Esercizio 50lastra a facce parallele, spostamento del raggio e misura di n

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Testo. Un raggio di luce gialla ( $\lambda_0 = 0{,}589\ \mu\text{m}$ ) incide dall'aria ( $n_0 \simeq 1$ ), con angolo di incidenza $\theta_1 = 30^\circ$ , su una lastra di vetro a facce piane e parallele di spessore $h = 2\ \text{cm}$ e indice di rifrazione $n = 1{,}66$ (a quella lunghezza d'onda).

Trovare l'angolo $\theta_2$ con cui il raggio si propaga nella lastra.
Trovare l'angolo $\theta_3$ con cui il raggio esce dalla lastra e lo spostamento laterale $d$ tra raggio uscente e raggio entrante.
Ricavare una formula che permetta di misurare l'indice di rifrazione della lastra a partire da $d$ .

Teoria: Principio di Huygens, riflessione e rifrazione.

1. Angolo nella lastra

Alla prima faccia si applica la legge di Snell, dall'aria ( $n_0 = 1$ ) al vetro:

$1 \cdot \sin\theta_1 = n\sin\theta_2 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n} = \frac{0{,}5}{1{,}66} = 0{,}301$

$\theta_2 = 17{,}53^\circ$

Il raggio entra in un mezzo più denso e si avvicina alla normale, come previsto. (Il dato $\lambda_0$ serve solo a ricordare che $n$ dipende dal colore; nel vetro la lunghezza d'onda è $\lambda_0/n = 0{,}355\ \mu\text{m}$ .)

2. Raggio uscente e spostamento laterale

Direzione. Le due facce sono parallele, quindi il raggio arriva sulla seconda faccia con lo stesso angolo $\theta_2$ rispetto alla normale (angoli alterni interni). Snell dal vetro all'aria:

$n\sin\theta_2 = \sin\theta_3 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_3 = n\sin\theta_2 = \sin\theta_1 \quad\Longrightarrow\quad \theta_3 = \theta_1 = 30^\circ$

Il raggio esce parallelo a quello entrante: la lastra non devia il raggio, lo sposta soltanto.

Spostamento. Dentro la lastra il raggio percorre il tratto obliquo

$\ell = \frac{h}{\cos\theta_2} = \frac{2\ \text{cm}}{\cos 17{,}53^\circ} = 2{,}097\ \text{cm}$

(il cateto è lo spessore $h$ , l'angolo tra $\ell$ e la normale è $\theta_2$ ). Se non ci fosse la lastra il raggio proseguirebbe dritto con l'angolo $\theta_1$ ; il raggio rifratto forma con questa direzione l'angolo $\theta_1 - \theta_2$ . La distanza tra le due rette parallele (raggio uscente e prolungamento di quello entrante) è il cateto opposto a quest'angolo nel triangolo rettangolo di ipotenusa $\ell$ :

$d = \ell\,\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{h\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2} = 2{,}097 \cdot \sin(12{,}47^\circ) = 0{,}453\ \text{cm} = 4{,}53\ \text{mm}$

Grafico interattivo: Lastra di vetro (n = 1,66, h = 2 cm) in aria, θ₁ = 30° (ascissa e ordinata in cm): dentro il raggio forma θ₂ = 17,5° con la normale, all'uscita è di nuovo a 30°, parallelo all'entrante, e risulta spostato di d = 0,453 cm rispetto al prolungamento dell'incidente (tratteggio)

Forma senza $\theta_2$ . Si sviluppa $\sin(\theta_1 - \theta_2) = \sin\theta_1\cos\theta_2 - \cos\theta_1\sin\theta_2$ e si divide per $\cos\theta_2$ :

$d = h\left(\sin\theta_1 - \cos\theta_1\tan\theta_2\right)$

Da Snell $\sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n}$ e $\cos\theta_2 = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}{n}$ , quindi $\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}$ e

$\boxed{d = h\sin\theta_1\left(1 - \frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}\right)}$

Con i numeri: $\sqrt{1{,}66^2 - 0{,}25} = \sqrt{2{,}5056} = 1{,}583$ , $d = 2 \cdot 0{,}5 \cdot (1 - 0{,}866/1{,}583) = 0{,}453\ \text{cm}$ , come prima.

Controlli: per $n = 1$ (niente lastra) la parentesi vale $1 - \cos\theta_1/\cos\theta_1 = 0$ , quindi $d = 0$ ; per $n \to \infty$ il raggio nella lastra diventa perpendicolare alle facce e $d \to h\sin\theta_1 = 1\ \text{cm}$ .

3. Misurare n dallo spostamento

Si risolve la formula di $d$ rispetto a $n$ . Dividendo per $h\sin\theta_1$ :

$\frac{d}{h\sin\theta_1} = 1 - \frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1} = \frac{\cos\theta_1}{1 - \dfrac{d}{h\sin\theta_1}}$

Elevando al quadrato:

$\boxed{n = \sqrt{\sin^2\theta_1 + \left(\frac{\cos\theta_1}{1 - \dfrac{d}{h\sin\theta_1}}\right)^2}}$

Misurando $h$ , $\theta_1$ e lo spostamento $d$ (per esempio con un laser e un foglio millimetrato) si ottiene l'indice. Verifica: con $d = 4{,}529\ \text{mm}$ si riottiene $n = 1{,}660$ .

Quanto è precisa la misura? Se si misura $d = 4{,}5 \pm 0{,}1\ \text{mm}$ , la formula dà $n$ tra $1{,}625$ e $1{,}680$ : un errore di $0{,}1\ \text{mm}$ su $d$ pesa circa $0{,}03$ su $n$ . Conviene una lastra spessa e un angolo abbastanza grande, perché $d$ cresce con entrambi.

Verifica numerica

python

import numpy as np
t1, n, h = np.radians(30), 1.66, 2e-2
t2 = np.arcsin(np.sin(t1)/n)
d = h*np.sin(t1 - t2)/np.cos(t2)
print(np.degrees(t2), h/np.cos(t2), d)            # 17.53 gradi, 0.02097 m, 0.004529 m
print(h*np.sin(t1)*(1 - np.cos(t1)/np.sqrt(n**2 - np.sin(t1)**2)))   # 0.004529 m
n_mis = np.sqrt(np.sin(t1)**2 + (np.cos(t1)/(1 - d/(h*np.sin(t1))))**2)
print(n_mis)                                       # 1.66

Risultati

grandezza	valore
angolo nella lastra $\theta_2$	$17{,}5^\circ$
angolo di uscita $\theta_3$	$30^\circ$ (parallelo al raggio entrante)
spostamento laterale $d$	$4{,}53\ \text{mm}$
indice da $d$	$n = \sqrt{\sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1/(1 - d/h\sin\theta_1)^2}$

Errori comuni

Usare $d = h\tan\theta_1 - h\tan\theta_2$ : è lo spostamento misurato lungo la faccia della lastra, non la distanza tra i due raggi paralleli. I due differiscono per un fattore $\cos\theta_1$ .
Pensare che il raggio esca deviato: con facce parallele la deviazione alla seconda faccia annulla esattamente quella alla prima.

Versione ripasso

Trovare l'angolo $\theta_2$ con cui il raggio si propaga nella lastra.
Trovare l'angolo $\theta_3$ con cui il raggio esce dalla lastra e lo spostamento laterale $d$ tra raggio uscente e raggio entrante.
Ricavare una formula che permetta di misurare l'indice di rifrazione della lastra a partire da $d$ .

Teoria: Principio di Huygens, riflessione e rifrazione.

Metodo: Snell a ogni faccia (legge di Snell); le facce parallele rendono il raggio uscente parallelo all'entrante.

1. $\sin\theta_2=\frac{\sin30^\circ}{1{,}66}=\frac{0{,}5}{1{,}66}=0{,}301$ , $\theta_2=17{,}53^\circ$ (nel vetro $\lambda_0/n=0{,}355\ \mu$ m).
2. Alla seconda faccia l'angolo è ancora $\theta_2$ (alterni interni): $\sin\theta_3=n\sin\theta_2=\sin\theta_1$ , $\theta_3=\theta_1=30^\circ$ , raggio parallelo. Tratto obliquo $\ell=\frac{h}{\cos\theta_2}=\frac{2}{\cos17{,}53^\circ}=2{,}097$ cm; spostamento $d=\ell\sin(\theta_1-\theta_2)=\frac{h\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}=2{,}097\cdot\sin12{,}47^\circ=0{,}453\ \text{cm}=4{,}53\ \text{mm}$ Senza $\theta_2$ : $d=h(\sin\theta_1-\cos\theta_1\tan\theta_2)$ e $\tan\theta_2=\frac{\sin\theta_1}{\sqrt{n^2-\sin^2\theta_1}}$ , quindi $d=h\sin\theta_1\left(1-\frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2-\sin^2\theta_1}}\right)$ (con $n=1$ : $d=0$ ; con $n\to\infty$ : $d\to h\sin\theta_1=1$ cm).
3. Invertendo: $\sqrt{n^2-\sin^2\theta_1}=\frac{\cos\theta_1}{1-\frac{d}{h\sin\theta_1}}$ , cioè $n=\sqrt{\sin^2\theta_1+\left(\frac{\cos\theta_1}{1-\frac{d}{h\sin\theta_1}}\right)^2}$ (con $d=4{,}529$ mm si riottiene $n=1{,}660$ ). Precisione: $d=4{,}5\pm0{,}1$ mm dà $n$ tra $1{,}625$ e $1{,}680$ (circa $0{,}03$ per $0{,}1$ mm); meglio lastre spesse e angoli grandi.

Risultati: $\theta_2=17{,}5^\circ$ ; $\theta_3=30^\circ$ ; $d=4{,}53$ mm; $n$ dalla formula sopra.

Errori tipici: $d=h\tan\theta_1-h\tan\theta_2$ (è lo spostamento lungo la faccia, differisce per $\cos\theta_1$ ); credere che il raggio esca deviato.

Teoria collegata

Principio di Huygens, riflessione e rifrazione