Esercizio 36sbarretta su rotaie con un generatore

Convenzioni

Si chiama $x$ la distanza della sbarretta dal lato fisso: l'area del circuito è $\ell x$. Si sceglie come verso positivo delle correnti e delle f.e.m. quello antiorario, legato dalla regola della mano destra alla normale $+\hat u_z$ (uscente dal foglio), che è anche il verso di $\vec B$. Con questa scelta il flusso è positivo:

$$\Phi = B\,\ell\,x$$

La velocità $v = dx/dt$ è presa con il segno: all'inizio $v = -v_0 = -2{,}5\ \text{m/s}$.

1) Potenza del generatore all'istante iniziale

F.e.m. indotta. Per la legge di Faradayℰ = −dΦ/dt, positiva nel verso legato alla normale dalla mano destra.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →:

$$\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt} = -B\ell\,\frac{dx}{dt} = -B\ell v$$

All'inizio $v = -v_0$, quindi $\mathcal E_i = +B\ell v_0 = 2 \cdot 0{,}1 \cdot 2{,}5 = 0{,}5\ \text{V}$, positiva cioè antioraria. Controllo con Lenz: la sbarretta va verso sinistra, l'area cala, il flusso uscente cala; la corrente indotta deve produrre un campo uscente dentro il circuito per opporsi, e questo succede con una corrente antioraria. ✓

Corrente. La f.e.m. indotta è concorde con quella del generatore (entrambe antiorarie), quindi si sommano:

$$i_0 = \frac{\mathcal E + \mathcal E_i}{R} = \frac{1{,}5 + 0{,}5}{25} = 0{,}080\ \text{A} = 80\ \text{mA}$$

Potenza erogata dal generatore (f.e.m. per corrente che lo attraversa, nello stesso verso):

$$P_0 = \mathcal E\,i_0 = 1{,}5 \cdot 0{,}080 = 0{,}12\ \text{W} = 120\ \text{mW}$$

2) Forza sulla sbarretta all'istante iniziale

La sbarretta è il lato destro del circuito: con corrente antioraria, in essa la corrente scorre verso l'alto, $\vec\ell = \ell\,\hat u_y$. La seconda legge di LaplaceF = i ℓ × B per un tratto rettilineo in campo uniforme.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →:

$$\vec F_0 = i_0\,\vec\ell \times \vec B = i_0\ell B\,(\hat u_y \times \hat u_z) = i_0\ell B\,\hat u_x = 0{,}080 \cdot 0{,}1 \cdot 2\ \hat u_x = (1{,}6 \cdot 10^{-2}\ \text{N})\,\hat u_x$$

La forza è verso $+x$, cioè contro il moto: frena la sbarretta.

3) Energia dissipata nell'urto

Quando la sbarretta si ferma di colpo, tutta la sua energia cinetica si dissipa nell'urto: serve la velocità all'istante $t_1$, e per trovarla si integra l'equazione del moto.

Equazione del moto. A un istante qualsiasi la corrente (antioraria positiva) e la forza (lungo $x$) sono

$$i = \frac{\mathcal E + \mathcal E_i}{R} = \frac{\mathcal E - B\ell v}{R}, \qquad F_x = i\ell B = \frac{B\ell}{R}\,(\mathcal E - B\ell v)$$

$$m\,\frac{dv}{dt} = \frac{B\ell}{R}\,(\mathcal E - B\ell v)$$

Velocità limite. La forza si annulla quando $B\ell v = \mathcal E$, cioè per

$$v_\infty = \frac{\mathcal E}{B\ell} = \frac{1{,}5}{0{,}2} = 7{,}5\ \text{m/s}$$

È la velocità a cui la f.e.m. indotta bilancia esattamente quella del generatore e la corrente si annulla (come un motore elettrico senza carico). Riscrivendo l'equazione con $v_\infty$:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{v - v_\infty}{\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = \frac{0{,}03 \cdot 25}{0{,}04} = 18{,}75\ \text{s}$$

Integrazione (variabili separabili, con l'integrale suggerito dal testo):

$$\int_{-v_0}^{v}\frac{dv}{v - v_\infty} = -\int_0^t\frac{dt}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{v - v_\infty}{-v_0 - v_\infty} = -\frac{t}{\tau}$$

$$v(t) = v_\infty - (v_0 + v_\infty)\,e^{-t/\tau}$$

La velocità tende esponenzialmente a $v_\infty$: la sbarretta rallenta, si ferma, poi viene accelerata verso destra dal generatore. Si ferma (da sola) a $t = \tau\ln\frac{v_0 + v_\infty}{v_\infty} = 18{,}75 \cdot \ln\frac43 = 5{,}4\ \text{s}$: a $t_1 = 3\ \text{s}$ si sta ancora muovendo verso sinistra.

Velocità a $t_1$:

$$v(t_1) = 7{,}5 - 10\,e^{-3/18{,}75} = 7{,}5 - 10 \cdot 0{,}852 = -1{,}02\ \text{m/s}$$

Energia dissipata nell'urto:

$$U_d = \frac12\,m\,v(t_1)^2 = \frac12 \cdot 0{,}03 \cdot 1{,}02^2 = 1{,}57 \cdot 10^{-2}\ \text{J}$$

Attenzione: la soluzione ufficiale scrive l'equazione del moto come $m\frac{dv}{dt} = \frac{B\ell}{R}(\mathcal E + B\ell v)$ con $v$ con segno, e trova $v(t_1) = -1{,}63\ \text{m/s}$ e $U_d = 4 \cdot 10^{-2}\ \text{J}$. Con quel segno, però, all'istante iniziale la corrente sarebbe $(\mathcal E - B\ell v_0)/R = 40\ \text{mA}$ invece degli $80\ \text{mA}$ trovati al punto 1, e la "forza frenante" farebbe crescere la velocità esponenzialmente senza limite, cosa impossibile (la f.e.m. indotta, per Lenz, si oppone sempre al moto). Il segno corretto è quello usato qui, coerente con il punto 1.

Bilancio energetico (controllo, con la verifica numerica sotto): tra $0$ e $t_1$ il generatore fornisce $0{,}333\ \text{J}$, la sbarretta perde $0{,}078\ \text{J}$ di energia cinetica, e nella resistenza si dissipano $0{,}333 + 0{,}078 = 0{,}411\ \text{J}$. ✓

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
m, l, R, E, B, v0, t1 = 0.03, 0.1, 25, 1.5, 2, 2.5, 3
i0 = (E + B*l*v0)/R
print(i0, E*i0, i0*l*B)                      # 0.08 A, 0.12 W, 0.016 N
tau = m*R/(B*l)**2; vinf = E/(B*l)
v = lambda t: vinf - (v0 + vinf)*np.exp(-t/tau)
print(tau, vinf, v(t1), 0.5*m*v(t1)**2)      # 18.75 s, 7.5 m/s, -1.02 m/s, 0.0157 J
i = lambda t: (E - B*l*v(t))/R
Wg = quad(lambda t: E*i(t), 0, t1)[0]; WR = quad(lambda t: R*i(t)**2, 0, t1)[0]
print(Wg, WR, 0.5*m*(v0**2 - v(t1)**2))      # 0.333 J, 0.411 J, 0.078 J

Risultati

Errori comuni

• Sottrarre la f.e.m. indotta da quella del generatore al punto 1: qui sono concordi, perché il moto riduce il flusso.
• Sbagliare il segno nell'equazione del moto: la forza magnetica dovuta alla f.e.m. indotta deve sempre opporsi alla velocità; un'equazione che dà una crescita esponenziale è sbagliata.
• Usare la velocità iniziale per l'energia dell'urto: conta la velocità all'istante in cui la sbarretta si ferma.