Esercizio 38spira che esce da un campo magnetico

Cosa succede

È la situazione dell'Esercizio 37 · spira che entra in un campo magnetico al contrario. Finché la spira è tutta nel campo il flusso $B\ell^2$ è costante e non succede niente; quando comincia a uscire, la parte ancora immersa è un rettangolo $\ell \times (\ell - x)$, con $x$ tratto già uscito, e il flusso cala fino a zero. Durante l'uscita (e solo allora) circola una corrente indotta, che per Lenz si oppone alla diminuzione: la forza sul lato rimasto nel campo frena la spira.

1) Energia dissipata a velocità costante

F.e.m. A velocità costante il flusso cala con rapidità costante:

$$|\mathcal E_i| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\ell v_1 = 2 \cdot 0{,}1 \cdot 5 = 1\ \text{V}$$

Durata. La f.e.m. agisce solo mentre la spira attraversa il bordo, cioè per il tempo in cui percorre una distanza pari al suo lato:

$$\Delta t = \frac{\ell}{v_1} = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02\ \text{s}$$

Energia. Potenza costante $\mathcal E_i^2/R$ per il tempo $\Delta t$:

$$U_d = \frac{\mathcal E_i^2}{R}\,\Delta t = \frac{1}{20} \cdot 0{,}02 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$$

Chi fornisce questa energia? L'agente esterno che mantiene costante la velocità contro la forza frenante $F = B^2\ell^2v_1/R = 0{,}01\ \text{N}$: il suo lavoro è $F\ell = 0{,}01 \cdot 0{,}1 = 10^{-3}\ \text{J}$. ✓

2) Carica circolata

Legge di FeliciLa carica che circola è|Φi − Φf|/R, qualunque sia la rapidità della variazione.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → con flusso iniziale $B\ell^2$ e finale zero:

$$Q = \frac{B\ell^2}{R} = \frac{2 \cdot 0{,}01}{20} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{C}$$

Controllo: corrente costante $\mathcal E_i/R = 0{,}05\ \text{A}$ per $0{,}02\ \text{s}$ dà la stessa carica.

3) Spira libera: energia cinetica iniziale

Ora nessuno spinge: la forza frenante $F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v$ rallenta la spira mentre esce. Come nell'esercizio precedente, passando dal tempo allo spazio ($\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dx}$):

$$m\,v\,\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,dx$$

La velocità cala linearmente con lo spazio; integrando sul tratto di uscita, lungo $\ell$:

$$m(v_f - v_i) = -\frac{B^2\ell^3}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_i = v_f + \frac{B^2\ell^3}{mR} = 10 + \frac{4 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-5} \cdot 20} = 10 + 5 = 15\ \text{m/s}$$

La spira perde $5\ \text{m/s}$ qualunque sia la sua velocità iniziale (purché riesca a uscire): la perdita di quantità di moto è $\ell BQ$, fissata dalla carica circolata, che non dipende dalla velocità.

$$E_{c,i} = \frac12 m v_i^2 = \frac12 \cdot 4 \cdot 10^{-5} \cdot 225 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$$

L'energia dissipata in questo caso è $\frac12 m(v_i^2 - v_f^2) = 2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$: più che al punto 1, perché la velocità media durante l'uscita (tra $15$ e $10\ \text{m/s}$) è maggiore di $5\ \text{m/s}$ e la potenza dissipata cresce con $v^2$.

Verifica numerica

l, B, m, R, v1, vf = 0.1, 2, 4e-5, 20, 5, 10
E = B*l*v1; print(E, E**2/R*l/v1, B*l**2/R)       # 1 V, 1e-3 J, 1e-3 C
vi = vf + B**2*l**3/(m*R); print(vi, 0.5*m*vi**2)  # 15 m/s, 4.5e-3 J
print(0.5*m*(vi**2 - vf**2))                      # 2.5e-3 J

Risultati

Errori comuni

• Far durare la f.e.m. per tutto il moto: c'è solo mentre il flusso cambia, cioè durante l'attraversamento del bordo.
• Usare la conservazione dell'energia cinetica nel punto 3: una parte si dissipa nella spira.
• Integrare nel tempo con il dato di una distanza: la relazione lineare $v(x)$ è molto più comoda.