Energia elettrostatica e forza tra le armature

Segue Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →. Seguito: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Esercizi: Esercizio 16 · condensatore a semicilindri, Esercizio 17 · tubo a U in due condensatori cilindrici, Esercizio 18 · energia di tre sfere concentriche.

Energia di un condensatore carico

Un condensatore si carica spostando carica da un'armatura all'altra (è quello che fa un generatore). All'inizio è facile, poi sempre più difficile: man mano che le armature si caricano, la differenza di potenziale cresce e ogni nuova carica va spinta contro un campo più intenso.

Quando sulle armature c'è già la carica $q$ (e la tensione è $v = q/C$), per spostare un'altra carica $dq$ dall'armatura negativa alla positiva serve il lavoro

$$dW = v\,dq = \frac{q}{C}\,dq$$

(è il lavoro per portare $dq$ attraverso la differenza di potenzialePortare una carica dq attraverso una differenza di potenziale v costa il lavoro v dq: è la definizione stessa di potenziale come energia per unità di carica. $v$). Sommando da $q = 0$ a $q = Q$:

$$W = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}$$

Questo lavoro non va perso: resta immagazzinato come energia potenziale elettrostatica del condensatore, che si può recuperare scaricandolo (per esempio nel flash di una macchina fotografica). Usando $Q = CV$ si hanno tre forme equivalenti:

Formula (energia di un condensatore carico). $$\boxed{U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12 C V^2 = \frac12 Q V}$$

Esempio. $C = 100$ pF caricato a $V = 1000$ V: $U = \frac12\cdot10^{-10}\cdot10^6 = 5\cdot10^{-5}$ J.

Da dove viene l'$\frac12$. Se tutta la carica $Q$ fosse spostata attraverso la tensione finale $V$, il lavoro sarebbe $QV$. Ma la tensione cresce da $0$ a $V$ durante la carica, e in media vale $V/2$: per questo $U = \frac12 QV$.

Quale formula usare. Si sceglie quella con la grandezza che resta costante nel processo:

• condensatore isolato (staccato dal generatore): resta costante $Q$, si usa $U = Q^2/2C$;
• condensatore collegato a un generatore: resta costante $V$, si usa $U = \frac12 CV^2$.

Se cambia la capacità (si allontanano le armature, si inserisce un isolante), le due formule danno andamenti opposti: a $Q$ costante, diminuendo $C$ l'energia aumenta; a $V$ costante, diminuisce.

Densità di energia del campo

Nel condensatore piano $C = \varepsilon_0 S/d$ e $V = Ed$:

$$U = \frac12\,\frac{\varepsilon_0 S}{d}\,(Ed)^2 = \frac12\varepsilon_0 E^2 \cdot (Sd)$$

$Sd$ è il volume tra le armature, cioè il volume in cui c'è il campo. Quindi l'energia si può pensare distribuita nel campo, con densità (energia per unità di volume)

Definizione (densità di energia del campo elettrico). $$\boxed{u = \frac12\varepsilon_0 E^2} \qquad [\text{J/m}^3]$$

Esempio. $E = 10^6$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{12} = 4{,}43\ \text{J/m}^3$.

Il risultato vale in generale, non solo per il condensatore piano: l'energia elettrostatica di qualunque sistema di cariche è $U = \int \frac12\varepsilon_0 E^2\,d\tau$ esteso a tutto lo spazio dove c'è campo. Per campi non uniformi si integra con elementi di volume adatti alla simmetria (gusci sferici $4\pi r^2 dr$, gusci cilindrici $2\pi r h\,dr$).

Esempio: sfera conduttrice di raggio $R$ e carica $Q$. Il campo c'è solo fuori, $E = kQ/r^2$:

$$U = \int_R^\infty \frac12\varepsilon_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_R^\infty \frac{dr}{r^2} = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$$

che coincide con $Q^2/2C$ per $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ ✓. Le due descrizioni (energia delle cariche, energia del campo) danno lo stesso numero; la seconda è quella che servirà per le onde elettromagnetiche, dove il campo esiste anche lontano dalle cariche.

Ordine di grandezza. Nell'aria il campo non può superare circa $3 \cdot 10^6\ \text{V/m}$ (oltre si innesca la scarica): la densità massima è $u = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^{12} \approx 40\ \text{J/m}^3$. Pochissimo, rispetto ai $10^7\ \text{J/m}^3$ di una batteria: per questo i condensatori servono a dare energia in fretta, non a conservarne tanta.

Energia nei collegamenti

In parallelo e in serie l'energia totale è la somma delle energie dei singoli condensatori, ed è anche uguale a quella del condensatore equivalente: $U = \frac12 C_{\text{eq}} V^2$ (con $V$ tensione ai capi del gruppo). È un buon controllo dei conti.

Il generatore fornisce il doppio

Si carica un condensatore scarico collegandolo a un generatore di tensione $V$. Il generatore sposta la carica $Q = CV$ sempre alla tensione $V$, quindi compie il lavoro

Formula (lavoro del generatore nella carica di un condensatore). $$W_{\text{gen}} = QV = CV^2$$

ma nel condensatore finisce solo $U = \frac12 CV^2$. L'altra metà viene dissipata come calore nei fili e nelle resistenze del circuito (effetto Joule durante la caricaNel circuito RC l'energia dissipata nella resistenza durante tutta la carica vale CV²/2, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →), qualunque sia il loro valore. Lo stesso vale per ogni variazione a tensione costante: se la capacità passa da $C$ a $C'$, il generatore fornisce $W_{\text{gen}} = (C' - C)V^2$ e l'energia del condensatore cambia di $\Delta U = \frac12(C' - C)V^2$, cioè la metà.

Esempio. $C = 1\ \mu$F e $V = 100$ V: il generatore compie $W_{gen} = CV^2 = 10$ mJ, di cui solo $U = \frac12CV^2 = 5$ mJ restano nel condensatore.

Forza tra le armature

Le armature hanno cariche opposte e si attraggono. La forza si ricava dall'energia con il principio dei lavori virtuali: si immagina di spostare un'armatura di $dx$ e si guarda come cambia l'energia.

A carica costante (condensatore isolato): l'unica energia in gioco è quella del condensatore, e la forza è $F = -\dfrac{dU}{dx}$, come per ogni forza conservativaLa forza è meno la derivata dell'energia potenziale rispetto allo spostamento.. Nel condensatore piano con distanza $x$:

$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 x}{2\varepsilon_0 S} \quad\Longrightarrow\quad F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$$

Il segno meno vuol dire che la forza tende a ridurre $x$: attrazione. In modulo

Formula (forza tra le armature di un condensatore piano). $$\boxed{F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,S = \frac12\varepsilon_0 E^2\,S}$$

Perché non $QE$? Ogni armatura sente solo il campo dell'altra, che è $\sigma/2\varepsilon_0$, metà del campo totale $E = \sigma/\varepsilon_0$: quindi $F = Q \cdot \frac{E}{2}$. È la stessa pressione elettrostatica $\sigma^2/2\varepsilon_0$ della superficie di un conduttoreSulla superficie di un conduttore la carica sente il campo delle altre cariche, σ/2ε0, e quindi una pressione verso l'esterno σ²/2ε0.Conduttori in equilibrio elettrostatico →, che qui tira un'armatura verso l'altra. Si noti che la pressione è uguale alla densità di energia $u$.

A tensione costante (collegato al generatore) il conto diretto $-dU/dx$ darebbe il segno sbagliato, perché il generatore fornisce energia durante lo spostamento. Il risultato corretto è $F = +\dfrac{dU}{dx}\Big|_V = \dfrac12 V^2\dfrac{dC}{dx}$, che per il condensatore piano dà di nuovo $F = \frac{\varepsilon_0 S V^2}{2x^2}$ attrattiva: la forza dipende solo dalla situazione istantanea (cariche e campi), non da chi tiene ferma la tensione.

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$, $d = 1\ \text{mm}$, $V = 1000\ \text{V}$: $E = 10^6\ \text{V/m}$, $F = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{12} \cdot 10^{-2} = 0{,}044\ \text{N}$. Su questo principio funzionano gli elettrometri assolutiStrumenti che misurano una tensione bilanciando la forza tra due armature con un peso noto: dalla forza si risale a E e quindi a V..

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare l'$\frac12$ e scrivere $U = QV$.
• Usare $U = \frac12 CV^2$ per un condensatore isolato in cui cambia la capacità: lì $V$ cambia, è $Q$ che resta fissa.
• Calcolare la forza come $QE$: ogni armatura sente solo metà del campo.
• Pensare che il generatore fornisca esattamente l'energia immagazzinata: ne fornisce il doppio, metà va in calore.