Corrente elettrica e legge di Ohm

Segue Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Seguito: Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →. Esercizi: Esercizio 69 · filo di rame e bacchetta di vetro alla stessa tensione, Esercizio 21 · rete di sei resistori, Esercizio 22 · circuito RC che alimenta delle lampadine.

Corrente elettrica

In elettrostatica le cariche sono ferme. Se in un conduttore si mantiene un campo elettrico (per esempio collegandone i capi ai poli di una pila), le cariche libere si muovono: si ha una corrente elettrica. La sua intensità è la carica che attraversa una sezione del conduttore per unità di tempo:

Definizione (intensità di corrente). $$\boxed{i = \frac{dq}{dt}} \qquad [\text{A} = \text{C/s}]$$

Esempio. Una carica di $120$ C attraversa una sezione in $60$ s: $i = \frac{120}{60} = 2$ A.

Per convenzione il verso della corrente è quello in cui si muoverebbero le cariche positive, cioè quello del campo, dal potenziale più alto al più basso. Nei metalli si muovono gli elettroni, in verso opposto: una corrente verso destra è fatta di elettroni che vanno verso sinistra. Per quasi tutti gli effetti (magnetici, termici) le due cose sono equivalenti.

L'ampere è un'unità fondamentale del SI; il coulomb ne deriva: $1\ \text{C} = 1\ \text{A s}$. Una corrente di $1\ \text{A}$ corrisponde a $1/e = 6{,}24 \cdot 10^{18}$ elettroni al secondo.

Densità di corrente e velocità di deriva

Il modello. In un metallo gli elettroni di conduzione si muovono già a velocità altissime ($\sim 10^6\ \text{m/s}$) per l'agitazione termica, ma in direzioni casuali: in media non vanno da nessuna parte. Con un campo $\vec E$ ogni elettrone viene accelerato tra un urto e l'altro con gli ioni del reticolo; dopo ogni urto riparte in direzione casuale. Il risultato è un piccolo moto medio, la velocità di deriva $\vec v_d$, sovrapposto al moto caotico.

Quanta carica passa. Si considerano $n$ portatori per unità di volume, ciascuno con carica $q$ e velocità di deriva $v_d$. In un tempo $dt$ attraversano una sezione $S$ tutti quelli contenuti in un cilindretto di base $S$ e altezza $v_d\,dt$, cioè $n S v_d\,dt$ portatori:

$$dq = n\,q\,S\,v_d\,dt \quad\Longrightarrow\quad i = n\,q\,v_d\,S$$

Si definisce il vettore densità di corrente (corrente per unità di superficie, nella direzione del moto):

Definizione (densità di corrente). $$\boxed{\vec j = n\,q\,\vec v_d} \qquad [\text{A/m}^2], \qquad i = \int_S \vec j \cdot d\vec S$$

(la corrente è il flusso di $\vec j$ attraverso la sezione). Per gli elettroni $q = -e$: $\vec j$ e $\vec v_d$ hanno versi opposti, e $\vec j$ ha comunque il verso del campo.

Esempio numerico. Filo di rame di sezione $1\ \text{mm}^2$ con $i = 1\ \text{A}$; il rame ha circa un elettrone libero per atomo, $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}$:

$$v_d = \frac{i}{neS} = \frac{1}{8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-6}} = 7{,}4 \cdot 10^{-5}\ \text{m/s}$$

Meno di un decimo di millimetro al secondo! Eppure la luce si accende subito quando si preme l'interruttore: a propagarsi in fretta (quasi alla velocità della luce) è il campo lungo il filo, che mette in moto contemporaneamente tutti gli elettroni già presenti.

Conservazione della carica: equazione di continuità

La carica non si crea né si distrugge. Se da una superficie chiusa esce una corrente netta, la carica contenuta deve diminuire di altrettanto:

Legge (equazione di continuità). $$\oint_S \vec j \cdot d\vec S = -\frac{dq_{\text{int}}}{dt} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \cdot \vec j = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$$

Esempio. Se la carica dentro una superficie chiusa diminuisce di $2$ C ogni secondo, il flusso uscente di $\vec j$ è $\oint\vec j\cdot d\vec S = 2$ A.

(la forma locale si ottiene col teorema della divergenzaIl flusso di un campo attraverso una superficie chiusa è uguale all'integrale della sua divergenza sul volume racchiuso.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →). In regime stazionario (correnti costanti, nessun accumulo di carica) $\nabla \cdot \vec j = 0$: tanta corrente entra in una regione, tanta ne esce. Applicata a un nodo di un circuito è la prima legge di KirchhoffIn ogni nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle uscenti.Circuiti in corrente continua →. Lungo un filo senza diramazioni, la corrente è la stessa in ogni sezione, anche se la sezione cambia (cambia invece $j$).

Legge di Ohm

Forma microscopica. In molti materiali (metalli, soluzioni) la densità di corrente è proporzionale al campo:

Legge di Ohm (forma microscopica). $$\boxed{\vec j = \sigma\,\vec E = \frac{\vec E}{\rho}}$$

Esempio. Rame con $\sigma = 5{,}9\cdot10^7\ \Omega^{-1}\text{m}^{-1}$ e $E = 0{,}01$ V/m: $j = \sigma E = 5{,}9\cdot10^5\ \text{A/m}^2$.

$\sigma$ è la conduttività ($[\Omega^{-1}\text{m}^{-1}]$), $\rho = 1/\sigma$ la resistività ($[\Omega\,\text{m}]$). Nel modello di deriva: tra due urti (tempo medio $\tau$) l'elettrone acquista velocità $eE\tau/m$, quindi $v_d = \frac{e\tau}{m}E$ e $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$.

Forma macroscopica. Per un filo omogeneo di lunghezza $\ell$ e sezione $S$, con campo uniforme lungo il filo: $V = E\ell$ e $i = jS$, quindi

Legge di Ohm (forma macroscopica). $$i = jS = \frac{E}{\rho}S = \frac{V}{\rho\ell}S \quad\Longrightarrow\quad \boxed{V = R\,i}, \qquad \boxed{R = \rho\,\frac{\ell}{S}}$$

La prima è la prima legge di Ohm, la seconda (resistenza proporzionale alla lunghezza e inversamente alla sezione) la seconda legge di Ohm. Unità: l'ohm, $1\ \Omega = 1\ \text{V/A}$. Un conduttore che obbedisce alla legge di Ohm (con $R$ indipendente da $V$) si dice ohmico; non lo sono, per esempio, i diodi e le lampade a scarica.

Esempio. $100\ \text{m}$ di filo di rame da $1\ \text{mm}^2$: $R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 100/10^{-6} = 1{,}7\ \Omega$.

Dipendenza dalla temperatura. Nei metalli la resistività cresce con la temperatura (più agitazione, urti più frequenti): $\rho(T) \approx \rho_0[1 + \alpha(T - T_0)]$, con $\alpha \approx 4 \cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ per il rame. Alcuni materiali sotto una temperatura critica diventano superconduttori, con resistività esattamente nulla (scoperta di Kamerlingh Onnes, 1911, nel mercurio a $4{,}2\ \text{K}$).

Termoresistenza (Pt100). Poiché $R$ cresce con la temperatura, un filo metallico serve da termometro, per esempio per misurare la temperatura dell'olio o di un cuscinetto di una macchina. Il Pt100 è un filo di platino con $R_0 = 100\ \Omega$ a $0\ ^\circ\text{C}$ e $\alpha = 3{,}85 \cdot 10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ (approssimazione lineare, buona su intervalli moderati). A $80\ ^\circ\text{C}$: $R = 100\,(1 + 3{,}85 \cdot 10^{-3} \cdot 80) = 130{,}8\ \Omega$, con una sensibilità di $0{,}385\ \Omega$ per kelvin. Misurandolo con una corrente di $1$ mA si legge una tensione di $130{,}8$ mV, che varia di $0{,}385$ mV per kelvin; la potenza dissipata nel sensore è $Ri^2 = 0{,}13$ mW, volutamente piccola per non riscaldare il filo e falsare la misura.

Effetto Joule

Una carica $dq$ che attraversa un conduttore passando dal potenziale $V_A$ a $V_B < V_A$ perde l'energia potenziale $dq\,(V_A - V_B) = dq\,V$. Non accelera (la velocità di deriva è costante): l'energia viene ceduta al reticolo negli urti e diventa calore. La potenza dissipata è

Legge (effetto Joule). $$\boxed{P = \frac{dq\,V}{dt} = V\,i = R\,i^2 = \frac{V^2}{R}}$$

Esempio. Resistore da $R = 10\ \Omega$ percorso da $i = 5$ A: $P = Ri^2 = 250$ W, pari a $V i$ con $V = 50$ V.

In forma locale, per unità di volume: $p = \vec j \cdot \vec E = \sigma E^2$. Su questo effetto funzionano stufe, fornelli, asciugacapelli e i fusibili (un filo sottile che fonde se la corrente supera un valore di soglia). Nelle linee elettriche è una perdita: a parità di potenza trasportata $P = Vi$, conviene alzare molto la tensione per abbassare la corrente, perché la perdita va come $Ri^2$.

L'energia dissipata in un intervallo di tempo è $W = \int P\,dt$; con corrente costante $W = R i^2\,t$. Si misura spesso in kilowattora: $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{J}$.

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere resistività e resistenza: la prima è del materiale ($\Omega\,\text{m}$), la seconda dell'oggetto ($\Omega$).
• Usare il diametro al posto del raggio nella sezione: $S = \pi r^2 = \pi d^2/4$.
• Pensare che gli elettroni viaggino veloci nel filo: la velocità di deriva è di frazioni di millimetro al secondo.
• Applicare $V = Ri$ a un generatore senza tenere conto della sua forza elettromotrice (vedi Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →).