Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère

Segue Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →. Usa flusso, circuitazione, divergenza e rotore dei Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →. Seguito: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →. Esercizi: Esercizio 33 · cavo coassiale e teorema di Ampère, Esercizio 34 · solenoide avvolto con un filo dato.

Flusso di $\vec B$ e legge di Gauss per il magnetismo

Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie si definisce come quello del campo elettrico:

Definizione (flusso del campo magnetico). $$\Phi(\vec B) = \int_S \vec B \cdot d\vec S \qquad [\text{T m}^2 = \text{Wb, weber}]$$

Esempio. Spira circolare di raggio $5$ cm in $B = 0{,}1$ T perpendicolare: $\Phi = 0{,}1\cdot\pi\cdot0{,}0025 = 7{,}85\cdot10^{-4}$ Wb.

Le linee del campo magnetico sono sempre chiuse (attorno a un filo sono circonferenze, in una calamita escono dal nord, girano fuori ed entrano nel sud, proseguendo all'interno): non partono né finiscono da nessuna parte. Quindi ogni linea che entra in una superficie chiusa deve anche uscirne:

Legge di Gauss per il magnetismo. $$\boxed{\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\nabla \cdot \vec B = 0}$$

Esempio. Cubo di lato $10$ cm in un campo uniforme $B = 0{,}2$ T: le facce perpendicolari al campo hanno $\pm2\cdot10^{-3}$ Wb, che si cancellano a coppie, e il flusso totale è $0$.

È la legge di Gauss per il magnetismo: confrontata con quella elettrica ($\oint \vec E \cdot d\vec S = q/\varepsilon_0$), dice che non esistono cariche magnetiche (monopoli), cioè sorgenti puntiformi di $\vec B$. Si dice che $\vec B$ è solenoidale. Si dimostra a partire dalla legge di Laplace, ed è una delle quattro equazioni di Maxwell.

Flusso concatenato. Conseguenza importante: il flusso di $\vec B$ attraverso una superficie aperta dipende solo dal suo bordo. Due superfici con lo stesso bordo formano insieme una superficie chiusa, con flusso totale nullo: i loro flussi (con le normali orientate nello stesso verso rispetto al bordo) sono uguali. Si può quindi parlare di flusso concatenato con una linea chiusa (per esempio con un circuito), senza specificare la superficie: è la grandezza che conterà nell'induzione elettromagneticaUna variazione del flusso di B concatenato con un circuito produce una forza elettromotrice indotta ℰ = −dΦ/dt.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →.

Circuitazione di $\vec B$: il teorema di Ampère

Per il filo indefinito le linee di campo sono circonferenze e $B = \mu_0 i/(2\pi r)$. Lungo una di queste circonferenze, percorsa nel verso del campo:

$$\oint \vec B \cdot d\vec l = B \cdot 2\pi r = \mu_0\,i$$

Il risultato non dipende da $r$. Si dimostra che non dipende nemmeno dalla forma della linea (se la linea gira attorno al filo, l'integrale conta solo l'angolo totale $2\pi$ percorso attorno a esso), e che per una linea che non gira attorno al filo vale zero. Per più correnti si somma. Vale quindi in generale (per correnti stazionarie) il teorema di Ampère:

Teorema di Ampère. $$\boxed{\oint_\gamma \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \sum i_{\text{conc}}}$$

dove $\sum i_{\text{conc}}$ è la somma delle correnti concatenate con la linea chiusa $\gamma$, cioè che attraversano una qualunque superficie che ha $\gamma$ come bordo.

Esempio. Una curva concatena due fili con $5$ A e $3$ A in versi opposti: $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0(5 - 3) = 2{,}51\cdot10^{-6}$ T m.

I segni. Si sceglie un verso di percorrenza di $\gamma$; una corrente conta positiva se il suo verso è legato a quello di percorrenza dalla regola della mano destra (dita lungo $\gamma$, pollice lungo la corrente), negativa altrimenti. Se un filo attraversa la superficie due volte nello stesso verso (per esempio perché la linea gira due volte attorno a esso, o il filo forma una spira) conta due volte.

Il campo magnetico non è conservativo. La circuitazione di $\vec E$ elettrostatico è sempre nulla; quella di $\vec B$ no. Non esiste quindi un "potenziale magnetico" scalare definito ovunque.

Forma locale. Con il teorema di StokesLa circuitazione di un campo lungo una linea chiusa è uguale al flusso del suo rotore attraverso una superficie che ha quella linea come bordo.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → e scrivendo la corrente come flusso della densità di corrente, $i = \int \vec j \cdot d\vec S$:

Legge (teorema di Ampère in forma locale). $$\boxed{\nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j}$$

Esempio. Densità di corrente uniforme $j = 10^6\ \text{A/m}^2$: $\nabla\times\vec B = \mu_0 j = 1{,}26$ T/m dove passa la corrente.

Le correnti sono i "vortici" del campo magnetico. (Questa forma è incompleta quando ci sono campi elettrici variabili: andrà corretta con la corrente di spostamentoTermine ε0 dE/dt che si aggiunge alla densità di corrente nella legge di Ampère: rende la legge coerente con la conservazione della carica.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →.)

Come si usa: la ricetta

Come Gauss per il campo elettrico, Ampère vale sempre ma serve a calcolare $B$ solo con molta simmetria:

1. dalla simmetria si deduce direzione e dipendenza di $\vec B$ (per esempio: circolare, con modulo che dipende solo da $r$);
2. si sceglie una linea $\gamma$ lungo la quale $\vec B$ sia costante e tangente (dove serve) o perpendicolare (dove non serve);
3. la circuitazione diventa $B$ per una lunghezza, e si uguaglia a $\mu_0 i_{\text{conc}}$.

Filo spesso (cilindro percorso da corrente)

Un conduttore cilindrico indefinito di raggio $R$, percorso dalla corrente $i$ distribuita uniformemente nella sezione ($j = i/\pi R^2$). Per simmetria le linee di campo sono circonferenze coassiali. Con una circonferenza di raggio $r$:

• fuori ($r > R$): $i_{\text{conc}} = i$, quindi $B = \dfrac{\mu_0 i}{2\pi r}$, come un filo sottile;
• dentro ($r < R$): $i_{\text{conc}} = j\pi r^2 = i\,r^2/R^2$, quindi $B \cdot 2\pi r = \mu_0 i\,r^2/R^2$ e

Formula (campo dentro un conduttore cilindrico percorso da corrente). $$B = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}$$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 2$ mm, $r = 1$ mm: $B = \frac{\mu_0 i r}{2\pi R^2} = 5\cdot10^{-4}$ T.

Il campo cresce linearmente dal centro (dove è nullo) fino alla superficie, poi cala come $1/r$. È lo stesso andamento del campo elettrico di un cilindro carico uniformemente.

Solenoide rettilineo indefinito

Un filo avvolto a elica fitta su un cilindro molto lungo, con $n$ spire per unità di lunghezza, percorso dalla corrente $i$.

Simmetria. Ogni spira produce sull'asse un campo lungo l'asse; sommando spire fitte e infinite si ottiene un campo parallelo all'asse e, fuori dal solenoide, praticamente nullo (i contributi delle spire si cancellano; le linee che escono da un'estremità si richiudono su uno spazio enorme, con campo trascurabile).

Ampère su un rettangolo con un lato lungo $\ell$ dentro il solenoide, parallelo all'asse, e il lato opposto fuori. I due lati perpendicolari all'asse non contribuiscono ($\vec B \perp d\vec l$ dentro, $B = 0$ fuori); il lato esterno non contribuisce ($B = 0$). Resta il lato interno, $B\ell$. Le correnti concatenate sono quelle delle $n\ell$ spire che attraversano il rettangolo:

Formula (campo di un solenoide indefinito). $$B\,\ell = \mu_0\,n\ell\,i \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B = \mu_0\,n\,i}$$

Esempio. $n = 5000$ spire/m e $i = 3{,}5$ A: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot3{,}5 = 2{,}2\cdot10^{-2}$ T.

Il campo non dipende dalla distanza dall'asse: è uniforme in tutto l'interno. È il modo standard di produrre un campo magnetico uniforme (come il condensatore piano per il campo elettrico). Con $n = 1000$ spire/m e $i = 2\ \text{A}$: $B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000 \cdot 2 = 2{,}5\ \text{mT}$. Il verso è dato dalla mano destra (dita lungo la corrente nelle spire, pollice lungo $\vec B$). Un solenoide reale di lunghezza $L \gg$ raggio si comporta come quello ideale lontano dalle estremità, con $n = N/L$.

Solenoide toroidale

Un filo avvolto con $N$ spire su un anello (toro). Per simmetria le linee di campo sono circonferenze coassiali con l'anello. Con una circonferenza di raggio $r$ dentro il toro, la linea concatena tutte le $N$ spire:

Formula (campo di un solenoide toroidale). $$B \cdot 2\pi r = \mu_0 N i \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r}$$

Esempio. $N = 500$, $i = 2$ A e $r = 10$ cm: $B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r} = 2\cdot10^{-3}$ T.

Fuori dal toro (sia nel buco centrale sia all'esterno) la corrente concatenata totale è zero e $B = 0$: il campo è tutto confinato all'interno dell'avvolgimento. Se il raggio della sezione è piccolo rispetto a $r$, $N/2\pi r = n$ e si ritrova il solenoide.

Riepilogo

Errori comuni

• Contare correnti non concatenate: contano solo quelle che attraversano la superficie che ha la linea come bordo.
• Dimenticare i segni delle correnti opposte (o contare una volta sola un filo che attraversa due volte).
• Usare Ampère senza simmetria: per una spira o un segmento finito si deve usare la legge di Laplace.
• Confondere $n$ (spire per metro) con $N$ (spire totali) nel solenoide: $B = \mu_0 n i = \mu_0 N i/L$.