Conduttori in equilibrio elettrostatico

Segue Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostaticaLa materia risponde a un campo elettrico in modo diverso: nei conduttori le cariche si muovono liberamente (induzione, corrente), negli isolanti le cariche restano legate e si deformano (polarizzazione), nei semiconduttori la risposta sta in mezzo. Una scala di resistività (da 10^-8 a 10^16 ohm per metro) e la rigidità dielettrica (oltre il limite l'isolante diventa conduttore) quantificano la differenza. Richiami di elettrostatica di base (Coulomb, campo, Gauss, potenziale, dipolo) con i campi notevoli da conoscere a memoria.Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica →. Seguito: Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →. Esercizi: Esercizio 2 · due lastre metalliche cariche messe in contatto, Esercizio 68 · sfera in aria e carica massima prima della scarica.

Struttura elettrica della materia

In un metallo ogni atomo cede uno o due elettroni esterni, che non appartengono più a nessun atomo in particolare e si muovono liberamente nel reticolo di ioni positivi: sono gli elettroni di conduzione (circa $10^{28}$–$10^{29}$ per metro cubo). Restano comunque intrappolati dentro il metallo: per estrarne uno serve un'energia minima, il lavoro di estrazione $W_e$, di qualche eV (per esempio $4{,}5\ \text{eV}$ per il tungsteno). Gli elettroni si possono estrarre scaldando il metallo (effetto termoionico, usato nei vecchi tubi a vuoto) o illuminandolo con luce di frequenza abbastanza alta (effetto fotoelettrico).

Equilibrio elettrostatico: le proprietà

Un conduttore è in equilibrio elettrostatico quando le sue cariche libere sono ferme (si raggiunge in tempi brevissimi, dell'ordine di $10^{-19}\ \text{s}$ nei metalli). Da questa sola condizione seguono tutte le proprietà.

1. Il campo all'interno è nullo: $\vec E_{\text{int}} = 0$. Se non lo fosse, gli elettroni liberi sentirebbero una forza e si muoverebbero, contro l'ipotesi di equilibrio.
2. La carica in eccesso sta tutta sulla superficie. Si prende una superficie gaussiana tutta dentro il conduttore, appena sotto la superficie: lì $E = 0$, quindi il flusso è nullo e la carica interna è nulla. Dentro il volume $\rho = 0$; la carica può stare solo sulla superficie esterna.
3. Il conduttore è equipotenziale. Tra due punti qualsiasi interni, $V(A) - V(B) = \int_A^B \vec E \cdot d\vec l = 0$. In particolare la superficie è un'equipotenziale.
4. Appena fuori, il campo è perpendicolare alla superficie. Se avesse una componente tangente, le cariche di superficie scorrerebbero lungo di essa. (È anche una conseguenza del punto 3: il campo è perpendicolare alle equipotenziali.)

Teorema di Coulomb

Il campo appena fuori dalla superficie di un conduttore, dove la densità superficiale è $\sigma$, vale

Teorema di Coulomb. $$\boxed{\vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat n}$$

Esempio. Densità superficiale $\sigma = 2$ nC/m$^2$ su un conduttore: appena fuori $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 226$ V/m, perpendicolare alla superficie.

Dimostrazione. Si prende un cilindretto con una base di area $dS$ appena fuori, una appena dentro, e altezza trascurabile. Flusso: dalla base interna nullo ($E = 0$), dalla superficie laterale nullo (altezza trascurabile e campo perpendicolare alla superficie), dalla base esterna $E\,dS$. Carica interna $\sigma\,dS$. Quindi $E\,dS = \sigma\,dS/\varepsilon_0$.

Perché $\sigma/\varepsilon_0$ e non $\sigma/2\varepsilon_0$ come il piano? Il piano isolato manda flusso da entrambi i lati; nel conduttore il campo è tutto da un lato, quello esterno. Detto altrimenti: il pezzetto di superficie produce $\sigma/2\varepsilon_0$ da ogni lato, e il resto del conduttore produce altri $\sigma/2\varepsilon_0$ che lo annullano dentro e lo raddoppiano fuori.

Pressione elettrostatica. La carica di superficie sente il campo prodotto da tutte le altre cariche, cioè $\sigma/2\varepsilon_0$, quindi la forza per unità di area è $\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$, sempre diretta verso l'esterno. Servirà per la forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature → di un condensatore.

Potere delle punte

Su un conduttore la carica non si distribuisce in modo uniforme: si accumula dove la superficie è più curva. Si vede con due sfere di raggi $R_1$ e $R_2$ collegate da un filo lungo (quindi allo stesso potenziale, ma abbastanza lontane da non influenzarsi):

Formula (potere delle punte). $$\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1} = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1/R_1^2}{q_2/R_2^2} = \frac{R_2}{R_1}$$

Esempio. Due sfere collegate con $R_1 = 1$ cm e $R_2 = 5$ cm (stesso potenziale): $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1} = 5$, quindi il campo vicino alla sfera piccola è $5$ volte maggiore.

La sfera più piccola ha densità maggiore e quindi, per il teorema di Coulomb, campo più intenso vicino alla superficie. Su una punta (raggio di curvatura piccolissimo) il campo può superare la rigidità dielettrica dell'aria ($\approx 3 \cdot 10^6\ \text{V/m}$): l'aria si ionizza e il conduttore si scarica (effetto corona). È il principio del parafulmine.

Induzione elettrostatica

Avvicinando un corpo carico (per esempio positivo) a un conduttore neutro, gli elettroni liberi vengono attirati verso il lato vicino, lasciando il lato lontano positivo. Il processo si ferma quando il campo delle cariche separate annulla quello esterno dentro il conduttore. La carica totale resta zero, ma il conduttore viene attratto (la carica indotta più vicina è di segno opposto).

Caricare per induzione: con il corpo carico vicino, si collega il conduttore a terra (gli elettroni salgono da terra, o scendono, per neutralizzare il lato lontano), poi si stacca il collegamento e infine si allontana il corpo: il conduttore resta carico con segno opposto a quello del corpo induttore.

Induzione completa. Se un conduttore cavo racchiude completamente un corpo carico $+q$, sulla superficie interna della cavità si induce esattamente $-q$ (lo si vede con una superficie gaussiana dentro il metallo, dove $E = 0$) e, se il conduttore era neutro, $+q$ sulla superficie esterna.

Conduttori cavi e schermo elettrostatico

• Cavità vuota in un conduttore: il campo nella cavità è nullo e sulla parete interna non c'è carica, qualunque cosa succeda all'esterno. (Se ci fosse carica sulla parete interna, una parte positiva e una negativa, ci sarebbe una linea di campo che le unisce attraverso la cavità; lungo di essa $\int \vec E \cdot d\vec l \ne 0$, ma le due estremità sono sullo stesso conduttore equipotenziale: contraddizione.)
• Gabbia di Faraday: un involucro conduttore (anche una rete metallica fitta) protegge l'interno dai campi elettrici esterni. Per questo in automobile si è protetti dai fulmini e il cellulare dentro un ascensore metallico perde il segnale.
• Al contrario: cariche dentro la cavità producono comunque carica sulla superficie esterna (induzione completa), quindi l'esterno "sente" la loro presenza, a meno che il conduttore non sia collegato a terra.

Conduttore sferico e collegamento a terra

Una sfera conduttrice isolata di raggio $R$ con carica $Q$ si comporta come il guscio sferico: la carica è sulla superficie, $E = 0$ dentro, $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ fuori, potenziale $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$.

Terra. La Terra è un conduttore enorme, con capacità di accettare o cedere carica praticamente senza cambiare potenziale: per convenzione $V_{\text{terra}} = 0$. "Collegare a terra" un conduttore significa fissarne il potenziale a zero.

Riepilogo