Legge di Faraday-Neumann-Lenz

Segue Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →, da cui prende il flusso del campo magnetico. Seguito: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →. Esercizi: Esercizio 36 · sbarretta su rotaie con un generatore, Esercizio 37 · spira che entra in un campo magnetico, Esercizio 38 · spira che esce da un campo magnetico, Esercizio 39 · bobina in un campo non uniforme e legge di Felici, Esercizio 40 · bobina in un solenoide che si fonde, Esercizio 41 · bobina inclinata in un solenoide che si spegne.

Gli esperimenti di Faraday

Nel 1831 Faraday osservò che in un circuito senza generatori, collegato a un galvanometro, passa corrente in situazioni come queste:

1. si avvicina o allontana una calamita dalla bobina (la corrente cambia verso tra avvicinamento e allontanamento, ed è tanto più intensa quanto più rapido è il movimento; a calamita ferma non passa nulla);
2. si accende o spegne la corrente in un secondo circuito vicino (passa corrente solo durante il transitorio, non quando la corrente nell'altro circuito è costante);
3. si deforma o si ruota il circuito in un campo magnetico costante.

Il denominatore comune è che cambia il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito.

La legge

Il flusso concatenato con un circuito $\gamma$ è il flusso di $\vec B$ attraverso una qualsiasi superficie $S$ che ha $\gamma$ come bordo (è lo stesso per tutte le superfici, perché $\oint \vec B \cdot d\vec S = 0$):

$$\Phi = \int_S \vec B \cdot d\vec S \qquad [\text{Wb} = \text{T m}^2]$$

Per un campo uniforme e una spira piana di area $S$ con normale $\hat n$ che forma un angolo $\theta$ con $\vec B$: $\Phi = BS\cos\theta$.

Legge di Faraday-Neumann: nel circuito agisce una forza elettromotrice indotta

Legge di Faraday-Neumann-Lenz. $$\boxed{\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt}}$$

Per una bobina di $N$ spire uguali il flusso concatenato è $N$ volte quello di una spira, quindi $\mathcal E_i = -N\,d\Phi_1/dt$. Unità: $\text{Wb/s} = \text{T m}^2/\text{s} = \text{V}$.

Il segno: legge di Lenz. Il verso positivo della f.e.m. è quello legato alla normale $\hat n$ (usata per il flusso) dalla regola della mano destra. Il segno meno significa: la corrente indotta circola in modo da opporsi alla variazione di flusso che l'ha prodotta. Se il flusso aumenta, la corrente indotta produce un campo che lo diminuisce; se diminuisce, un campo che lo sostiene.

Perché deve essere così: l'energia. Se la corrente indotta favorisse la variazione, avvicinando una calamita a una spira la corrente attirerebbe ancora di più la calamita, che accelererebbe, produrrebbe più corrente e così via: energia dal nulla. La legge di Lenz è la conservazione dell'energia: per ottenere corrente indotta bisogna fare lavoro contro una forza che si oppone.

Come si usa in pratica. Spesso conviene calcolare il modulo $|\mathcal E_i| = |d\Phi/dt|$ e trovare il verso della corrente con Lenz, ragionando su cosa sta facendo il flusso.

Esempio. Una bobina di $N = 200$ spire di area $S = 10\ \text{cm}^2$, perpendicolare a un campo che cala uniformemente da $0{,}5\ \text{T}$ a zero in $0{,}1\ \text{s}$: $|\mathcal E_i| = 200 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5/0{,}1 = 1\ \text{V}$.

Corrente e carica indotte: la legge di Felici

Se il circuito ha resistenza $R$, la corrente indotta è $i = \mathcal E_i/R$. La carica che passa in un intervallo di tempo:

Legge di Felici. $$q = \int i\,dt = -\frac1R\int\frac{d\Phi}{dt}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \boxed{|q| = \frac{|\Phi_i - \Phi_f|}{R}}$$

Esempio. Spira quadrata di lato $12$ cm e $R = 1\ \Omega$ che entra in $B = 2$ T: $|q| = \frac{Ba^2}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = 28{,}8$ mC, indipendente dalla velocità.

È la legge di Felici: la carica dipende solo dal flusso iniziale e da quello finale, non da come e quanto velocemente il flusso è cambiato. Un movimento rapido dà una corrente intensa per poco tempo, uno lento una corrente debole per tanto tempo: la carica totale è la stessa. Su questo si basa il galvanometro balistico, che misura cariche e quindi variazioni di flusso.

F.e.m. di movimento: la sbarretta su due rotaie

Due rotaie conduttrici parallele, distanti $\ell$, chiuse da una resistenza $R$; una sbarretta conduttrice scorre su di esse con velocità $v$, perpendicolare a un campo uniforme $B$. Il circuito è un rettangolo con un lato mobile: in un tempo $dt$ l'area cambia di $\ell\,v\,dt$, il flusso di $B\ell v\,dt$, e

Formula (fem di movimento di una sbarretta). $$\boxed{|\mathcal E_i| = B\,\ell\,v}$$

Esempio. $B = 0{,}5$ T, $\ell = 0{,}2$ m, $v = 2$ m/s: $|\mathcal E_i| = B\ell v = 0{,}2$ V.

Da dove viene la f.e.m. Qui il campo non cambia: è la sbarretta a muoversi. Ogni carica $q$ della sbarretta si muove con la sbarretta e sente la forza di LorentzF = q v × B: perpendicolare alla velocità e al campo.Campo magnetico e forza di Lorentz → $q\vec v \times \vec B$, diretta lungo la sbarretta. È come se agisse un campo elettromotore $\vec E_m = \vec v \times \vec B$, e la sua circuitazione (diversa da zero solo lungo la sbarretta) dà proprio $vB\ell$. La legge del flusso e la forza di Lorentz dicono la stessa cosa.

La forza frenante. La corrente indotta $i = B\ell v/R$ scorre nella sbarretta, che è immersa nel campo: sente la forza di LaplaceF = i ℓ × B su un filo rettilineo in campo uniforme.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → $F = i\ell B$, che per Lenz si oppone al moto:

Formula (forza frenante sulla sbarretta). $$\boxed{F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v}$$

Esempio. Con $R = 0{,}1\ \Omega$: $i = 2$ A e $F = \frac{B^2\ell^2}{R}v = \frac{0{,}25\cdot0{,}04}{0{,}1}\cdot2 = 0{,}2$ N.

Bilancio energetico. Per mantenere la sbarretta a velocità costante un agente esterno deve spingerla con la forza $F$, con potenza $Fv = \frac{B^2\ell^2v^2}{R}$. Nella resistenza si dissipa $Ri^2 = R\frac{B^2\ell^2v^2}{R^2} = \frac{B^2\ell^2v^2}{R}$: esattamente la stessa. Il lavoro meccanico diventa energia elettrica e poi calore. È il principio della dinamo.

Sbarretta lasciata libera. Se la sbarretta (massa $m$) parte con velocità $v_0$ senza forze esterne, l'unica forza è quella frenante:

Legge (frenamento della sbarretta lasciata libera). $$m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2}$$

Esempio. $m = 0{,}1$ kg con gli stessi $B$, $\ell$, $R$: $\tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = 1$ s e $v(2\ \text{s}) = v_0e^{-2} = 0{,}135\,v_0$.

La sbarretta rallenta esponenzialmente e tutta la sua energia cinetica iniziale $\frac12 mv_0^2$ si dissipa nella resistenza. Un trucco utile: scrivendo $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}$ si ottiene $m\,dv = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,dx$, cioè la velocità cala linearmente con lo spazio percorso:

Formula (velocità della sbarretta in funzione dello spazio). $$v(x) = v_0 - \frac{B^2\ell^2}{mR}\,x$$

Esempio. $v_0 = 2$ m/s e $\frac{B^2\ell^2}{mR} = 1\ \text{s}^{-1}$: dopo $x = 1$ m è $v = 2 - 1 = 1$ m/s, e si ferma dopo $x = 2$ m.

Serve quando il testo dà una distanza invece di un tempo (per esempio una spira che entra in una regione di campo per un tratto pari al suo lato).

Il campo elettrico indotto

Nel caso della calamita che si avvicina a una spira ferma, le cariche della spira non si muovono: la forza di Lorentz magnetica non può spiegare la corrente. Deve esserci un campo elettrico, prodotto dal campo magnetico variabile. Siccome la f.e.m. è la circuitazione della forza per unità di carica:

Legge (campo elettrico indotto). $$\boxed{\oint_\gamma \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d}{dt}\int_S \vec B \cdot d\vec S}$$

Esempio. Solenoide con $\frac{dB}{dt} = 0{,}1$ T/s: a $r = 2$ cm dall'asse $E = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt} = 10^{-3}$ V/m, tangente alle circonferenze coassiali.

Questa è la forma generale della legge di Faraday, e vale per qualsiasi linea chiusa, anche se non c'è un circuito materiale. Con il teorema di StokesLa circuitazione di un campo lungo una linea chiusa è uguale al flusso del suo rotore attraverso una superficie che ha quella linea come bordo.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → diventa la forma locale

Legge (legge di Faraday in forma locale). $$\boxed{\nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}}$$

Conseguenza fondamentale. Il campo elettrico indotto non è conservativo: la sua circuitazione non è nulla, e quindi non si può descrivere con un potenziale. Solo in elettrostatica (campi che non cambiano nel tempo) vale $\nabla \times \vec E = 0$. Le linee del campo elettrico indotto sono chiuse, come quelle del campo magnetico, e "avvolgono" le zone dove $\vec B$ cambia.

Esempio: dentro e fuori un solenoide. In un solenoide indefinito di raggio $R_s$ la corrente cresce e il campo interno uniforme cresce con $dB/dt$. Per simmetria le linee di $\vec E$ sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio $r$:

• dentro ($r < R_s$): $E \cdot 2\pi r = \pi r^2\,\frac{dB}{dt}$, quindi $E = \dfrac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt}$;
• fuori ($r > R_s$): il flusso è solo quello interno, $E \cdot 2\pi r = \pi R_s^2\,\frac{dB}{dt}$, quindi $E = \dfrac{R_s^2}{2r}\,\dfrac{dB}{dt}$.

Fuori dal solenoide il campo magnetico è nullo, ma il campo elettrico indotto no: una spira che circonda il solenoide sente una f.e.m. pur trovandosi dove $B = 0$.

Correnti di Foucault

In un conduttore massiccio (una lastra, un blocco) che si muove in un campo magnetico, o immerso in un campo variabile, le f.e.m. indotte fanno circolare correnti in anelli chiusi dentro il materiale: le correnti di Foucault (o parassite). Per la legge di Lenz:

• frenano il moto: una lastra di rame che oscilla tra i poli di un magnete si ferma rapidamente (pendolo di Waltenhofen). È il principio dei freni elettromagnetici di treni e camion, che frenano senza contatto e senza usura;
• scaldano il conduttore per effetto Joule: è il principio dei forni e dei piani a induzione, dove il campo variabile scalda direttamente il fondo della pentola.

Quando invece sono indesiderate (nei nuclei di ferro di trasformatori e motori, dove dissipano energia) si riducono costruendo i nuclei con lamierini sottili isolati tra loro: le correnti non possono girare in anelli larghi.

L'alternatore

Una bobina di $N$ spire di area $S$ ruota con velocità angolare costante $\omega$ in un campo uniforme $\vec B$, attorno a un asse perpendicolare al campo. L'angolo tra la normale e il campo è $\theta = \omega t$:

Formula (fem alternata di una bobina rotante). $$\Phi(t) = NBS\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathcal E_i(t) = NBS\omega\,\sin(\omega t)}$$

Esempio. $N = 100$, $B = 0{,}5$ T, $S = 0{,}01\ \text{m}^2$, $f = 50$ Hz: $\mathcal E_0 = NBS\omega = 157$ V.

La f.e.m. è alternata (sinusoidale), con ampiezza $\mathcal E_0 = NBS\omega$ e frequenza $f = \omega/2\pi$. È così che si produce l'energia elettrica nelle centrali: una turbina fa ruotare la bobina (o, più spesso, un elettromagnete dentro bobine fisse).

Potenza. Su una resistenza $R$ la potenza istantanea è $\frac{\mathcal E_0^2}{R}\sin^2\omega t$, e la sua media su un periodo è $\frac{\mathcal E_0^2}{2R}$ (la media di $\sin^2$ è $\frac12$). Si definisce il valore efficace $\mathcal E_{\text{eff}} = \mathcal E_0/\sqrt2$, con cui la potenza media si scrive come in corrente continua: $\langle P\rangle = \mathcal E_{\text{eff}}^2/R$. I $230\ \text{V}$ della rete domestica sono un valore efficace: l'ampiezza è $325\ \text{V}$.

Chi paga l'energia. La corrente indotta nella bobina, immersa nel campo, dà un momentoM = m × B: tende ad allineare il momento magnetico della spira al campo.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → che si oppone alla rotazione (Lenz di nuovo): la turbina deve fornire un momento meccanico, e il lavoro che compie è l'energia elettrica prodotta.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare il flusso invece della sua variazione: un flusso grande ma costante non induce nulla.
• Dimenticare le $N$ spire di una bobina, o il $\cos\theta$ dell'orientazione.
• Sbagliare il verso della corrente indotta: ragionare sempre con Lenz (si oppone alla variazione, non al campo).
• Pensare che il campo elettrico indotto abbia un potenziale: la sua circuitazione non è nulla, la differenza di potenziale tra due punti dipende dal percorso.