Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart

Segue Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →. Seguito: Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →. Esercizi: Esercizio 30 · due fili paralleli e un dipolo magnetico, Esercizio 31 · campo di due fili simmetrici e lavoro su un dipolo, Esercizio 32 · circuito a semicirconferenza e semiquadrato, Esercizio 35 · filo avvolto un giro e mezzo con tratti rettilinei.

La prima legge elementare di Laplace

Le correnti producono campi magnetici. Il contributo di un tratto infinitesimo $d\vec l$ di filo, percorso dalla corrente $i$, nel punto $P$ a distanza $r$ è

Legge (prima legge elementare di Laplace). $$\boxed{d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec l \times \hat u_r}{r^2}}$$

Esempio. Tratto $dl = 1$ cm con $i = 10$ A, punto a $r = 5$ cm in direzione perpendicolare: $dB = 10^{-7}\cdot\frac{10\cdot0{,}01}{0{,}0025} = 4\cdot10^{-6}$ T.

dove $\hat u_r$ è il versore che va dal tratto di filo al punto $P$, e

$$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T m/A}$$

è la permeabilità magnetica del vuoto (con questa scelta $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}$ esatto, comodo nei conti).

Come si legge.

• Il modulo è $dB = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{i\,dl\sin\theta}{r^2}$: cala come $1/r^2$, come la legge di Coulomb, ed è nullo nella direzione del filo stesso ($\theta = 0$).
• La direzione è perpendicolare sia al filo sia alla congiungente: le linee di campo girano attorno al filo. Il verso si trova con la regola della mano destra: pollice nel verso della corrente, le dita piegate indicano il verso di $\vec B$.
• Per avere il campo di un circuito si integra lungo tutto il filo: $\vec B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\oint \frac{d\vec l \times \hat u_r}{r^2}$, sommando i vettori (principio di sovrapposizione).

Campo di una carica in moto. Sostituendo $i\,d\vec l = nS\,dl\,q\,\vec v$ e dividendo per il numero di portatori, il campo prodotto da una singola carica $q$ con velocità $\vec v \ll c$ è $\vec B = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{q\,\vec v \times \hat u_r}{r^2}$.

Filo rettilineo indefinito: legge di Biot-Savart

Filo lungo l'asse $z$, punto $P$ a distanza $R$ dal filo. Un tratto $dz$ in posizione $z$ dista $r = \sqrt{R^2 + z^2}$ da $P$, e l'angolo tra $d\vec l$ e $\hat u_r$ ha $\sin\theta = R/r$. Tutti i contributi hanno la stessa direzione (tangente alla circonferenza di raggio $R$ attorno al filo), quindi si sommano i moduli:

$$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{R\,dz}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\cdot\frac{2}{R}$$

(con la sostituzione $z = R\tan\alpha$ l'integrale diventa $\frac{1}{R}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\alpha\,d\alpha = \frac{2}{R}$). Quindi

Legge di Biot-Savart (filo indefinito). $$\boxed{B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi R}}$$

Esempio. $i = 42$ A e $R = 15$ cm: $B = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}$ T $= 56\ \mu$T.

È la legge di Biot-Savart. Le linee di campo sono circonferenze concentriche al filo, percorse nel verso dato dalla mano destra. Esempio: $i = 10\ \text{A}$ a $R = 1\ \text{cm}$ dà $B = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 10/0{,}01 = 2 \cdot 10^{-4}\ \text{T}$, quattro volte il campo terrestre.

Tratto finito. Per un tratto rettilineo visto da $P$ (a distanza $R$) sotto gli angoli $\alpha_1$ e $\alpha_2$ misurati dalla perpendicolare (positivi da parti opposte), lo stesso integrale tra estremi finiti dà

Formula (campo di un tratto rettilineo finito). $$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\,(\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2)$$

che per $\alpha_1 = \alpha_2 = 90^\circ$ ridà il filo indefinito. Serve per i circuiti fatti di segmenti (quadrati, rettangoli): per esempio al centro di un lato di un quadrato di lato $2a$, ogni lato visto dal centro (distanza $a$) sottende $\alpha_1 = \alpha_2 = 45^\circ$ e contribuisce con $\frac{\mu_0 i}{4\pi a}\sqrt2$.

Esempio. $i = 10$ A, $R = 10$ cm, $\alpha_1 = \alpha_2 = 30^\circ$: $B = \frac{10^{-7}\cdot10}{0{,}1}(0{,}5 + 0{,}5) = 1\cdot10^{-5}$ T.

Spira circolare

Al centro. Ogni tratto $dl$ della spira di raggio $R$ è perpendicolare al raggio ($\sin\theta = 1$) e dista $R$ dal centro; tutti i contributi sono perpendicolari al piano della spira e concordi:

Formula (campo al centro di una spira circolare). $$\boxed{B_{\text{centro}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2}\oint dl = \frac{\mu_0 i}{2R}}$$

Esempio. $i = 2$ A e $R = 5$ cm: $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = 2{,}51\cdot10^{-5}$ T.

Per un arco di angolo $\varphi$ (per esempio mezza spira, $\varphi = \pi$) si ha la frazione corrispondente: $B = \dfrac{\mu_0 i}{4\pi R}\varphi$.

Sull'asse, a distanza $z$ dal centro: per simmetria le componenti perpendicolari all'asse si cancellano a coppie (come per l'anello caricoSull'asse di un anello le componenti perpendicolari si cancellano e resta solo quella lungo l'asse.), e resta

Formula (campo sull'asse di una spira circolare). $$B(z) = \frac{\mu_0 i R^2}{2\,(R^2 + z^2)^{3/2}}$$

diretto lungo l'asse, nel verso della normale $\hat n$ della spira (regola della mano destra con le dita lungo la corrente).

Esempio. Stessa spira a $z = 5$ cm dal centro: $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = 8{,}89\cdot10^{-6}$ T.

Analogia con il dipolo. Lontano dalla spira ($z \gg R$):

$$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2z^3} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m}{z^3}, \qquad m = i\pi R^2$$

È la stessa forma del campo di un dipolo elettrico sull'asseE = (1/4πε0)·2p/r³ lungo l'asse del dipolo., con $\frac{\mu_0}{4\pi}$ al posto di $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ e il momento magnetico $m$ al posto di $p$. Anche fuori dall'asse il campo lontano di una spira coincide con quello di un dipolo: le linee di campo escono da una faccia (il "nord") ed entrano nell'altra (il "sud"), come in una calamita.

Forza tra due fili paralleli

Due fili indefiniti paralleli, a distanza $d$, con correnti $i_1$ e $i_2$. Il primo produce sul secondo il campo $B_1 = \mu_0 i_1/(2\pi d)$, perpendicolare al secondo filo; per la seconda legge di LaplacedF = i dl × B: forza su un tratto di filo percorso da corrente in un campo magnetico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → la forza su un tratto di lunghezza $\ell$ è

Formula (forza per unità di lunghezza tra due fili paralleli). $$\boxed{\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}}$$

Esempio. $i_1 = i_2 = 10$ A a $d = 1$ cm: $\frac{F}{\ell} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot100}{2\pi\cdot0{,}01} = 2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$, attrattiva se le correnti sono concordi.

• correnti concordi: i fili si attraggono;
• correnti opposte: si respingono.

(Il contrario di quel che succede con le cariche: "simili si attraggono".) Le forze sui due fili sono uguali e opposte, come vuole il terzo principio.

Definizione dell'ampere. Storicamente l'ampere è stato definito proprio così: la corrente che, in due fili paralleli indefiniti a $1\ \text{m}$ di distanza nel vuoto, produce una forza di $2 \cdot 10^{-7}\ \text{N}$ per metro. Da qui il valore $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$. (Dal 2019 l'ampere è definito fissando il valore della carica elementare, e $\mu_0$ è diventato una grandezza misurata, uguale al valore storico entro $10^{-9}$.)

Riepilogo

Errori comuni

• Sbagliare il verso delle linee di campo attorno al filo: mano destra, pollice lungo la corrente.
• Sommare i moduli dei campi di più fili: i campi sono vettori perpendicolari alle rispettive congiungenti, vanno scomposti.
• Usare $\mu_0 i/2\pi R$ per un tratto finito: vale solo per il filo indefinito.
• Confondere $\mu_0 i/2R$ (spira) e $\mu_0 i/2\pi R$ (filo): differiscono per un fattore $\pi$.