Richiami di calcolo vettoriale: gradiente, divergenza e rotore

Il calcolo vettoriale è l'unico prerequisito matematico che il corso riprende a lezione. Serve per ricavare il campo elettrico dal potenziale (gradiente), per la legge di Gauss (divergenza) e per la legge di Ampère e le equazioni di Maxwell in forma differenziale (rotore).

Prodotti tra vettori

Con $\vec a = (a_x, a_y, a_z)$ e $\vec b = (b_x, b_y, b_z)$:

• prodotto scalare (il risultato è un numero): $\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = ab\cos\theta$, con $\theta$ angolo tra i due vettori. È nullo se i vettori sono perpendicolari.
• prodotto vettoriale (il risultato è un vettore): modulo $ab\sin\theta$, direzione perpendicolare al piano di $\vec a$ e $\vec b$, verso dato dalla regola della mano destra (indice su $\vec a$, medio su $\vec b$, il pollice dà $\vec a \times \vec b$). In componenti: $$\vec a \times \vec b = \det\begin{pmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)\,\hat u_x + (a_z b_x - a_x b_z)\,\hat u_y + (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat u_z$$ È nullo se i vettori sono paralleli e cambia segno scambiando l'ordine: $\vec b \times \vec a = -\vec a \times \vec b$. Utili: $\hat u_x \times \hat u_y = \hat u_z$, $\hat u_y \times \hat u_z = \hat u_x$, $\hat u_z \times \hat u_x = \hat u_y$.

Il prodotto vettoriale comparirà nella forza di Lorentz e nel momento di una forza; conviene scrivere sempre il simbolo giusto ($\cdot$ o $\times$) e la freccia sui vettori.

Derivate parziali e differenziale

Per una funzione di più variabili $U(x, y, z)$ la derivata parziale rispetto a $x$, $\frac{\partial U}{\partial x}$, si calcola derivando rispetto a $x$ e trattando $y$ e $z$ come costanti.

Esempio: $U = a x^3 + b x y z^2 + c\,y\,e^{-z}$: $$\frac{\partial U}{\partial x} = 3ax^2 + byz^2, \qquad \frac{\partial U}{\partial y} = bxz^2 + c\,e^{-z}, \qquad \frac{\partial U}{\partial z} = 2bxyz - c\,y\,e^{-z}$$

Il differenziale è la variazione di $U$ quando ci si sposta di $d\vec l = (dx, dy, dz)$: $$dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy + \frac{\partial U}{\partial z}dz$$

L'operatore nabla

Si definisce il "vettore" di derivate $$\nabla = \hat u_x \frac{\partial}{\partial x} + \hat u_y \frac{\partial}{\partial y} + \hat u_z \frac{\partial}{\partial z}$$ Da solo non ha significato: va applicato a una funzione. A seconda di come lo si "moltiplica" si ottengono tre operazioni.

Gradiente (di un campo scalare → vettore)

Definizione (gradiente). $$\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat u_x + \frac{\partial U}{\partial y}\hat u_y + \frac{\partial U}{\partial z}\hat u_z$$

Esempio. $U = x^2 y$: $\nabla U = (2xy,\ x^2)$, che in $(1, 2)$ vale $(4, 1)$.

Con questo simbolo il differenziale si scrive in modo compatto: $dU = \nabla U \cdot d\vec l$.

Significato geometrico. Da $dU = |\nabla U|\,dl\cos\theta$ si vede che, a parità di passo $dl$:

• $U$ cresce più in fretta se ci si muove lungo $\nabla U$ ($\theta = 0$): il gradiente punta nella direzione di massima crescita e il suo modulo è la rapidità di crescita;
• $U$ non cambia se ci si muove perpendicolarmente a $\nabla U$ ($\theta = 90^\circ$): il gradiente è perpendicolare alle superfici di livello $U = \text{cost}$.

Esempio intuitivo: su una cartina con le curve di livello di una montagna, il gradiente dell'altitudine punta in salita lungo la via più ripida ed è perpendicolare ai sentieri "in piano". In elettrostatica $\vec E = -\nabla V$: il campo punta nel verso in cui il potenziale cala più in fretta, ed è perpendicolare alle superfici equipotenziali.

In coordinate sferiche, per una funzione che dipende solo dalla distanza $r$ dall'origine, il gradiente è radiale: $\nabla U(r) = \frac{dU}{dr}\,\hat u_r$.

Divergenza (di un campo vettoriale → scalare)

Definizione (divergenza). $$\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$$

Significato: misura quanto il campo "esce" da un punto. Se si pensa a $\vec v$ come alla velocità di un fluido, $\nabla \cdot \vec v > 0$ dove c'è una sorgente (il fluido sgorga), $< 0$ dove c'è un pozzo, $= 0$ dove il fluido passa senza accumularsi. Per il campo elettrico le sorgenti sono le cariche: $\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon_0$.

Esempio: $\vec v = (x, y, z)$ (campo radiale che cresce allontanandosi): $\nabla \cdot \vec v = 1 + 1 + 1 = 3$, sorgente uniforme ovunque.

Rotore (di un campo vettoriale → vettore)

Definizione (rotore). $$\nabla \times \vec v = \det\begin{pmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat u_x + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat u_y + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat u_z$$

Significato: misura la tendenza del campo a "girare" intorno a un punto. Una piccola girandola immersa nel fluido gira se il rotore non è nullo; l'asse di rotazione è la direzione del rotore.

Esempio: $\vec v = (-y, x, 0)$ (rotazione rigida intorno all'asse $z$): $\nabla \times \vec v = (0, 0, 1 - (-1)) = 2\,\hat u_z$.

Due identità fondamentali (valgono per funzioni abbastanza regolari):

Proprietà (rotore di un gradiente e divergenza di un rotore). $$\nabla \times (\nabla U) = 0 \qquad\qquad \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0$$

Esempio. $U = x^2 y$: $\nabla U = (2xy, x^2, 0)$ e $\nabla\times\nabla U = \left(0, 0, \frac{\partial (x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (2xy)}{\partial y}\right) = (0,0,2x-2x) = \vec 0$.

La prima dice che un campo che è il gradiente di qualcosa non ha rotore: per questo il campo elettrostatico, che è $-\nabla V$, è irrotazionale. La seconda dice che un rotore non ha divergenza: è legata al fatto che $\nabla \cdot \vec B = 0$.

Circuitazione e flusso

• La circuitazione di $\vec v$ lungo una linea chiusa $\gamma$ è $\oint_\gamma \vec v \cdot d\vec l$: si somma, lungo il percorso, la componente del campo tangente alla linea.
• Il flusso di $\vec v$ attraverso una superficie $S$ è $\Phi_S(\vec v) = \int_S \vec v \cdot \hat n\,dS$: si somma la componente del campo perpendicolare alla superficie. Per una superficie chiusa la normale $\hat n$ si prende uscente.

Teoremi della divergenza e di Stokes

Collegano le forme "integrali" (su linee e superfici) a quelle "locali" (in un punto):

Teorema della divergenza (di Gauss).

• Teorema della divergenza (di Gauss): per una superficie chiusa $S$ che racchiude il volume $V$, $$\oint_S \vec v \cdot \hat n\,dS = \int_V \nabla \cdot \vec v\,dV$$ Il flusso uscente è la somma di tutte le sorgenti contenute.

Esempio. $\vec v = (x, y, z)$ su una sfera di raggio $1$: $\nabla\cdot\vec v = 3$ e $\int_V 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi = 4\pi$, uguale al flusso uscente $1\cdot4\pi$.

Teorema di Stokes (del rotore).

• Teorema di Stokes (del rotore): per una linea chiusa $\gamma$ che fa da bordo a una superficie $S$ (orientata con la regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza), $$\oint_\gamma \vec v \cdot d\vec l = \int_S (\nabla \times \vec v) \cdot \hat n\,dS$$ La circuitazione è la somma di tutta la vorticosità che attraversa la superficie.

Esempio. $\vec v = (-y, x, 0)$ su un cerchio di raggio $1$: $\oint\vec v\cdot d\vec l = 1\cdot2\pi = 2\pi$ e $\nabla\times\vec v = 2\hat u_z$, quindi $\int_S 2\,dS = 2\pi$.

Questi due teoremi permettono di passare dalle equazioni di Maxwell in forma integrale a quelle in forma differenziale.

Coordinate utili

Superficie di una sfera di raggio $r$: $4\pi r^2$; volume $\frac43\pi r^3$. Superficie laterale di un cilindro di raggio $r$ e altezza $h$: $2\pi r h$.