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Note per Studenti Esercizio 60 · pellicola davanti a una fenditura di Young

Esercizio 60pellicola davanti a una fenditura di Young

Esame
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Testo (II appello, 18 febbraio 2026, problema 3, parti 1 e 2). Una sottile pellicola di materiale trasparente con n=1,58n = 1{,}58 è posta davanti a una delle fenditure di un dispositivo di Young. In questa condizione, con luce rossa, λ0=0,65 μm\lambda_0 = 0{,}65\ \mu\text{m}, al centro dello schermo NON si osserva più la frangia chiara con m=0m = 0, ma si vede quella con m=5m = 5.

  1. Trovare lo spessore della pellicola dd (usare la fase).
  2. Togliendo la pellicola e ripristinando le condizioni iniziali si nota che il primo minimo si trova a 2,9 mm2{,}9\ \text{mm} dal centro dello schermo. Sapendo che la distanza tra fenditure e schermo è di 1,8 m1{,}8\ \text{m}, si trovi la distanza tra le fenditure aa.

(Qui dd è lo spessore della pellicola e aa la distanza tra le fenditure.)

Teoria: Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

1. Spessore della pellicola

Cosa fa la pellicola. Al centro dello schermo i due raggi percorrono cammini geometrici uguali. Senza pellicola arrivano in fase: massimo di ordine 0. Con la pellicola, il raggio che la attraversa percorre un tratto dd nel materiale invece che in aria: il suo cammino otticoUn tratto r in un mezzo di indice n equivale, per la fase, a un tratto n·r nel vuoto.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → aumenta di (n−1)d(n - 1)d, e la differenza di fase al centro diventa

Δφ=2πλ0 nd−2πλ0 d=2πλ0(n−1) d\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,nd - \frac{2\pi}{\lambda_0}\,d = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,d

Condizione. Al centro si vede il massimo di ordine m=5m = 5, cioè la frangia che senza pellicola corrispondeva a una differenza di fase di 5⋅2π5 \cdot 2\pi:

2πλ0(n−1) d=2πm⟹d=mλ0n−1=5⋅0,65 μm0,58=5,6 μm\frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,d = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{m\lambda_0}{n - 1} = \frac{5 \cdot 0{,}65\ \mu\text{m}}{0{,}58} = 5{,}6\ \mu\text{m}

L'intera figura si è spostata di cinque frange verso il lato della pellicola (il massimo di ordine 0 si sposta dove il cammino geometrico più lungo dell'altro raggio compensa il ritardo).

2. Distanza tra le fenditure

Primo minimo. Senza pellicola il primo minimo accanto al centro si ha quando la differenza di cammino è mezza lunghezza d'onda, asin⁡θ=λ0/2a\sin\theta = \lambda_0/2. Per angoli piccoli sin⁡θ≈x/L\sin\theta \approx x/L:

a xL=λ02⟹a=λ0L2x=0,65⋅10−6⋅1,82⋅2,9⋅10−3=0,20 mm\frac{a\,x}{L} = \frac{\lambda_0}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{\lambda_0L}{2x} = \frac{0{,}65 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}8}{2 \cdot 2{,}9 \cdot 10^{-3}} = 0{,}20\ \text{mm}

(Nella soluzione ufficiale la formula è scritta senza il 2 al denominatore, ma il risultato riportato, ≈0,2 mm\approx 0{,}2\ \text{mm}, è quello giusto.) Controllo: le frange chiare distano λ0L/a=5,8 mm\lambda_0L/a = 5{,}8\ \text{mm}, il primo minimo è a metà, 2,9 mm2{,}9\ \text{mm}.

Verifica numerica

python
n, lam, m, L, x = 1.58, 0.65e-6, 5, 1.8, 2.9e-3
print(m*lam/(n - 1))                             # 5.6e-6 m
print(lam*L/(2*x))                               # 2.0e-4 m
print(lam*L/(lam*L/(2*x)))                       # interfrangia 5.8e-3 m

Risultati

grandezza valore
spessore della pellicola 5,6 μm5{,}6\ \mu\text{m}
distanza tra le fenditure 0,20 mm0{,}20\ \text{mm}

Errori comuni

  • Usare ndnd invece di (n−1)d(n - 1)d: la pellicola sostituisce un tratto d'aria, il ritardo è la differenza.
  • Mettere il primo minimo a λ0L/a\lambda_0L/a: lì c'è il primo massimo laterale.

Versione ripasso

Testo (II appello, 18 febbraio 2026, problema 3, parti 1 e 2). Una sottile pellicola di materiale trasparente con n=1,58n = 1{,}58 è posta davanti a una delle fenditure di un dispositivo di Young. Con luce rossa, λ0=0,65 μm\lambda_0 = 0{,}65\ \mu\text{m}, al centro dello schermo si vede la frangia con m=5m = 5 invece di quella con m=0m = 0.

  1. Trovare lo spessore della pellicola dd (usare la fase).
  2. Senza la pellicola il primo minimo si trova a 2,9 mm2{,}9\ \text{mm} dal centro; con distanza fenditure-schermo 1,8 m1{,}8\ \text{m}, trovare la distanza aa tra le fenditure.

Teoria: Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

Metodo: la pellicola aggiunge cammino ottico (n−1)d(n-1)d (cammino otticoUn tratto r in un mezzo di indice n equivale, per la fase, a un tratto n·r nel vuoto.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →).

  1. Sfasamento al centro 2πλ0(n−1)d=2πm\frac{2\pi}{\lambda_0}(n-1)d=2\pi m con m=5m=5: d=mλ0n−1=5⋅0,65 μm0,58=5,6 μmd=\frac{m\lambda_0}{n-1}=\frac{5\cdot0{,}65\ \mu\text{m}}{0{,}58}=\boxed{5{,}6\ \mu\text{m}}.
  2. Primo minimo: axL=λ02\frac{ax}{L}=\frac{\lambda_0}{2}, a=λ0L2x=0,65⋅10−6⋅1,82⋅2,9⋅10−3=0,20 mma=\frac{\lambda_0L}{2x}=\frac{0{,}65\cdot10^{-6}\cdot1{,}8}{2\cdot2{,}9\cdot10^{-3}}=\boxed{0{,}20\ \text{mm}} (controllo: frange chiare a λ0L/a=5,8\lambda_0L/a=5{,}8 mm, minimo a 2,92{,}9 mm; nella soluzione ufficiale la formula non ha il 22, ma il risultato 0,20{,}2 mm è giusto).

Errori tipici: ndnd invece di (n−1)d(n-1)d; primo minimo a λ0L/a\lambda_0L/a (primo massimo laterale).

Teoria collegata