Diffrazione da una fenditura e reticolo

Segue Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →. Esercizi: Esercizio 66 · reticolo illuminato con luce bianca e ordine mancante, Esercizio 67 · cuneo di plexiglass all'angolo di Brewster e fenditura.

(Nel programma ufficiale del corso; negli ultimi anni accademici le lezioni si sono fermate all'interferenza di N sorgenti.)

Che cos'è la diffrazione

Se un'onda passa attraverso un'apertura o incontra un ostacolo, oltre l'apertura non si propaga solo in linea retta ma si allarga anche nella zona d'ombra geometrica, e sullo schermo si formano frange chiare e scure. È la diffrazione. È evidente quando le dimensioni dell'apertura sono confrontabili con la lunghezza d'onda: sentiamo una voce dietro un angolo (onde sonore, $\lambda \sim 1\ \text{m}$) ma non vediamo dietro l'angolo (luce, $\lambda \sim 0{,}5\ \mu\text{m}$). Quando l'apertura è molto più grande di $\lambda$ la diffrazione è trascurabile e vale l'ottica geometrica.

Non c'è una vera differenza tra interferenza e diffrazione: per il principio di Huygens-Fresnel ogni punto dell'apertura è una sorgente di onde secondarie coerenti, e la diffrazione è l'interferenza di infinite sorgenti distribuite con continuità sull'apertura.

Si studia solo la diffrazione di Fraunhofer: lo schermo è così lontano ($L \gg a^2/\lambda$, con $a$ la larghezza dell'apertura) che i raggi che vanno verso un punto dello schermo sono paralleli. (Per $a = 0{,}1\ \text{mm}$ e $\lambda = 600\ \text{nm}$: $a^2/\lambda = 1{,}7\ \text{cm}$, quindi basta uno schermo a qualche decina di centimetri.) Il caso dello schermo vicino è la diffrazione di Fresnel, non in programma.

Diffrazione da una fenditura

Un'onda piana incide normalmente su una fenditura lunga e stretta, di larghezza $a$. Si guarda la luce che esce nella direzione $\theta$.

Dove sono i minimi (argomento a coppie). Si divide la fenditura in due metà. A ogni punto della metà superiore si associa il punto della metà inferiore che sta $a/2$ più in basso. I due raggi hanno differenza di cammino $\frac{a}{2}\sin\theta$; se questa vale $\lambda/2$ le due onde si annullano, e siccome succede per tutte le coppie, la luce totale è zero. Il primo minimo è quindi a $a\sin\theta = \lambda$. Dividendo la fenditura in 4, 6, ... parti si trovano gli altri:

Formula (minimi di diffrazione da una fenditura). $$\boxed{a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = \pm1, \pm2, \ldots \quad (\text{minimi})}$$

Esempio. $a = 0{,}1$ mm e $\lambda = 600$ nm: primo minimo a $\sin\theta = 6\cdot10^{-3}$, cioè $\theta = 0{,}34°$.

Attenzione: $m = 0$ è escluso, perché in $\theta = 0$ tutte le onde sono in fase e c'è il massimo centrale. La formula assomiglia a quella dei massimi di Young, ma qui $a$ è la larghezza della fenditura e la formula dà i minimi.

Intensità. Si divide la fenditura in $N$ striscioline di larghezza $a/N$, ciascuna una sorgente, e si usa la formula di N sorgentiI = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2), con δ la differenza di fase tra due sorgenti consecutive.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie → con passo $a/N$. Chiamiamo

$$\alpha = \frac{N\delta}{2} = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

(metà della differenza di fase tra i due bordi della fenditura). Per $N \to \infty$ il singolo $\delta/2 = \alpha/N$ è piccolissimo e $\sin(\delta/2) \approx \alpha/N$: il campo totale è $E_{\text{strip}}\frac{\sin\alpha}{\alpha/N} = NE_{\text{strip}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}$, dove $NE_{\text{strip}}$ è il campo nel centro (tutte le striscioline in fase). Quindi

Formula (intensità della diffrazione da una fenditura). $$\boxed{I(\theta) = I_{\max}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2, \qquad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}}$$

Esempio. Per $\alpha = \frac\pi2$: $\frac{I}{I_{\max}} = \left(\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}\right)^2 = 0{,}405$.

• in $\theta = 0$: $\frac{\sin\alpha}{\alpha} \to 1$, massimo $I_{\max}$;
• zeri dove $\sin\alpha = 0$ con $\alpha \neq 0$: $\alpha = m\pi$, cioè $a\sin\theta = m\lambda$ (come sopra);
• massimi secondari circa a metà tra due zeri, $\alpha \approx (m + \frac12)\pi$, con intensità $\approx \frac{4}{(2m + 1)^2\pi^2}I_{\max}$; i valori esatti sono $0{,}047\,I_{\max}$ ($\alpha = 1{,}43\pi$), $0{,}016\,I_{\max}$ ($\alpha = 2{,}46\pi$), $0{,}008\,I_{\max}$...

Quasi tutta la luce sta nel massimo centrale.

Larghezza del massimo centrale. Tra i due primi minimi, $\sin\theta = \pm\lambda/a$; sullo schermo, per angoli piccoli,

Formula (larghezza del massimo centrale). $$\Delta x_{\text{centrale}} = \frac{2\lambda L}{a}$$

doppia della distanza tra due minimi successivi laterali ($\lambda L/a$). Esempio: $\lambda = 600\ \text{nm}$, $a = 0{,}1\ \text{mm}$, $L = 2\ \text{m}$: primi minimi a $\pm 12\ \text{mm}$, massimo centrale largo $24\ \text{mm}$. Più la fenditura è stretta, più la luce si allarga: è il contrario di quello che si aspetterebbe pensando ai raggi.

Esempio. $a = 0{,}1$ mm, $\lambda = 600$ nm, $L = 2$ m: $\Delta x = \frac{2\cdot6\cdot10^{-7}\cdot2}{10^{-4}} = 24$ mm.

Fenditure di larghezza finita e reticolo

Nelle note sull'interferenza le fenditure erano sottilissime e ognuna irradiava ugualmente in tutte le direzioni. Se le $N$ fenditure hanno larghezza $a$ (e passo $d > a$), ciascuna irradia secondo la propria figura di diffrazione, e l'intensità è il prodotto dei due fattori:

$$I(\theta) = I_0\,\underbrace{\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}}_{\text{interferenza}}\ \underbrace{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2}_{\text{diffrazione}}, \qquad \frac{\delta}{2} = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda},\ \ \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

I massimi principali restano nelle posizioni $d\sin\theta = m\lambda$, ma la loro altezza è modulata dall'inviluppo di diffrazione: sono alti vicino al centro e si abbassano allontanandosi.

Ordini mancanti. Se un massimo principale ($d\sin\theta = m\lambda$) cade proprio su un minimo di diffrazione ($a\sin\theta = m'\lambda$) sparisce. Dividendo le due condizioni:

Formula (ordini mancanti). $$\frac{m}{m'} = \frac{d}{a}$$

Esempio. Con $d = 3a$ mancano gli ordini $m = \pm3, \pm6, \ldots$, e dentro il massimo centrale di diffrazione si vedono i massimi principali $m = 0, \pm1, \pm2$.

Il reticolo di diffrazione

Un reticolo è una lastra con moltissime fenditure (o righe) parallele ed equidistanti: tipicamente da centinaia a migliaia per millimetro, con $N$ di decine di migliaia. Il passo $d$ è l'inverso del numero di righe per unità di lunghezza.

Massimi principali:

Formula (massimi principali del reticolo). $$\boxed{d\sin\theta = m\lambda}$$

L'angolo dipende da $\lambda$: ogni colore ha i suoi massimi in direzioni diverse (tranne l'ordine $m = 0$, bianco). Siccome $N$ è grande i massimi sono strettissimi: il reticolo separa la luce nei suoi colori molto meglio di un prisma ed è il cuore degli spettrometri. Ordine massimo visibile: $|m| \leq d/\lambda$.

Esempio. Reticolo da $600$ righe/mm: $d = \frac{1\ \text{mm}}{600} = 1{,}667\ \mu\text{m}$. Luce gialla del sodio, $\lambda = 589\ \text{nm}$: primo ordine a $\sin\theta = 0{,}353$, $\theta = 20{,}7°$; secondo ordine a $\sin\theta = 0{,}707$, $\theta = 45{,}0°$; il terzo ordine darebbe $\sin\theta = 1{,}06 > 1$ e non esiste ($d/\lambda = 2{,}83$).

Potere risolutivo. Due righe di lunghezze d'onda vicine $\lambda$ e $\lambda + \Delta\lambda$ si distinguono se il massimo di una cade almeno sul primo minimo accanto al massimo dell'altra (criterio di Rayleigh). Il massimo di ordine $m$ ha la semilarghezza $\Delta(\sin\theta) = \lambda/(Nd)$, mentre spostare $\lambda$ di $\Delta\lambda$ sposta il massimo di $m\Delta\lambda/d$. Imponendo $m\Delta\lambda/d \geq \lambda/(Nd)$:

Formula (potere risolutivo del reticolo). $$\boxed{\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \leq mN}$$

Esempio. Reticolo con $N = 1000$ righe nel secondo ordine ($m = 2$): $\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \le 2000$, sufficiente per separare il doppietto del sodio ($589{,}0$ e $589{,}6$ nm, $\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \approx 982$).

Il doppietto del sodio ($589{,}0$ e $589{,}6\ \text{nm}$, $\lambda/\Delta\lambda = 982$) si separa al primo ordine con almeno 982 fenditure illuminate, al secondo con 491.

Errori comuni

• Includere $m = 0$ nei minimi di diffrazione: in $\theta = 0$ c'è il massimo centrale.
• Confondere $a$ e $d$: $a$ è la larghezza della singola fenditura (diffrazione, minimi), $d$ la distanza tra fenditure (interferenza, massimi).
• Dimenticare che il massimo centrale di diffrazione è largo il doppio degli altri.
• Contare un ordine che cade su un minimo di diffrazione: è un ordine mancante.