Esercizio 68sfera in aria e carica massima prima della scarica

Il campo di una sfera conduttrice e dove è massimo

Una sfera conduttrice isolata con carica $Q$ ha la carica distribuita uniformemente sulla superficie (per simmetria). Fuori si comporta come una carica puntiforme al centro:

$$E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ (r \ge R), \qquad V(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

Il campo decresce allontanandosi, quindi il suo valore massimo è sulla superficie, $E_s = Q/(4\pi\varepsilon_0R^2)$; è lì che l'aria cede per prima. Dal teorema di CoulombAppena fuori da un conduttore il campo vale σ/ε0, con σ la densità superficiale.Conduttori in equilibrio elettrostatico → lo stesso campo si scrive $E_s = \sigma/\varepsilon_0$, con $\sigma = Q/4\pi R^2$. Tra campo di superficie e potenziale della sfera c'è un legame semplice:

$$V_s = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} = E_s\,R$$

Quest'ultima relazione è la chiave dell'esercizio: a parità di potenziale, il campo in superficie è inversamente proporzionale al raggio.

a) Sfera grande

Si pone $E_s = E_{\max}$:

$$Q_{\max} = 4\pi\varepsilon_0\,R_1^2\,E_{\max} = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot (0{,}05)^2 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{6} = 8{,}3 \cdot 10^{-7}\ \text{C} = 0{,}83\ \mu\text{C}$$

$$V_{\max} = E_{\max}\,R_1 = 3{,}0 \cdot 10^{6} \cdot 0{,}05 = 1{,}5 \cdot 10^{5}\ \text{V} = 150\ \text{kV}$$

La carica si ottiene togliendo (o aggiungendo) $N = Q_{\max}/e = \dfrac{8{,}34 \cdot 10^{-7}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 5{,}2 \cdot 10^{12}$ elettroni. La densità superficiale è $\sigma = \varepsilon_0E_{\max} = 2{,}7 \cdot 10^{-5}\ \text{C/m}^2$.

b) Sfera piccola

Stesse formule con $R_2 = 0{,}50\ \text{cm}$:

$$Q_{\max} = 4\pi\varepsilon_0\,R_2^2\,E_{\max} = 8{,}3 \cdot 10^{-9}\ \text{C} = 8{,}3\ \text{nC}, \qquad V_{\max} = 3{,}0 \cdot 10^{6} \cdot 0{,}005 = 15\ \text{kV}$$

Il raggio è $10$ volte più piccolo: la carica massima è $10^2 = 100$ volte minore (va come $R^2$) e il potenziale massimo $10$ volte minore (va come $R$).

c) Le due sfere collegate

Quale condizione vale. Il filo mette le due sfere in un unico conduttore, quindi allo stesso potenziale $V$ (non alla stessa carica né alla stessa densità). Le sfere sono molto lontane (e il filo è sottile), quindi ognuna ha ancora il potenziale della sfera isolata, $V = q_i/(4\pi\varepsilon_0R_i)$, e la carica si divide in modo che sia

$$q_1 = 4\pi\varepsilon_0R_1V, \qquad q_2 = 4\pi\varepsilon_0R_2V, \qquad q_1 + q_2 = Q$$

Potenziale comune. Sommando:

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,(R_1 + R_2)} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-7}}{0{,}055} = 1{,}63 \cdot 10^{4}\ \text{V} = 16{,}3\ \text{kV}$$

Cariche. Si dividono in proporzione ai raggi:

$$q_1 = Q\,\frac{R_1}{R_1 + R_2} = 100 \cdot \frac{5}{5{,}5} = 90{,}9\ \text{nC}, \qquad q_2 = 100 \cdot \frac{0{,}5}{5{,}5} = 9{,}1\ \text{nC}$$

Campi appena fuori, da $E_s = V/R$:

$$E_1 = \frac{16\,341}{0{,}05} = 3{,}27 \cdot 10^{5}\ \text{V/m}, \qquad E_2 = \frac{16\,341}{0{,}005} = 3{,}27 \cdot 10^{6}\ \text{V/m}$$

Il rapporto è $E_2/E_1 = R_1/R_2 = 10$ (lo stesso del rapporto tra le densità $\sigma_2/\sigma_1$). Siccome $E_2 = 3{,}27\ \text{MV/m} > E_{\max} = 3{,}0\ \text{MV/m}$, scocca la scarica sulla sfera piccola, mentre sulla grande il campo è un decimo del limite. È il potere delle punte: la carica totale è la stessa che la sfera grande da sola sopporta senza problemi ($100\ \text{nC} \ll 830\ \text{nC}$), ma collegata a una piccola sfera l'insieme si scarica.

d) Carica totale massima del sistema collegato

La scarica scatta quando il campo sulla sfera piccola raggiunge $E_{\max}$, cioè quando $V = E_{\max}R_2 = 15\ \text{kV}$. Allora

$$Q_{\text{tot,max}} = 4\pi\varepsilon_0\,(R_1 + R_2)\,V = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot 0{,}055 \cdot 15\,000 = 9{,}2 \cdot 10^{-8}\ \text{C} = 92\ \text{nC}$$

Di questi $83$ nC stanno sulla sfera grande (dove il campo è appena $0{,}3\ \text{MV/m}$, un decimo del limite) e $8{,}3$ nC sulla piccola. È molto meno di $0{,}83\ \mu\text{C}$ che la grande sopporta da sola: una piccola sporgenza abbassa di quasi dieci volte la carica massima.

Verifica numerica

import math
e0, e, Em = 8.854e-12, 1.602e-19, 3.0e6
k = 1/(4*math.pi*e0)
R1, R2 = 0.05, 0.005
for R in (R1, R2):
    print(4*math.pi*e0*R**2*Em, Em*R)       # Qmax, Vmax
print(4*math.pi*e0*R1**2*Em/e)              # 5.2e12 elettroni
Q = 100e-9
V = k*Q/(R1 + R2)
print(V, Q*R1/(R1 + R2), Q*R2/(R1 + R2), V/R1, V/R2)
print(4*math.pi*e0*(R1 + R2)*Em*R2)         # Qtot max = 9.2e-8 C

Risultati

Errori comuni

• Dividere la carica in parti uguali tra le due sfere collegate: si uguagliano i potenziali, e le cariche vanno come i raggi.
• Confrontare le cariche invece dei campi: la scarica dipende dal campo in superficie $E_s = V/R$, non dalla carica.
• Dimenticare che il potenziale massimo di una sfera è $E_{\max}R$, non $E_{\max}$ per una distanza qualsiasi.