Esercizio 70molecola d'acqua come dipolo in un campo elettrico

Formule del dipolo

Da momento e energia del dipoloM = p × E e U = −p · E, per un campo uniforme. La forza totale è nulla.Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica →: modulo del momento $M = pE\sin\theta$, energia $U = -pE\cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra $\vec p$ e $\vec E$. L'energia termica per molecola è $k_BT = 1{,}381 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 4{,}14 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$, che in elettronvolt vale $\dfrac{4{,}14 \cdot 10^{-21}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 0{,}0259\ \text{eV}$.

a) Distanza equivalente

$p = e\,d$ dà

$$d = \frac{p}{e} = \frac{6{,}17 \cdot 10^{-30}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 3{,}85 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$$

cioè $0{,}39$ Å, una frazione di ångström: molto meno delle dimensioni della molecola (la distanza O-H è circa $1$ Å): le cariche in realtà sono distribuite e parziali, il dipolo è un'idealizzazione.

b) Momento della forza

A $45^\circ$:

$$M = pE\sin 45^\circ = 6{,}17 \cdot 10^{-30} \cdot 10^{5} \cdot 0{,}707 = 4{,}4 \cdot 10^{-25}\ \text{N}\,\text{m}$$

Il massimo è a $90^\circ$: $M_{\max} = pE = 6{,}17 \cdot 10^{-25}\ \text{N}\,\text{m}$. Il momento tende a portare $\vec p$ parallelo a $\vec E$ e si annulla in quella posizione (e in quella antiparallela, di equilibrio instabile).

c) Energia nelle orientazioni estreme

• parallelo ($\theta = 0$): $U = -pE = -6{,}17 \cdot 10^{-25}\ \text{J} = -3{,}85 \cdot 10^{-6}\ \text{eV}$;
• antiparallelo ($\theta = 180^\circ$): $U = +pE = +3{,}85 \cdot 10^{-6}\ \text{eV}$.

Il dislivello tra le due è $2pE = 7{,}7 \cdot 10^{-6}$ eV, ma l'energia termica è $0{,}0259$ eV, cioè

$$\frac{pE}{k_BT} = \frac{6{,}17 \cdot 10^{-25}}{4{,}14 \cdot 10^{-21}} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}$$

l'energia elettrica è circa seimila volte più piccola di quella termica. Per avere $pE \sim k_BT$ servirebbe $E = k_BT/p = 6{,}7 \cdot 10^{8}\ \text{V/m}$, più di duecento volte la rigidità dell'aria.

d) Allineamento medio

Con l'agitazione termica le molecole sono orientate quasi a caso; il campo introduce solo una piccola preferenza per l'allineamento:

$$\langle\cos\theta\rangle \simeq \frac{pE}{3k_BT} = \frac{1{,}5 \cdot 10^{-4}}{3} = 5{,}0 \cdot 10^{-5}$$

Su $20\,000$ molecole, in media circa una sola è "allineata" in più. La polarizzazione per orientamento è quindi piccola e proporzionale al campo (e decresce con la temperatura): è la ragione per cui un dielettrico a molecole polari ha una risposta lineare $\vec\wp = \varepsilon_0\chi\vec E$, che si studia in Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Il valore effettivo di $\chi$ per l'acqua è comunque grande, perché le molecole sono moltissime ($3{,}3 \cdot 10^{28}$ per metro cubo).

Verifica numerica

import math
e, kB, T = 1.602e-19, 1.381e-23, 300
p, E = 6.17e-30, 1.0e5
print(p/e)                                  # 3.85e-11 m
print(p*E*math.sin(math.pi/4), p*E)         # 4.4e-25, 6.17e-25 N m
print(p*E/e, kB*T/e, p*E/(kB*T))            # 3.85e-6 eV, 0.0259 eV, 1.49e-4
print(p*E/(3*kB*T), kB*T/p)                 # 4.96e-5, 6.7e8 V/m

Risultati

Errori comuni

• Dire che la forza sul dipolo è $pE$: in campo uniforme la forza totale è nulla; $pE$ è un momento (N m) e un'energia (J), non una forza.
• Scambiare i segni dell'energia: l'energia minima è con $\vec p$ parallelo a $\vec E$ ($-pE$).
• Pensare che il campo allinei del tutto le molecole: per $E$ ordinari l'agitazione termica domina di quattro ordini di grandezza.