Esercizio 69filo di rame e bacchetta di vetro alla stessa tensione

In questa pagina 8

Testo. Un filo di rame lungo $L_1 = 2{,}0\ \text{m}$ e di sezione $A_1 = 1{,}0\ \text{mm}^2$ e una bacchetta di vetro lunga $L_2 = 2{,}0\ \text{cm}$ e di sezione $A_2 = 1{,}0\ \text{cm}^2$ hanno resistività $\rho_1 = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\text{m}$ e $\rho_2 = 1{,}0 \cdot 10^{12}\ \Omega\,\text{m}$ . Il rame ha $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}$ elettroni di conduzione per metro cubo.

a) Calcolare la resistenza dei due oggetti. b) Ai capi del filo di rame si applica $\Delta V = 0{,}50\ \text{V}$ . Calcolare il campo elettrico nel filo, la corrente, la densità di corrente, la velocità di deriva degli elettroni e la potenza dissipata. c) Ai capi della bacchetta di vetro si applica $\Delta V = 500\ \text{V}$ . Calcolare il campo, la corrente e la potenza, e verificare che il vetro non ceda per rigidità dielettrica ( $E_{\max} \approx 10\ \text{MV/m}$ ). d) Alla stessa tensione di $0{,}50$ V, quante volte è più grande la corrente nel rame di quella nel vetro?

Teoria: Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica, Corrente elettrica e legge di Ohm.

Strumenti

Per un conduttore omogeneo di lunghezza $L$ e sezione $A$ (vedi resistività):

$R = \rho\,\frac{L}{A}, \qquad E = \frac{\Delta V}{L}, \qquad I = \frac{\Delta V}{R}, \qquad J = \frac{I}{A} = \sigma_c E, \qquad v_d = \frac{J}{n e}$

dove $\sigma_c = 1/\rho$ è la conducibilità. Le sezioni vanno portate in metri quadrati: $1{,}0\ \text{mm}^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^2$ e $1{,}0\ \text{cm}^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2$ (l'errore più comune sta qui).

a) Resistenze

$R_1 = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{2{,}0}{1{,}0 \cdot 10^{-6}} = 3{,}4 \cdot 10^{-2}\ \Omega = 0{,}034\ \Omega$

$R_2 = 1{,}0 \cdot 10^{12} \cdot \frac{0{,}020}{1{,}0 \cdot 10^{-4}} = 2{,}0 \cdot 10^{14}\ \Omega$

Una bacchetta di vetro corta e grossa ha una resistenza di $2 \cdot 10^{14}\ \Omega$ , mentre un filo di rame lungo e sottile ne ha $0{,}034$ : il rapporto è di quindici ordini di grandezza anche con una geometria molto sfavorevole al rame.

b) Il filo di rame con $0{,}50$ V

Campo: $E = \dfrac{0{,}50}{2{,}0} = 0{,}25\ \text{V/m}$ . Nel filo, a differenza di un conduttore in equilibrio, il campo non è nullo: serve proprio a spingere le cariche.
Corrente: $I = \dfrac{0{,}50}{0{,}034} = 14{,}7\ \text{A}$ .
Densità di corrente: $J = \dfrac{14{,}7}{1{,}0 \cdot 10^{-6}} = 1{,}47 \cdot 10^{7}\ \text{A/m}^2$ (verifica: $J = E/\rho_1 = 0{,}25/1{,}7 \cdot 10^{-8} = 1{,}47 \cdot 10^{7}$ ).
Velocità di deriva: $v_d = \dfrac{J}{n e} = \dfrac{1{,}47 \cdot 10^{7}}{8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 1{,}1 \cdot 10^{-3}\ \text{m/s}$ , cioè circa $1$ millimetro al secondo. Gli elettroni avanzano lentissimi, ma sono tantissimi: la corrente si stabilisce in tutto il filo quasi subito perché il campo si propaga a velocità vicina a quella della luce.
Potenza: $P = \Delta V\,I = 0{,}50 \cdot 14{,}7 = 7{,}4\ \text{W}$ (effetto Joule). Per un filo di $2$ m, $14{,}7$ A sono già al limite di quanto un filo di $1\ \text{mm}^2$ sopporta senza scaldare troppo.

c) La bacchetta di vetro con $500$ V

Campo: $E = \dfrac{500}{0{,}020} = 2{,}5 \cdot 10^{4}\ \text{V/m} = 0{,}025\ \text{MV/m}$ , quaranta volte meno della rigidità del vetro ( $10\ \text{MV/m}$ ): il vetro non cede.
Corrente: $I = \dfrac{500}{2{,}0 \cdot 10^{14}} = 2{,}5 \cdot 10^{-12}\ \text{A} = 2{,}5\ \text{pA}$ .
Potenza: $P = 500 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-12} = 1{,}25 \cdot 10^{-9}\ \text{W}$ : trascurabile.

Anche con $500$ V la corrente nel vetro è circa seimila miliardi di volte più piccola ( $14{,}7\ \text{A}/2{,}5\ \text{pA} = 5{,}9 \cdot 10^{12}$ ) di quella nel rame con $0{,}5$ V. In pratica nel vetro non scorre corrente: il campo c'è e polarizza il materiale (Dielettrici e polarizzazione), ma gli elettroni restano legati.

d) Rapporto delle correnti alla stessa tensione

A parità di $\Delta V$ le correnti stanno in rapporto inverso alle resistenze:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{2{,}0 \cdot 10^{14}}{0{,}034} = 5{,}9 \cdot 10^{15}$

Verifica numerica

python

e = 1.602e-19
rho1, L1, A1, n = 1.7e-8, 2.0, 1.0e-6, 8.5e28
rho2, L2, A2 = 1.0e12, 0.020, 1.0e-4
R1, R2 = rho1*L1/A1, rho2*L2/A2
print(R1, R2)                               # 0.034 ohm, 2e14 ohm
I1 = 0.5/R1; J = I1/A1
print(0.5/L1, I1, J, J/(n*e), 0.5*I1)       # 0.25 V/m, 14.7 A, 1.47e7, 1.08e-3 m/s, 7.35 W
print(500/L2, 500/R2, 500*500/R2)           # 2.5e4 V/m, 2.5e-12 A, 1.25e-9 W
print(R2/R1)                                # 5.9e15

Risultati

grandezza	rame	vetro
resistenza	$0{,}034\ \Omega$	$2{,}0 \cdot 10^{14}\ \Omega$
tensione applicata	$0{,}50$ V	$500$ V
campo	$0{,}25$ V/m	$2{,}5 \cdot 10^{4}$ V/m
corrente	$14{,}7$ A	$2{,}5$ pA
potenza	$7{,}4$ W	$1{,}25 \cdot 10^{-9}$ W

Velocità di deriva nel rame $1{,}1$ mm/s; rapporto delle correnti a $0{,}50$ V: $5{,}9 \cdot 10^{15}$ .

Errori comuni

Sezioni in millimetri o centimetri quadrati inserite nella formula: vanno in metri quadrati ( $10^{-6}$ e $10^{-4}$ ).
Pensare che il campo in un filo percorso da corrente sia zero: lo è solo in equilibrio elettrostatico; con corrente $E = \Delta V/L \neq 0$ .
Giudicare la velocità di deriva dalla rapidità con cui si accende una lampadina: la deriva è di millimetri al secondo, il segnale viaggia con il campo.

Versione ripasso

Testo. Filo di rame ( $L_1=2{,}0$ m, $A_1=1{,}0$ mm², $\rho_1=1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega$ m, $n=8{,}5\cdot10^{28}$ m⁻³) e bacchetta di vetro ( $L_2=2{,}0$ cm, $A_2=1{,}0$ cm², $\rho_2=10^{12}\ \Omega$ m). a) Resistenze. b) Rame a $0{,}50$ V: $E$ , $I$ , $J$ , $v_d$ , $P$ . c) Vetro a $500$ V: $E$ , $I$ , $P$ e rigidità ( $10$ MV/m). d) Rapporto delle correnti a $0{,}50$ V.

Teoria: Proprietà elettriche della materia e richiami di elettrostatica, Corrente elettrica e legge di Ohm.

Metodo: $R=\rho L/A$ (sezioni in m²), $E=\Delta V/L$ , $I=\Delta V/R$ , $J=I/A$ , $v_d=J/ne$ .

a) $R_1=1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac{2{,}0}{10^{-6}}=\boxed{0{,}034\ \Omega}$ ; $R_2=10^{12}\cdot\frac{0{,}020}{10^{-4}}=\boxed{2{,}0\cdot10^{14}\ \Omega}$ .
b) $E=0{,}25$ V/m (nel filo con corrente non è zero); $I=\frac{0{,}50}{0{,}034}=\boxed{14{,}7\ \text{A}}$ ; $J=1{,}47\cdot10^7$ A/m²; $v_d=\frac{J}{ne}=\boxed{1{,}1\ \text{mm/s}}$ ; $P=\Delta V\,I=\boxed{7{,}4\ \text{W}}$ .
c) $E=\frac{500}{0{,}020}=2{,}5\cdot10^4$ V/m, quaranta volte sotto la rigidità: nessuna scarica; $I=\frac{500}{2\cdot10^{14}}=\boxed{2{,}5\ \text{pA}}$ ; $P=1{,}25\cdot10^{-9}$ W.
d) $\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}=\boxed{5{,}9\cdot10^{15}}$ .

Errori tipici: sezioni in mm² o cm² nella formula; credere $E=0$ in un filo con corrente; confondere la velocità di deriva (mm/s) con la rapidità del segnale.