Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica

Apre il corso. Seguito: Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico → (conduttori), Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione → (isolanti), Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm → (cariche in moto). Esercizi: Esercizio 68 · sfera in aria e carica massima prima della scarica, Esercizio 69 · filo di rame e bacchetta di vetro alla stessa tensione, Esercizio 70 · molecola d'acqua come dipolo in un campo elettrico.

L'elettrostatica del vuoto (carica, campo, flusso, potenziale) si studia in Fisica 1: qui si riprendono in breve le formule che servono, e si passa al tema del corso, cioè che cosa fa la materia quando c'è un campo elettrico.

Le tre famiglie di materiali

Un solido contiene un numero enorme di cariche, ma ciò che conta è quante di queste sono libere di muoversi quando si applica un campo $\vec E$.

Questa distinzione si misura con la resistività $\rho$ (in ohm per metro, che si definisce con la legge di OhmPer un filo di lunghezza L e sezione A: R = ρ L / A. Più ρ è grande, meno il materiale lascia passare corrente.Corrente elettrica e legge di Ohm →). Valori a temperatura ambiente, da intendere come ordini di grandezza:

Tra il rame e il vetro ci sono più di venti ordini di grandezza: nessun'altra proprietà fisica dei materiali comuni varia tanto. Per questo il rame si usa per portare la corrente e il vetro o la plastica per fermarla.

Il limite degli isolanti: la rigidità dielettrica

Un isolante non resiste a un campo qualsiasi. Se $E$ supera un valore critico, la rigidità dielettrica $E_{\max}$, gli elettroni vengono strappati agli atomi, si innesca una valanga di ionizzazioni e il materiale diventa all'improvviso conduttore: è la scarica (una scintilla nell'aria, la perforazione di un isolante solido). Ordini di grandezza:

Esempio. Tra due elettrodi distanti $2$ mm in aria la scarica scatta con $V = E_{\max} d = 3 \cdot 10^{6} \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 6$ kV circa (campo uniforme). È lo stesso limite che, su una punta, porta all'effetto corona (vedi potere delle punteLa carica si concentra dove la superficie è più curva; lì il campo vicino alla superficie è più intenso e può superare la rigidità dell'aria.Conduttori in equilibrio elettrostatico →). Nei condensatori la rigidità decide la tensione massima che si può applicare: si vedrà in Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori → e in Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

Richiami di elettrostatica

Formule dell'elettrostatica del vuoto che il resto del corso usa di continuo.

Legge di Coulomb. Due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$ a distanza $r$ si respingono (stesso segno) o si attraggono (segno opposto) con una forza $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q_1\,q_2|}{r^2}, \qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$$ con $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$. La carica è quantizzata: $q = N e$ con $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ C, e si conserva.

Esempio. Due cariche $1$ nC e $2$ nC a $3$ cm: $F = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 2{,}0 \cdot 10^{-5}$ N, come il peso di una massa di circa $2$ mg.

Campo elettrico. $\vec E = \vec F / q_0$ è la forza per unità di carica di prova. Il campo di più cariche è la somma vettoriale dei campi (sovrapposizione). Una carica $q$ in un campo $\vec E$ subisce $\vec F = q\vec E$. Per una carica puntiforme $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, radiale.

Legge di Gauss. Il flusso di $\vec E$ attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa: $$\oint \vec E \cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$

Si usa quando la distribuzione ha una simmetria che permette di portare $E$ fuori dall'integrale. I campi che servono sono questi (sono tutti conseguenze di Gauss, e valgono come risultati da ricordare):

Esempio. Sfera piena con $Q = 5$ nC e $R = 2$ cm. A $r = 1$ cm (dentro) $E = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9} \cdot 0{,}01}{(0{,}02)^3} = 5{,}6 \cdot 10^{4}$ V/m; a $r = 4$ cm (fuori) $E = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}04)^2} = 2{,}8 \cdot 10^{4}$ V/m.

Potenziale. Il campo elettrostatico è conservativo. La differenza di potenziale tra $A$ e $B$ è $V_A - V_B = \int_A^B \vec E \cdot d\vec l$, e il lavoro del campo su una carica che va da $A$ a $B$ è $q\,(V_A - V_B)$. Per una carica puntiforme $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ (zero all'infinito); per un campo uniforme $V_A - V_B = E\,d$ lungo le linee. Il campo si ricava dal potenziale con $\vec E = -\nabla V$ (vedi Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →). L'energia potenziale di una carica $q$ è $U = qV$, e si misura comodamente in elettronvolt: $1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ J, l'energia guadagnata da un elettrone attraverso $1$ V.

Esempio. Tra due piani con campo uniforme $E = 2000$ V/m e distanza $5$ mm: $\Delta V = 2000 \cdot 0{,}005 = 10$ V; un protone che attraversa questa differenza di potenziale guadagna $10$ eV.

Il dipolo elettrico

Due cariche $+q$ e $-q$ a distanza $d$ formano un dipolo, descritto dal momento di dipolo $\vec p = q\,\vec d$ (da $-q$ a $+q$, in C m). Molte molecole sono dipoli permanenti (l'acqua: $p = 6{,}17 \cdot 10^{-30}$ C m); negli atomi simmetrici il dipolo viene indotto da un campo. Un dipolo in un campo uniforme $\vec E$:

Dipolo in un campo. $$\vec M = \vec p \times \vec E, \qquad U = -\vec p \cdot \vec E, \qquad \vec F_{\text{tot}} = 0$$

• Momento: $M = pE\sin\theta$ tende a ruotare il dipolo fino a metterlo parallelo al campo.
• Energia: minima ($-pE$) con $\vec p$ parallelo a $\vec E$, massima ($+pE$) con $\vec p$ antiparallelo.
• Forza totale nulla: le due forze $\pm q\vec E$ si annullano; in un campo non uniforme resta una forza netta (un dipolo viene attirato verso la zona dove il campo è più intenso, per questo un pezzetto di carta viene attirato da un pettine strofinato).

Il campo di un dipolo a grande distanza decresce come $1/r^3$ (contro $1/r^2$ di una carica sola, perché le due cariche si compensano in gran parte). Sul suo asse $E = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$. Questi dipoli sono i "mattoni" della polarizzazione in Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

Che cosa succede dopo: la mappa del corso

1. Conduttore in un campo, cariche ferme ($\vec E_{\text{int}} = 0$, carica in superficie, schermi): Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →; con due conduttori nasce il condensatore (Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →).
2. Isolante in un campo: polarizzazione, costante dielettrica, vettore $\vec D$; l'effetto sul condensatore: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.
3. Conduttore in un campo, cariche in moto: corrente, resistenza, circuiti (Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →, Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →, Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →).
4. Cariche in moto producono campi magnetici, e la variazione del campo magnetico produce campo elettrico: da qui l'induzione e le onde.

Domande d'esame

• Che differenza c'è tra un conduttore e un isolante, a livello di cariche? Come cambia la risposta a un campo elettrico?
• Che cos'è la rigidità dielettrica? Perché il parafulmine ha una punta?
• Un dipolo in un campo uniforme: che momento e che energia ha? Perché la forza totale è nulla?
• Un fascio di elettroni è accelerato da una differenza di potenziale di $100$ V: che energia in eV e in joule?

Riepilogo