Formulario · Fisica 2 · Note per Studenti

I. Proprietà elettriche della materia

Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica

Legge di Coulomb. Due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$ a distanza $r$ si respingono (stesso segno) o si attraggono (segno opposto) con una forza $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^2}, \qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$ con $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ . La carica è quantizzata: $q = N e$ con $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ C, e si conserva.

Esempio. Due cariche $1$ nC e $2$ nC a $3$ cm: $F = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}$ N, come il peso di una massa di circa $2$ mg.

Legge di Gauss. Il flusso di $\vec E$ attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa: $\oint \vec E \cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Esempio. Sfera piena con $Q = 5$ nC e $R = 2$ cm. A $r = 1$ cm (dentro) $E = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9} \cdot 0{,}01}{(0{,}02)^3} = 5{,}6 \cdot 10^{4}$ V/m; a $r = 4$ cm (fuori) $E = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}04)^2} = 2{,}8 \cdot 10^{4}$ V/m.

Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore

Definizione (gradiente). $\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat u_x + \frac{\partial U}{\partial y}\hat u_y + \frac{\partial U}{\partial z}\hat u_z$

Esempio. $U = x^2 y$ : $\nabla U = (2xy,\ x^2)$ , che in $(1, 2)$ vale $(4, 1)$ .

Definizione (divergenza). $\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$

Esempio: $\vec v = (x, y, z)$ (campo radiale che cresce allontanandosi): $\nabla \cdot \vec v = 1 + 1 + 1 = 3$ , sorgente uniforme ovunque.

Definizione (rotore). $\nabla \times \vec v = \det\begin{pmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat u_x + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat u_y + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat u_z$

Esempio: $\vec v = (-y, x, 0)$ (rotazione rigida intorno all'asse $z$ ): $\nabla \times \vec v = (0, 0, 1 - (-1)) = 2\,\hat u_z$ .

Proprietà (rotore di un gradiente e divergenza di un rotore). $\nabla \times (\nabla U) = 0 \qquad\qquad \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0$

Esempio. $U = x^2 y$ : $\nabla U = (2xy, x^2, 0)$ e $\nabla\times\nabla U = \left(0, 0, \frac{\partial (x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (2xy)}{\partial y}\right) = (0,0,2x-2x) = \vec 0$ .

Teorema della divergenza (di Gauss).

Teorema della divergenza (di Gauss): per una superficie chiusa $S$ che racchiude il volume $V$ , $\oint_S \vec v \cdot \hat n\,dS = \int_V \nabla \cdot \vec v\,dV$ Il flusso uscente è la somma di tutte le sorgenti contenute.

Esempio. $\vec v = (x, y, z)$ su una sfera di raggio $1$ : $\nabla\cdot\vec v = 3$ e $\int_V 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi = 4\pi$ , uguale al flusso uscente $1\cdot4\pi$ .

Teorema di Stokes (del rotore).

Teorema di Stokes (del rotore): per una linea chiusa $\gamma$ che fa da bordo a una superficie $S$ (orientata con la regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza), $\oint_\gamma \vec v \cdot d\vec l = \int_S (\nabla \times \vec v) \cdot \hat n\,dS$ La circuitazione è la somma di tutta la vorticosità che attraversa la superficie.

Esempio. $\vec v = (-y, x, 0)$ su un cerchio di raggio $1$ : $\oint\vec v\cdot d\vec l = 1\cdot2\pi = 2\pi$ e $\nabla\times\vec v = 2\hat u_z$ , quindi $\int_S 2\,dS = 2\pi$ .

II. Conduttori e condensatori

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Teorema di Coulomb. $\boxed{\vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat n}$

Esempio. Densità superficiale $\sigma = 2$ nC/m $^2$ su un conduttore: appena fuori $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 226$ V/m, perpendicolare alla superficie.

Formula (potere delle punte). $\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1} = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1/R_1^2}{q_2/R_2^2} = \frac{R_2}{R_1}$

Esempio. Due sfere collegate con $R_1 = 1$ cm e $R_2 = 5$ cm (stesso potenziale): $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1} = 5$ , quindi il campo vicino alla sfera piccola è $5$ volte maggiore.

Capacità e condensatori

Definizione (capacità di un conduttore isolato). $\boxed{C = \frac{Q}{V}}$

Esempio: sfera di raggio $R$ . Fuori dalla sfera il campo è quello di una carica puntiforme, quindi $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ e

Definizione (capacità di un condensatore). $C = \frac{Q}{\Delta V}, \qquad \Delta V = V_+ - V_- > 0$

Esempio. Armature con $Q = 24$ nC e $\Delta V = 12$ V: $C = \frac{24\ \text{nC}}{12\ \text{V}} = 2$ nF.

Formula (capacità del condensatore piano). $\boxed{C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}}$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ e $d = 1$ mm: $C = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} = 88{,}5$ pF.

Formula (capacità del condensatore cilindrico). $\boxed{C = \frac{2\pi\varepsilon_0\,h}{\ln(R_2/R_1)}}$

Esempio. $h = 1$ m, $R_1 = 1$ mm, $R_2 = 3$ mm: $C = \frac{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot1}{\ln3} = 50{,}6$ pF.

Formula (capacità del condensatore sferico). $\boxed{C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}}$

Esempio. $R_1 = 10$ cm e $R_2 = 30$ cm: $C = 4\pi\varepsilon_0\frac{0{,}1\cdot0{,}3}{0{,}2} = 16{,}7$ pF.

Formula (condensatori in parallelo). $Q = Q_1 + Q_2 + \dots = (C_1 + C_2 + \dots)\,V \quad\Longrightarrow\quad \boxed{C_{\text{par}} = C_1 + C_2 + \dots}$

Esempio. $C_1 = 4$ pF e $C_2 = 2$ pF in parallelo: $C_{par} = 6$ pF, con la stessa $V$ su entrambi.

Formula (condensatori in serie). $V = V_1 + V_2 + \dots = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\right) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{1}{C_{\text{serie}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots}$

Esempio. $C_1 = 4\ \text{pF}$ e $C_2 = 2\ \text{pF}$ in serie con un generatore da $200\ \text{V}$ : $C_{\text{serie}} = 8/6 = 1{,}33\ \text{pF}$ , carica $Q = 1{,}33 \cdot 10^{-12} \cdot 200 = 267\ \text{pC}$ su entrambi; $V_1 = Q/C_1 = 67\ \text{V}$ , $V_2 = Q/C_2 = 133\ \text{V}$ . Il condensatore più piccolo prende la tensione più grande.

Energia elettrostatica e forza tra le armature

Formula (energia di un condensatore carico). $\boxed{U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12 C V^2 = \frac12 Q V}$

Esempio. $C = 100$ pF caricato a $V = 1000$ V: $U = \frac12\cdot10^{-10}\cdot10^6 = 5\cdot10^{-5}$ J.

Definizione (densità di energia del campo elettrico). $\boxed{u = \frac12\varepsilon_0 E^2} \qquad [\text{J/m}^3]$

Esempio. $E = 10^6$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{12} = 4{,}43\ \text{J/m}^3$ .

Formula (lavoro del generatore nella carica di un condensatore). $W_{\text{gen}} = QV = CV^2$

Esempio. $C = 1\ \mu$ F e $V = 100$ V: il generatore compie $W_{gen} = CV^2 = 10$ mJ, di cui solo $U = \frac12CV^2 = 5$ mJ restano nel condensatore.

Formula (forza tra le armature di un condensatore piano). $\boxed{F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,S = \frac12\varepsilon_0 E^2\,S}$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ , $d = 1\ \text{mm}$ , $V = 1000\ \text{V}$ : $E = 10^6\ \text{V/m}$ , $F = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{12} \cdot 10^{-2} = 0{,}044\ \text{N}$ . Su questo principio funzionano gli elettrometri assoluti.

III. Dielettrici

Dielettrici e polarizzazione

Legge (effetto di un dielettrico sulla tensione a carica costante). $V = \frac{V_0}{\varepsilon_r}$

Esempio. Condensatore isolato con $V_0 = 100$ V riempito con $\varepsilon_r = 4$ : $V = \frac{100}{4} = 25$ V.

Definizione (vettore polarizzazione). $\vec\wp = \frac{\sum \vec p}{\Delta\tau} = n\,\langle\vec p\rangle \qquad [\text{C/m}^2]$

Esempio. $n = 3\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ molecole con $\langle p\rangle = 2\cdot10^{-32}$ C m: $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ .

Formula (densità superficiale di carica di polarizzazione). $\boxed{\sigma_p = \vec\wp \cdot \hat n}$

Esempio. Lastra con $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ perpendicolare alle facce: $\sigma_p = +6\cdot10^{-4}$ sulla faccia da cui esce $\vec\wp$ e $-6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ sull'altra.

Formula (polarizzazione di un dielettrico lineare). $\boxed{\vec\wp = \varepsilon_0\,\chi\,\vec E}$

Esempio. $\chi = 3$ e $E = 10^5$ V/m: $\wp = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^5 = 2{,}66\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ .

Formula (costante dielettrica relativa e suscettività). $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0(1 + \chi)} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}, \qquad \boxed{\varepsilon_r = 1 + \chi}$

Esempio. $\chi = 3$ dà $\varepsilon_r = 1 + 3 = 4$ e il campo si riduce a $E = \frac{E_0}{4}$ .

Formula (carica di polarizzazione in funzione di quella libera). $\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,\sigma \qquad\text{(e lo stesso per le cariche totali: } q_p = \tfrac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q\text{)}$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ e $\varepsilon_r = 4$ : $\sigma_p = \frac{3}{4}\cdot10 = 7{,}5$ nC/m $^2$ .

Formula (capacità con dielettrico). $C = \varepsilon_r C_0 \qquad\text{(piano: } C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d\text{)}$

Esempio. $C_0 = 100$ pF riempito con $\varepsilon_r = 4$ : $C = 400$ pF.

Definizione (vettore induzione dielettrica). $\boxed{\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec\wp} \qquad [\text{C/m}^2]$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $D = \varepsilon_0\varepsilon_r E = 3{,}54\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ .

Legge (legge di Gauss per il vettore D). $\boxed{\oint_S \vec D \cdot d\vec S = q_{\text{lib,int}}} \qquad\qquad \nabla \cdot \vec D = \rho_{\text{lib}}$

Esempio. Sfera conduttrice con $q = 250$ pC in un dielettrico: a $r = 5$ cm $D = \frac{q}{4\pi r^2} = 7{,}96\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^2$ , indipendente da $\varepsilon_r$ .

Formula (densità di energia in un dielettrico). $u = \frac12\,\vec D \cdot \vec E = \frac12\,\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\cdot10^{10} = 0{,}177\ \text{J/m}^3$ .

IV. Corrente elettrica e circuiti

Corrente elettrica e legge di Ohm

Definizione (intensità di corrente). $\boxed{i = \frac{dq}{dt}} \qquad [\text{A} = \text{C/s}]$

Esempio. Una carica di $120$ C attraversa una sezione in $60$ s: $i = \frac{120}{60} = 2$ A.

Definizione (densità di corrente). $\boxed{\vec j = n\,q\,\vec v_d} \qquad [\text{A/m}^2], \qquad i = \int_S \vec j \cdot d\vec S$

Esempio numerico. Filo di rame di sezione $1\ \text{mm}^2$ con $i = 1\ \text{A}$ ; il rame ha circa un elettrone libero per atomo, $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}$ :

Legge (equazione di continuità). $\oint_S \vec j \cdot d\vec S = -\frac{dq_{\text{int}}}{dt} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \cdot \vec j = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$

Esempio. Se la carica dentro una superficie chiusa diminuisce di $2$ C ogni secondo, il flusso uscente di $\vec j$ è $\oint\vec j\cdot d\vec S = 2$ A.

Legge di Ohm (forma microscopica). $\boxed{\vec j = \sigma\,\vec E = \frac{\vec E}{\rho}}$

Esempio. Rame con $\sigma = 5{,}9\cdot10^7\ \Omega^{-1}\text{m}^{-1}$ e $E = 0{,}01$ V/m: $j = \sigma E = 5{,}9\cdot10^5\ \text{A/m}^2$ .

Legge di Ohm (forma macroscopica). $i = jS = \frac{E}{\rho}S = \frac{V}{\rho\ell}S \quad\Longrightarrow\quad \boxed{V = R\,i}, \qquad \boxed{R = \rho\,\frac{\ell}{S}}$

Esempio. $100\ \text{m}$ di filo di rame da $1\ \text{mm}^2$ : $R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 100/10^{-6} = 1{,}7\ \Omega$ .

Legge (effetto Joule). $\boxed{P = \frac{dq\,V}{dt} = V\,i = R\,i^2 = \frac{V^2}{R}}$

Esempio. Resistore da $R = 10\ \Omega$ percorso da $i = 5$ A: $P = Ri^2 = 250$ W, pari a $V i$ con $V = 50$ V.

Circuiti in corrente continua

Definizione (forza elettromotrice). $\boxed{\mathcal E = \oint \vec E^* \cdot d\vec l = \int_-^+ \vec E^* \cdot d\vec l} \qquad [\text{V}]$

Esempio. Una pila che dà $1{,}5$ J a ogni coulomb portato dal polo negativo al positivo ha $\mathcal E = 1{,}5$ V.

Formula (tensione ai morsetti di un generatore reale). $\boxed{V = \mathcal E - r\,i}$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$ e $i = 2$ A: $V = 12 - 0{,}5\cdot2 = 11$ V; in cortocircuito $i_{cc} = \mathcal E/r = 24$ A.

Grafico interattivo: Batteria ℰ = 12 V, r = 0,5 Ω (ascissa: corrente i in A, ordinata: tensione in V): la tensione ai morsetti V = ℰ − ri scende fino a 0 in cortocircuito (i = 24 A); su un carico R = 5,5 Ω la retta V = Ri la incontra in i = 2 A, V = 11 V

Formula (resistori in serie). $R_{\text{serie}} = R_1 + R_2 + \dots$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in serie: $R_{serie} = 300\ \Omega$ .

Formula (resistori in parallelo). $\frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \qquad\text{(due resistori: } R_{\text{par}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}\text{)}$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in parallelo: $R_{par} = \frac{100\cdot200}{300} = 66{,}7\ \Omega$ , minore della più piccola.

Legge (leggi di Kirchhoff).

Legge dei nodi (conservazione della carica in regime stazionario): in ogni nodo la somma delle correnti entranti è uguale a quella delle uscenti, $\sum i_k = 0$ con segno.

Legge delle maglie (il campo elettrostatico è conservativo): lungo ogni maglia la somma delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione, $\sum \mathcal E_k = \sum R_k i_k$ .

Esempio. Due generatori $\mathcal E_1 = 12\ \text{V}$ e $\mathcal E_2 = 6\ \text{V}$ , ciascuno in serie con una resistenza ( $R_1 = 2\ \Omega$ , $R_2 = 4\ \Omega$ ), collegati in parallelo su un carico $R = 6\ \Omega$ . Con le correnti $i_1$ , $i_2$ uscenti dai poli positivi e $i = i_1 + i_2$ nel carico: maglia 1, $12 = 2i_1 + 6(i_1 + i_2)$ ; maglia 2, $6 = 4i_2 + 6(i_1 + i_2)$ , cioè $8i_1 + 6i_2 = 12$ e $6i_1 + 10i_2 = 6$ . Risolvendo: $i_1 = 1{,}91\ \text{A}$ , $i_2 = -0{,}55\ \text{A}$ (il segno meno dice che nel secondo generatore la corrente entra dal polo positivo: il generatore più debole viene ricaricato), $i = 1{,}36\ \text{A}$ .

Carica e scarica di un condensatore

Legge (carica di un condensatore). $-\ln\frac{C\mathcal E - q}{C\mathcal E} = \frac{t}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC}$

Esempio. $\mathcal E = 10$ V, $R = 1\ \text{k}\Omega$ , $C = 100\ \mu$ F ( $\tau = 0{,}1$ s): a $t = \tau$ è $q = 10^{-3}(1 - e^{-1}) = 632\ \mu$ C.

Formula (corrente e tensione nella carica). $i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = \mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Esempio. Stessi dati a $t = \tau$ : $i = 10\,\text{mA}\cdot e^{-1} = 3{,}68$ mA e $V_C = 10\,(1 - e^{-1}) = 6{,}32$ V.

Grafico interattivo: Carica del condensatore q/(Cℰ) = 1 − e^(−t/τ) (ascissa: t/τ); dopo un τ è al 63%

Legge (scarica di un condensatore). $0 = R\,i - \frac{q}{C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}}$

Esempio. $V_0 = 10$ V e $\tau = 0{,}1$ s: a $t = 0{,}2$ s $V_C = 10\,e^{-2} = 1{,}35$ V.

Grafico interattivo: Scarica del condensatore (ascissa: t/τ): carica q/q₀ = e^(−t/τ) (ha lo stesso andamento della tensione e della corrente) ed energia U/U₀ = e^(−2t/τ), che cala più in fretta: dopo τ restano il 37% della carica e il 13,5% dell'energia

Formula (energia dissipata nella resistenza durante la carica). $W_R = \int_0^\infty R\,i^2\,dt = R\,\frac{\mathcal E^2}{R^2}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac12 C\mathcal E^2$

Esempio. $C = 100\ \mu$ F e $\mathcal E = 10$ V: $W_R = \frac12C\mathcal E^2 = 5$ mJ, qualunque sia $R$ .

V. Campo magnetico e forze magnetiche

Campo magnetico e forza di Lorentz

Legge (forza di Lorentz). $\boxed{\vec F = q\,\vec v \times \vec B} \qquad F = |q|\,v\,B\sin\theta$

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $F = evB = 8{,}01\cdot10^{-14}$ N.

Formula (raggio e pulsazione di ciclotrone). $\boxed{r = \frac{mv}{|q|B} = \frac{p}{|q|B}}$

e pulsazione (detta di ciclotrone)

$\boxed{\omega = \frac{v}{r} = \frac{|q|B}{m}}, \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B}$

Esempio. Un elettrone con energia cinetica $100\ \text{eV}$ ( $v = \sqrt{2K/m} = 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}$ ) in un campo di $10^{-3}\ \text{T}$ : $r = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 5{,}9 \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-3}} = 3{,}4\ \text{cm}$ , periodo $T = 3{,}6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$ .

Grafico interattivo: Carica positiva con v perpendicolare a B (B esce dal foglio, ⊙): la forza qv×B punta sempre verso il centro, e la traiettoria è una circonferenza di raggio r = mv/qB percorsa in senso orario (una carica negativa la percorrerebbe in senso antiorario)

Formula (passo dell'elica). $p = v_\parallel\,T = \frac{2\pi m\,v_\parallel}{|q|B}$

Esempio. Protone con $v_\parallel = 10^5$ m/s in $B = 0{,}1$ T: $T = \frac{2\pi m}{eB} = 6{,}56\cdot10^{-7}$ s e $p = v_\parallel T = 0{,}066$ m.

Formula (selettore di velocità). $qE = qvB \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B}$

Esempio. $E = 2\cdot10^4$ V/m e $B = 0{,}1$ T: $v = \frac{E}{B} = 2\cdot10^5$ m/s.

Grafico interattivo: Selettore di velocità: E (verso l'alto, dalla piastra + alla piastra −) e B (uscente dal foglio) sono perpendicolari alla velocità; su una carica positiva qE punta in alto e qv×B in basso, e si compensano solo se v = E/B, e allora la traiettoria resta rettilinea

Formula (raggio nello spettrometro di massa). $r = \frac{mv}{qB} \qquad\text{oppure, se accelerati da } \Delta V\text{:}\qquad r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{q}}$

Esempio. Ioni da $40$ u ( $6{,}64\cdot10^{-26}$ kg) con $q = e$ , $\Delta V = 1000$ V e $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}} = 0{,}288$ m.

Grafico interattivo: Spettrometro di massa (B esce dal foglio, ioni positivi che entrano dall'origine verso l'alto con la stessa velocità): percorrono una semicirconferenza di raggio r = mv/qB e colpiscono la lastra a distanza 2r; lo ione più pesante ha il raggio maggiore (r₂ > r₁) e arriva più lontano

Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira

Legge (seconda legge elementare di Laplace). $\boxed{d\vec F = i\,d\vec l \times \vec B}$

Esempio. Un filo lungo $20\ \text{cm}$ con $i = 5\ \text{A}$ , perpendicolare a un campo di $0{,}5\ \text{T}$ : $F = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \text{N}$ . È il principio del motore elettrico e degli altoparlanti.

Formula (tensione di Hall). $\boxed{V_H = \frac{iB}{nqa}}$

Esempio. Rame ( $n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ ), $a = 1$ mm, $i = 10$ A, $B = 1$ T: $V_H = \frac{iB}{nqa} = 7{,}34\cdot10^{-7}$ V.

Definizione (momento magnetico di una spira). $\boxed{\vec m = i\,S\,\hat n} \qquad [\text{A m}^2]$

Esempio. Spira di area $S = 100\ \text{cm}^2$ con $i = 2$ A: $m = iS = 2\cdot10^{-2}\ \text{A m}^2$ .

Formula (momento meccanico su una spira). $\boxed{\vec M = \vec m \times \vec B}$

Esempio. Stessa spira in $B = 0{,}5$ T con $\vec m \perp \vec B$ : $M = mB = 10^{-2}$ N m.

Formula (energia potenziale di un dipolo magnetico). $\boxed{U = -\vec m \cdot \vec B = -mB\cos\theta}$

Esempio. Stessa spira con $\theta = 60^\circ$ tra $\vec m$ e $\vec B$ : $U = -mB\cos\theta = -0{,}02\cdot0{,}5\cdot0{,}5 = -5\cdot10^{-3}$ J.

Formula (angolo di deviazione di un galvanometro). $NiSB = k\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{NSB}{k}\,i$

Esempio. $N = 100$ , $S = 2\ \text{cm}^2$ , $B = 0{,}2$ T, $k = 10^{-5}$ N m/rad e $i = 1$ mA: $\varphi = \frac{NSB}{k}i = \frac{100\cdot2\cdot10^{-4}\cdot0{,}2}{10^{-5}}\cdot10^{-3} = 0{,}4$ rad.

VI. Sorgenti del campo magnetico e leggi della magnetostatica

Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart

Legge (prima legge elementare di Laplace). $\boxed{d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec l \times \hat u_r}{r^2}}$

Esempio. Tratto $dl = 1$ cm con $i = 10$ A, punto a $r = 5$ cm in direzione perpendicolare: $dB = 10^{-7}\cdot\frac{10\cdot0{,}01}{0{,}0025} = 4\cdot10^{-6}$ T.

Legge di Biot-Savart (filo indefinito). $\boxed{B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi R}}$

Esempio. $i = 42$ A e $R = 15$ cm: $B = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}$ T $= 56\ \mu$ T.

Grafico interattivo: Filo rettilineo con la corrente entrante nel foglio (⊗): le linee di B sono circonferenze concentriche percorse in senso orario (mano destra: pollice nel verso della corrente, dita nel verso di B), e in ogni punto B è tangente alla circonferenza

Formula (campo di un tratto rettilineo finito). $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\,(\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2)$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 10$ cm, $\alpha_1 = \alpha_2 = 30^\circ$ : $B = \frac{10^{-7}\cdot10}{0{,}1}(0{,}5 + 0{,}5) = 1\cdot10^{-5}$ T.

Formula (campo al centro di una spira circolare). $\boxed{B_{\text{centro}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2}\oint dl = \frac{\mu_0 i}{2R}}$

Esempio. $i = 2$ A e $R = 5$ cm: $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = 2{,}51\cdot10^{-5}$ T.

Formula (campo sull'asse di una spira circolare). $B(z) = \frac{\mu_0 i R^2}{2\,(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Esempio. Stessa spira a $z = 5$ cm dal centro: $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = 8{,}89\cdot10^{-6}$ T.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di una spira (ascissa: z/R, ordinata: B in unità del valore al centro μ₀i/2R) e sua approssimazione di dipolo, (R/z)³ (tratteggio): per z ≳ 3R le due curve differiscono per meno del 20%, vicino alla spira l'approssimazione non vale

Formula (forza per unità di lunghezza tra due fili paralleli). $\boxed{\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}}$

Esempio. $i_1 = i_2 = 10$ A a $d = 1$ cm: $\frac{F}{\ell} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot100}{2\pi\cdot0{,}01} = 2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$ , attrattiva se le correnti sono concordi.

Grafico interattivo: Sezione di due fili paralleli con correnti concordi, entrambe uscenti dal foglio (distanza d = 2 unità): il campo B₁ del filo 1 nel punto del filo 2 è verticale, e la forza F₂ = i₂ℓ × B₁ punta verso il filo 1; per il filo 1 vale il contrario, quindi si attraggono

Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère

Definizione (flusso del campo magnetico). $\Phi(\vec B) = \int_S \vec B \cdot d\vec S \qquad [\text{T m}^2 = \text{Wb, weber}]$

Esempio. Spira circolare di raggio $5$ cm in $B = 0{,}1$ T perpendicolare: $\Phi = 0{,}1\cdot\pi\cdot0{,}0025 = 7{,}85\cdot10^{-4}$ Wb.

Legge di Gauss per il magnetismo. $\boxed{\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\nabla \cdot \vec B = 0}$

Esempio. Cubo di lato $10$ cm in un campo uniforme $B = 0{,}2$ T: le facce perpendicolari al campo hanno $\pm2\cdot10^{-3}$ Wb, che si cancellano a coppie, e il flusso totale è $0$ .

Teorema di Ampère. $\boxed{\oint_\gamma \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \sum i_{\text{conc}}}$

Esempio. Una curva concatena due fili con $5$ A e $3$ A in versi opposti: $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0(5 - 3) = 2{,}51\cdot10^{-6}$ T m.

Legge (teorema di Ampère in forma locale). $\boxed{\nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j}$

Esempio. Densità di corrente uniforme $j = 10^6\ \text{A/m}^2$ : $\nabla\times\vec B = \mu_0 j = 1{,}26$ T/m dove passa la corrente.

Formula (campo dentro un conduttore cilindrico percorso da corrente). $B = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 2$ mm, $r = 1$ mm: $B = \frac{\mu_0 i r}{2\pi R^2} = 5\cdot10^{-4}$ T.

Grafico interattivo: Campo di un filo cilindrico di raggio R = 1 con corrente distribuita uniformemente (ascissa: r in unità di R, ordinata: B in unità di μ₀i/2πR): cresce linearmente dentro, μ₀ir/2πR², e cala come 1/r fuori; è massimo sulla superficie

Formula (campo di un solenoide indefinito). $B\,\ell = \mu_0\,n\ell\,i \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B = \mu_0\,n\,i}$

Esempio. $n = 5000$ spire/m e $i = 3{,}5$ A: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot3{,}5 = 2{,}2\cdot10^{-2}$ T.

Grafico interattivo: Solenoide indefinito di raggio R = 1 (ascissa: r in unità di R, ordinata: B in unità di μ₀ni): uniforme dentro e nullo fuori, con un salto sull'avvolgimento; a differenza del filo, fuori dal solenoide il campo non cala come 1/r ma è nullo

Formula (campo di un solenoide toroidale). $B \cdot 2\pi r = \mu_0 N i \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r}$

Esempio. $N = 500$ , $i = 2$ A e $r = 10$ cm: $B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r} = 2\cdot10^{-3}$ T.

VII. Induzione elettromagnetica

Legge di Faraday-Neumann-Lenz

Legge di Faraday-Neumann-Lenz. $\boxed{\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt}}$

Esempio. Una bobina di $N = 200$ spire di area $S = 10\ \text{cm}^2$ , perpendicolare a un campo che cala uniformemente da $0{,}5\ \text{T}$ a zero in $0{,}1\ \text{s}$ : $|\mathcal E_i| = 200 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5/0{,}1 = 1\ \text{V}$ .

Legge di Felici. $q = \int i\,dt = -\frac1R\int\frac{d\Phi}{dt}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \boxed{|q| = \frac{|\Phi_i - \Phi_f|}{R}}$

Esempio. Spira quadrata di lato $12$ cm e $R = 1\ \Omega$ che entra in $B = 2$ T: $|q| = \frac{Ba^2}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = 28{,}8$ mC, indipendente dalla velocità.

Formula (fem di movimento di una sbarretta). $\boxed{|\mathcal E_i| = B\,\ell\,v}$

Esempio. $B = 0{,}5$ T, $\ell = 0{,}2$ m, $v = 2$ m/s: $|\mathcal E_i| = B\ell v = 0{,}2$ V.

Formula (forza frenante sulla sbarretta). $\boxed{F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v}$

Esempio. Con $R = 0{,}1\ \Omega$ : $i = 2$ A e $F = \frac{B^2\ell^2}{R}v = \frac{0{,}25\cdot0{,}04}{0{,}1}\cdot2 = 0{,}2$ N.

Legge (frenamento della sbarretta lasciata libera). $m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2}$

Esempio. $m = 0{,}1$ kg con gli stessi $B$ , $\ell$ , $R$ : $\tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = 1$ s e $v(2\ \text{s}) = v_0e^{-2} = 0{,}135\,v_0$ .

Formula (velocità della sbarretta in funzione dello spazio). $v(x) = v_0 - \frac{B^2\ell^2}{mR}\,x$

Esempio. $v_0 = 2$ m/s e $\frac{B^2\ell^2}{mR} = 1\ \text{s}^{-1}$ : dopo $x = 1$ m è $v = 2 - 1 = 1$ m/s, e si ferma dopo $x = 2$ m.

Grafico interattivo: Sbarretta lasciata libera con velocità iniziale v₀ (ascissa: t/τ con τ = mR/B²ℓ²): la velocità v/v₀ = e^(−t/τ) decade a zero e lo spazio percorso x/(v₀τ) = 1 − e^(−t/τ) tende al valore finito v₀τ, che è la distanza totale di arresto

Legge (campo elettrico indotto). $\boxed{\oint_\gamma \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d}{dt}\int_S \vec B \cdot d\vec S}$

Esempio. Solenoide con $\frac{dB}{dt} = 0{,}1$ T/s: a $r = 2$ cm dall'asse $E = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt} = 10^{-3}$ V/m, tangente alle circonferenze coassiali.

Legge (legge di Faraday in forma locale). $\boxed{\nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}}$

Esempio: dentro e fuori un solenoide. In un solenoide indefinito di raggio $R_s$ la corrente cresce e il campo interno uniforme cresce con $dB/dt$ . Per simmetria le linee di $\vec E$ sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio $r$ :

Grafico interattivo: Campo elettrico indotto da un solenoide di raggio R_s = 1 in cui B cresce (ascissa: r in unità di R_s, ordinata: E in unità di dB/dt): E = r/2 dentro, cresce linearmente, e E = R_s²/2r fuori, cala come 1/r; è massimo sulla superficie e non è nullo fuori, dove B = 0

Formula (fem alternata di una bobina rotante). $\Phi(t) = NBS\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathcal E_i(t) = NBS\omega\,\sin(\omega t)}$

Esempio. $N = 100$ , $B = 0{,}5$ T, $S = 0{,}01\ \text{m}^2$ , $f = 50$ Hz: $\mathcal E_0 = NBS\omega = 157$ V.

Grafico interattivo: Flusso Φ = NBS cos ωt e f.e.m. ℰ = −dΦ/dt = NBSω sin ωt (ascissa: ωt in rad, un periodo; Φ in unità di NBS, ℰ in unità di NBSω): la f.e.m. è massima dove il flusso passa per zero con la pendenza più ripida, e nulla dove il flusso è massimo o minimo

Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica

Definizione (coefficiente di autoinduzione). $\boxed{\Phi = L\,i}$

Esempio. $L = 0{,}2$ H e $i = 3$ A: autoflusso $\Phi = Li = 0{,}6$ Wb.

Formula (induttanza di un solenoide). $L = \frac{NBS}{i} = \mu_0\,n\,N\,S = \boxed{\mu_0\,n^2\,S\,\ell = \mu_0\,\frac{N^2 S}{\ell}}$

Esempio. $N = 500$ spire su $\ell = 10\ \text{cm}$ con sezione $S = 4\ \text{cm}^2$ : $L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{500^2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} = 1{,}26\ \text{mH}$ .

Legge (fem autoindotta). $\boxed{\mathcal E_L = -L\,\frac{di}{dt}}$

Esempio. $L = 0{,}4$ H e corrente che cresce di $20$ A/s: $\mathcal E_L = -0{,}4\cdot20 = -8$ V, opposta all'aumento di corrente.

Legge (chiusura di un circuito RL). $\boxed{i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}}$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $R = 6\ \Omega$ , $L = 0{,}3$ H: $\tau = 0{,}05$ s e $i(\tau) = 2\,(1 - e^{-1}) = 1{,}26$ A; a regime $i = 2$ A.

Grafico interattivo: Chiusura del circuito RL (ascissa: t/τ con τ = L/R): corrente i in unità di ℰ/R e tensione sull'induttore V_L in unità di ℰ; all'inizio tutta la tensione è sull'induttore e i = 0, a regime V_L = 0 e i = ℰ/R; in ogni istante V_L + Ri = ℰ, quindi le due curve si sommano a 1

Legge (apertura di un circuito RL). $\boxed{i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}}$

Esempio. $i_0 = 2$ A e $\tau = 0{,}05$ s: dopo $0{,}1$ s è $i = 2\,e^{-2} = 0{,}271$ A.

Grafico interattivo: Spegnimento del generatore in un circuito RL (ascissa: t/τ con τ = L/R): la corrente i/i₀ = e^(−t/τ) decade esponenzialmente, e l'energia magnetica U_B/U₀ = e^(−2t/τ), proporzionale a i², decade più in fretta (13,5% dopo τ); tutta l'energia iniziale ½Li₀² finisce in calore nella resistenza

Formula (energia immagazzinata in un induttore). $\boxed{U_B = \frac12\,L\,i^2 = \frac12\,\Phi\,i = \frac{\Phi^2}{2L}}$

Esempio. $L = 0{,}2$ H e $i = 3$ A: $U_B = \frac12\cdot0{,}2\cdot9 = 0{,}9$ J.

Definizione (densità di energia del campo magnetico). $\boxed{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}}$

Esempio. $B = 0{,}5$ T: $u_B = \frac{0{,}25}{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{4}\ \text{J/m}^3$ .

Formula (forza di un polo di elettromagnete). $\boxed{F = \frac{B^2 A}{2\mu_0}}$

Esempio. $B = 1{,}2$ T e area $A = 50\ \text{cm}^2$ per polo: $F = \frac{1{,}44 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}} = 2865$ N per polo, $5730$ N in totale, il peso di circa $584$ kg. Raddoppiando $B$ la forza quadruplica.

Mutua induzione

Definizione (coefficiente di mutua induzione). $\boxed{\Phi_{21} = M_{21}\,i_1}$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $i_1 = 2$ A: il flusso concatenato con il circuito 2 è $\Phi_{21} = Mi_1 = 0{,}1$ Wb.

Legge (fem di mutua induzione). $\boxed{\mathcal E_2 = -M\,\frac{di_1}{dt}}$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $\frac{di_1}{dt} = 40$ A/s: $\mathcal E_2 = -0{,}05\cdot40 = -2$ V.

Formula (mutua induzione tra una bobina e un solenoide). $\boxed{M = \mu_0\,n\,N\,A\cos\theta}$

Esempio. $n = 2000$ spire/m, bobina di $N = 50$ spire con $A = 2\ \text{cm}^2$ , coassiale ( $\theta = 0$ ): $M = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 50 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{H}$ . Se la corrente nel solenoide cresce di $100\ \text{A/s}$ , nella bobina si inducono $2{,}5\ \text{mV}$ .

Formula (energia magnetica di due circuiti accoppiati). $\boxed{U = \frac12 L_1 i_1^2 + \frac12 L_2 i_2^2 + M\,i_1\,i_2}$

Esempio. $L_1 = 0{,}1$ H, $L_2 = 0{,}2$ H, $M = 0{,}05$ H, $i_1 = 2$ A, $i_2 = 1$ A: $U = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}05\cdot2\cdot1 = 0{,}4$ J.

Formula (rapporto di trasformazione). $\boxed{\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}}$

Esempio. $N_1 = 1000$ spire con $V_1 = 230$ V e $N_2 = 50$ : $V_2 = 230\cdot\frac{50}{1000} = 11{,}5$ V.

VIII. Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Definizione (corrente di spostamento). $\boxed{i_s = \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}} \qquad \vec j_s = \varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio. Condensatore piano con $S = 100\ \text{cm}^2$ e $\frac{dE}{dt} = 10^{12}$ V/(m s): $i_s = \varepsilon_0 S\frac{dE}{dt} = 0{,}089$ A, pari alla corrente nei fili.

Legge di Ampère-Maxwell. $\boxed{\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0\left(i_{\text{conc}} + \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}\right)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio: il campo tra le armature. Un condensatore con armature circolari di raggio $R$ si carica con corrente $i$ . Tra le armature il campo elettrico è uniforme e cresce; per simmetria le linee di $\vec B$ sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio $r < R$ la corrente di spostamento concatenata è la frazione $r^2/R^2$ di quella totale:

Legge (equazioni di Maxwell nel vuoto). $\nabla \cdot \vec E = 0, \qquad \nabla \cdot \vec B = 0, \qquad \nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}, \qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio. Combinando le ultime due si ottiene un'onda con $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = \frac{1}{\sqrt{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}} = 2{,}998\cdot10^8$ m/s.

Onde elettromagnetiche

Legge (equazione delle onde). $\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}}$

Esempio. $f = A\sin(kx - \omega t)$ soddisfa l'equazione se $\omega^2/k^2 = v^2$ : con $k = 2\pi\ \text{rad/m}$ e $\omega = 20\pi\ \text{rad/s}$ la velocità è $v = 10$ m/s.

Definizione (onda armonica). $\boxed{f(x, t) = A\,\sin(kx - \omega t)}$

Esempio. $\lambda = 0{,}5$ m e $f = 20$ Hz: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 12{,}57\ \text{rad/m}$ , $\omega = 2\pi f = 125{,}7\ \text{rad/s}$ e $v = \lambda f = 10$ m/s.

Formula (velocità della luce dalle equazioni di Maxwell). $\boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 2{,}998 \cdot 10^8\ \text{m/s}}$

Esempio. Con $c = 2{,}998\cdot10^8$ m/s la luce impiega $\frac{1{,}496\cdot10^{11}}{2{,}998\cdot10^8} = 499$ s, circa $8{,}3$ minuti, per andare dal Sole alla Terra.

Formula (rapporto tra campo elettrico e magnetico). $\boxed{E = c\,B}$

Esempio. $E_0 = 300$ V/m: $B_0 = \frac{E_0}{c} = 1\cdot10^{-6}$ T $\approx 1\ \mu$ T.

Grafico interattivo: Onda piana verso +x: E_y/E₀ in funzione di x/λ a due istanti, t = 0 e t = T/4 (B_z ha la stessa forma, in fase, con ampiezza E₀/c): dopo un quarto di periodo il profilo si è spostato in avanti di λ/4, cioè di vT

Formula (indice di rifrazione e velocità della luce in un mezzo). $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon_r\,\mu_0\mu_r}} = \frac{c}{n}, \qquad \boxed{n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}}$

Esempio. Acqua con $n = 1{,}33$ : $v = \frac{c}{n} = 2{,}25\cdot10^{8}$ m/s.

Definizione (vettore di Poynting). $\boxed{\vec S = \frac{\vec E \times \vec B}{\mu_0}} \qquad [\text{W/m}^2]$

Esempio. $E = 300$ V/m e $B = 1\ \mu$ T perpendicolari: $S = \frac{EB}{\mu_0} = 239\ \text{W/m}^2$ .

Formula (intensità di un'onda piana). $\boxed{I = \langle S\rangle = \frac12\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0B_0}{2\mu_0} = \frac{c\,B_0^2}{2\mu_0}}$

Esempio: la luce del Sole. Sopra l'atmosfera $I = 1361\ \text{W/m}^2$ . L'ampiezza del campo elettrico è $E_0 = \sqrt{2I/(c\varepsilon_0)} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1361}{3 \cdot 10^8 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 1{,}01 \cdot 10^3\ \text{V/m}$ , quella del campo magnetico $B_0 = E_0/c = 3{,}4\ \mu\text{T}$ .

Formula (intensità di una sorgente isotropa). $I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}$

Esempio. Lampadina da $P = 100$ W (tutta irradiata) a $r = 2$ m: $I = \frac{100}{4\pi\cdot4} = 1{,}99\ \text{W/m}^2$ .

Formula (pressione di radiazione). $p = \frac{I}{c}\ \ \text{(superficie che assorbe tutto)}, \qquad p = \frac{2I}{c}\ \ \text{(superficie che riflette tutto)}$

Esempio. $I = 1361\ \text{W/m}^2$ : $p = \frac{I}{c} = 4{,}54\cdot10^{-6}$ Pa se assorbe, il doppio (9{,}08\cdot10^{-6} Pa) se riflette.

IX. Ottica fisica

Principio di Huygens, riflessione e rifrazione

Principio di Huygens (-Fresnel). Ogni punto di un fronte d'onda si comporta come una sorgente puntiforme di onde sferiche secondarie, con la stessa frequenza dell'onda e in fase con essa. Il fronte d'onda in un istante successivo è la superficie che inviluppa (tocca tutte) le onde secondarie.

Esempio. In un vetro con $v = 2\cdot10^8$ m/s ogni punto di un fronte piano emette un'onda secondaria che dopo $\Delta t = 1$ ns ha raggio $v\Delta t = 0{,}2$ m; l'inviluppo è il nuovo fronte.

Definizione (indice di rifrazione). $n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}$

Esempio. Vetro con $n = 1{,}5$ : $v = 2\cdot10^8$ m/s e una luce di $600$ nm nel vuoto ha $\lambda = \frac{600}{1{,}5} = 400$ nm nel vetro (la frequenza non cambia).

Formula (intensità di un'onda e impedenza del vuoto). $\boxed{I = \frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(vuoto)}, \qquad I = \frac{n\,E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(mezzo di indice } n\text{)}}$

Esempio. $E_0 = 100$ V/m nel vuoto: $I = \frac{E_0^2}{2Z_0} = \frac{10^4}{2\cdot376{,}7} = 13{,}3\ \text{W/m}^2$ .

Legge della riflessione. $\boxed{\theta_r = \theta_i} \qquad \text{(legge della riflessione)}$

Esempio. Un raggio che incide a $\theta_i = 30^\circ$ dalla normale si riflette a $\theta_r = 30^\circ$ dalla normale, dalla parte opposta.

Legge di Snell. $\boxed{n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t} \qquad \text{(legge di Snell)}$

Esempio. Luce dall'aria all'acqua con $\theta_i = 45^\circ$ : $\sin\theta_t = \frac{\sin 45^\circ}{1{,}33} = \frac{0{,}707}{1{,}33} = 0{,}532$ , quindi $\theta_t = 32{,}1^\circ$ .

Grafico interattivo: Aria (sopra, n₁ = 1) e acqua (sotto, n₂ = 1,33), incidenza θᵢ = 45°: il raggio riflesso forma lo stesso angolo (θᵣ = 45°) e quello rifratto si avvicina alla normale, θₜ = 32,1° (sin θₜ = sin 45°/1,33 = 0,532); gli angoli si misurano dalla normale

Formula (angolo limite per la riflessione totale). $n_1\sin\theta_{\lim} = n_2\sin 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sin\theta_{\lim} = \frac{n_2}{n_1}}$

Esempio. Da vetro ( $n_1 = 1{,}5$ ) ad aria ( $n_2 = 1$ ): $\sin\theta_{\lim} = \frac{1}{1{,}5}$ , quindi $\theta_{\lim} = 41{,}8^\circ$ .

Grafico interattivo: Passaggio vetro → aria (n₁ = 1,5, n₂ = 1; ascissa: θᵢ in gradi, ordinata: θₜ in gradi): θₜ è sempre maggiore di θᵢ e raggiunge 90° all'angolo limite 41,8°; oltre non esiste onda trasmessa (sin θₜ sarebbe maggiore di 1) e la curva si interrompe: riflessione totale

Formula (spostamento laterale in una lastra a facce parallele). $\boxed{d = \ell\,\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{h\,\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}}$

Esempio. Lastra di vetro ( $n = 1{,}5$ ) spessa $h = 1$ cm con $\theta_1 = 45^\circ$ ( $\theta_2 = 28{,}1^\circ$ ): $d = \frac{h\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2} = 3{,}29$ mm.

Grafico interattivo: Raggio a 45° su una lastra di spessore h = 1,2 e n = 1,5: dentro si avvicina alla normale (θ₂ = 28,1°), all'uscita torna parallelo alla direzione iniziale ma spostato lateralmente di d = h sin(θ₁ − θ₂)/cos θ₂ ≈ 0,39, cioè 0,33 h

Formula (profondità apparente). $p' = \frac{x}{\tan\theta_{\text{aria}}} \approx \frac{x}{n\,\theta_{\text{acqua}}} = \frac{p}{n}$

Esempio. Una piscina profonda $2\ \text{m}$ sembra profonda $2/1{,}33 = 1{,}50\ \text{m}$ .

Legge di Cauchy (dispersione). $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} \qquad (\text{legge di Cauchy})$

Esempio. Un vetro con $n = 1{,}513$ per il rosso e $n = 1{,}532$ per il violetto, luce bianca a $45^\circ$ : $\theta_t = 27{,}86^\circ$ per il rosso e $27{,}49^\circ$ per il violetto. La differenza è piccola, ma in un prisma la luce si rifrange due volte su facce non parallele e le deviazioni si sommano invece di compensarsi (come nella lastra): la luce bianca esce separata nei colori dello spettro (Newton, 1666). L'arcobaleno è lo stesso fenomeno nelle gocce d'acqua.

Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young

Formula (differenza di fase tra due onde). $\boxed{\delta = k(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1)}$

Esempio. Sorgenti sincrone, $\lambda = 600$ nm e $r_2 - r_1 = 1{,}5\ \mu$ m: $\delta = 2\pi\cdot2{,}5 = 5\pi$ , quindi $\cos\delta = -1$ : minimo.

Formula (intensità di due onde sovrapposte). $\boxed{I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\delta}$

Esempio. $I_1 = I_2 = I_0$ : per $\delta = 0$ è $I = 4I_0$ , per $\delta = \frac\pi2$ è $I = 2I_0$ , per $\delta = \pi$ è $I = 0$ .

Formula (intensità di due onde uguali). $I = 2I_0(1 + \cos\delta) = 4I_0\cos^2\frac{\delta}{2}$

Esempio. $I_0 = 1\ \text{W/m}^2$ e $\delta = 60^\circ$ : $I = 4I_0\cos^2 30^\circ = 3\ \text{W/m}^2$ .

Formula (sfasamento introdotto da una lamina). $\Delta\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,s$

Esempio. Lamina con $n = 1{,}5$ e $s = 2\ \mu$ m, $\lambda_0 = 500$ nm: $\Delta\delta = \frac{2\pi}{500\ \text{nm}}\cdot0{,}5\cdot2000\ \text{nm} = 4\pi$ , cioè la figura si sposta di $2$ ordini.

Formula (massimi e minimi dell'esperimento di Young). $\boxed{d\sin\theta_m = m\lambda\ \ \text{(massimi)}, \qquad d\sin\theta = \left(m + \tfrac12\right)\lambda\ \ \text{(minimi)}}$

Esempio. $d = 0{,}2$ mm e $\lambda = 600$ nm: primo massimo a $\sin\theta = \frac{6\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-4}} = 3\cdot10^{-3}$ , cioè $\theta = 0{,}17^\circ$ .

Formula (distanza tra le frange). $x_m = m\,\frac{\lambda L}{d}, \qquad \boxed{\Delta x = \frac{\lambda L}{d}}$

Esempio. $\lambda = 600$ nm, $L = 2$ m, $d = 0{,}2$ mm: $\Delta x = \frac{6\cdot10^{-7}\cdot2}{2\cdot10^{-4}} = 6$ mm.

Formula (intensità sullo schermo nell'esperimento di Young). $I(\theta) = 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right) \approx 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\,x}{\lambda L}\right)$

Esempio. Con i dati precedenti, a $x = 3$ mm: $\frac{\pi d x}{\lambda L} = \frac\pi2$ , quindi $I = 4I_0\cos^2\frac\pi2 = 0$ : frangia scura a metà tra due massimi.

Grafico interattivo: Young con λ = 600 nm, d = 0,5 mm, L = 2 m: I/(4I0) sullo schermo in funzione di x in mm. Frange equidistanti di passo 2,4 mm

Formula (differenza di cammino in una lamina sottile). $\Delta = \frac{2n_2d}{\cos\theta_t} - \frac{2n_2d\sin^2\theta_t}{\cos\theta_t} = 2n_2d\cos\theta_t$

Esempio. Bolla di sapone con $n_2 = 1{,}33$ e spessore $250$ nm a incidenza normale: $\Delta = 2n_2d = 665$ nm.

FormularioFisica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo