso che si annullano.
• Flusso nullo non significa campo nullo sulla superficie: può entrare da una parte e uscire dall'altra.
• La legge vale sempre, ma serve a calcolare $\vec E$ solo quando la simmetria permette di portare $E$ fuori dall'integrale (vedi Applicazioni della legge di GaussCon la legge di Gauss e una superficie scelta in base alla simmetria si ricava il campo di filo indefinito (λ/2πε0r), piano indefinito (σ/2ε0), guscio sferico (nullo dentro, kQ/r² fuori), sfera uniformemente carica (proporzionale a r dentro) e cilindro carico.Applicazioni della legge di Gauss →).
• È equivalente alla legge di Coulomb più il principio di sovrapposizione, ma, a differenza di Coulomb, resta valida anche per campi variabili nel tempo: è la prima delle equazioni di Maxwell.

Esempio. Quattro cariche $q, -2q, q, -2q$ racchiuse da una superficie qualsiasi: $Q_{\text{int}} = -2q$, quindi $\Phi = -2q/\varepsilon_0$: flusso negativo, cioè netto entrante.

Forma locale: la divergenza di $\vec E$

Se la carica è distribuita con densità $\rho$, $Q_{\text{int}} = \int_V \rho\,dV$. Per il teorema della divergenzaGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → il flusso è anche $\int_V \nabla \cdot \vec E\,dV$. Quindi $$\int_V \nabla \cdot \vec E\,dV = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,dV$$ per ogni volume $V$. Questo è possibile solo se gli integrandi coincidono punto per punto:

Legge (legge di Gauss in forma locale). $$\boxed{\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}$$

Esempio. Densità di carica $\rho = 5$ nC/m$^3$: $\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 565\ \text{V/m}^2$.

Il campo elettrico "nasce" dove ci sono cariche positive ($\rho > 0$, sorgenti) e "muore" dove ci sono cariche negative (pozzi). Dove non ci sono cariche la divergenza è nulla e le linee di campo proseguono senza iniziare né finire.

Le due leggi dell'elettrostatica

Equazione di Poisson. Sostituendo $\vec E = -\nabla V$ nella legge di Gauss locale:

Legge (equazione di Poisson). $$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

Esempio. $V = 100x^2$ (volt, metri): $\nabla^2V = 200$, quindi $\rho = -\varepsilon_0\cdot200 = -1{,}77\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^3$.

Dove $\rho = 0$ diventa l'equazione di Laplace $\nabla^2 V = 0$. Una conseguenza: in una regione senza cariche il potenziale non può avere massimi né minimi, quindi non esiste equilibrio stabile per una carica soggetta solo a forze elettrostatiche (teorema di Earnshaw). Per esempio, al centro di un anello carico un protone è in equilibrio, ma instabile: lungo l'asse viene spinto via.

Errori comuni

• Dimenticare il segno della carica interna, o contare cariche esterne.
• Pensare che una superficie con flusso nullo abbia campo nullo.
• Usare Gauss per calcolare il campo di un anello o di un quadrato di cariche: la legge vale, ma senza simmetria non permette di ricavare $E$.