Capacità e condensatori

Segue Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →. Seguito: Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →. Esercizi: Esercizio 14 · condensatore con armature inclinate, Esercizio 15 · sfera grande e sferetta appesa a una molla, Esercizio 16 · condensatore a semicilindri.

Capacità di un conduttore isolato

Un conduttore isolato con carica $Q$ è equipotenzialeIn equilibrio il campo dentro il conduttore è nullo, quindi tutti i suoi punti hanno lo stesso potenziale.Conduttori in equilibrio elettrostatico →: ha un unico potenziale $V$ (con lo zero all'infinito). Raddoppiando la carica, per il principio di sovrapposizione raddoppiano campo e potenziale in ogni punto, ma la forma della distribuzione resta la stessa: $V$ è proporzionale a $Q$. Il rapporto dipende solo dalla forma e dalle dimensioni del conduttore e si chiama capacità:

Definizione (capacità di un conduttore isolato). $$\boxed{C = \frac{Q}{V}}$$

Unità: il farad1 F = 1 C/V. È un'unità enorme: i condensatori comuni vanno dai picofarad (10^-12 F) ai microfarad (10^-6 F); solo i supercondensatori arrivano a farad o migliaia di farad. ($1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$).

Esempio: sfera di raggio $R$. Fuori dalla sfera il campo è quello di una carica puntiforme, quindi $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ e

$$C_{\text{sfera}} = 4\pi\varepsilon_0 R$$

Una sfera di $1\ \text{m}$ ha $C = 111\ \text{pF}$; la Terra intera ($R = 6{,}4 \cdot 10^6\ \text{m}$) ha solo $711\ \mu\text{F}$. Per avere capacità grandi non si usano conduttori isolati: si avvicinano due conduttori.

Perché si chiama capacità. A parità di potenziale (cioè di "sforzo" elettrico), un conduttore con $C$ grande accumula più carica. Nel caso delle due sfere collegate del potere delle punteDue sfere collegate da un filo hanno lo stesso potenziale; le cariche si dividono in proporzione ai raggi.Conduttori in equilibrio elettrostatico → le cariche si dividono proprio in proporzione alle capacità $4\pi\varepsilon_0 R_1$ e $4\pi\varepsilon_0 R_2$.

Il condensatore

Un condensatore è una coppia di conduttori (le armature) con cariche uguali e opposte $+Q$ e $-Q$, di solito in induzione completaSituazione in cui tutte le linee di campo che partono da un conduttore finiscono sull'altro: le cariche sulle facce affacciate sono esattamente opposte.: tutte le linee di campo che escono dall'armatura positiva finiscono su quella negativa. La capacità è

Definizione (capacità di un condensatore). $$C = \frac{Q}{\Delta V}, \qquad \Delta V = V_+ - V_- > 0$$

con $Q$ carica dell'armatura positiva. Anche qui il rapporto dipende solo dalla geometria (e dall'eventuale isolante tra le armature, vedi Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →).

Esempio. Armature con $Q = 24$ nC e $\Delta V = 12$ V: $C = \frac{24\ \text{nC}}{12\ \text{V}} = 2$ nF.

Ricetta per calcolare una capacità (vale per tutte le geometrie):

1. si mette $+Q$ su un'armatura e $-Q$ sull'altra;
2. si calcola il campo tra le armature, quasi sempre con la legge di GaussSi sceglie una superficie che rispetta la simmetria (cilindretto, cilindro coassiale, sfera concentrica): il flusso diventa E per area.;
3. si integra il campo da un'armatura all'altra: $\Delta V = \int_+^- \vec E \cdot d\vec l$;
4. si divide: $C = Q/\Delta V$. La $Q$ si semplifica sempre, e resta solo la geometria.

Condensatore piano

Due armature piane parallele di area $S$ a distanza $d$, con $d$ molto minore delle dimensioni delle armature (così i bordi contano poco). Tra le armature i campi delle due superfici cariche $\pm\sigma$ ($\sigma = Q/S$) si sommano, fuori si cancellano:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} \quad\text{(uniforme)}, \qquad \Delta V = E\,d = \frac{Qd}{\varepsilon_0 S}$$

Formula (capacità del condensatore piano). $$\boxed{C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}}$$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ e $d = 1$ mm: $C = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} = 88{,}5$ pF.

Più grandi e più vicine sono le armature, più grande è la capacità. Con $S = 1\ \text{cm}^2$ e $d = 1\ \text{mm}$: $C = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-4}/10^{-3} = 0{,}885\ \text{pF}$. Per avere microfarad si arrotolano lunghe strisce sottili separate da un isolante sottilissimo.

Applicazione: microfono a condensatore. Una delle armature è una membrana che vibra con il suono: $d$ cambia, quindi cambia $C$, e a tensione costante cambia la carica, cioè scorre una corrente che riproduce il suono.

Condensatore cilindrico

Due cilindri coassiali di raggi $R_1 < R_2$ e altezza $h \gg R_2$ (cavo coassiale). Con Gauss su un cilindro di raggio $r$ tra le armature, la carica interna è $Q$ e il campo è radiale:

$$E(r) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 h\,r}, \qquad \Delta V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 h\,r}\,dr = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 h}\ln\frac{R_2}{R_1}$$

Formula (capacità del condensatore cilindrico). $$\boxed{C = \frac{2\pi\varepsilon_0\,h}{\ln(R_2/R_1)}}$$

Esempio. $h = 1$ m, $R_1 = 1$ mm, $R_2 = 3$ mm: $C = \frac{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot1}{\ln3} = 50{,}6$ pF.

La capacità per unità di lunghezza $C/h = 2\pi\varepsilon_0/\ln(R_2/R_1)$ dipende solo dal rapporto dei raggi. Un cavo coassiale con $R_2/R_1 = 3{,}5$ ha $C/h = 2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}/1{,}25 = 44\ \text{pF/m}$ (con isolante di plastica, circa il doppio).

Controllo: se lo spessore $d = R_2 - R_1$ è piccolo, $\ln(R_2/R_1) = \ln(1 + d/R_1) \approx d/R_1$ e si ottiene $C \approx \varepsilon_0\,2\pi R_1 h/d$: un condensatore piano di area $2\pi R_1 h$ ✓.

Condensatore sferico

Due sfere concentriche di raggi $R_1 < R_2$. Tra le armature il campo è quello di una carica puntiforme $Q$:

$$\Delta V = \int_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

Formula (capacità del condensatore sferico). $$\boxed{C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}}$$

Esempio. $R_1 = 10$ cm e $R_2 = 30$ cm: $C = 4\pi\varepsilon_0\frac{0{,}1\cdot0{,}3}{0{,}2} = 16{,}7$ pF.

Due controlli. Per $R_2 \to \infty$ si ritrova la sfera isolata, $C = 4\pi\varepsilon_0 R_1$ (l'"altra armatura" è all'infinito). Per armature vicinissime ($R_2 - R_1 = d \ll R_1$) si ha $C \approx 4\pi\varepsilon_0 R_1^2/d = \varepsilon_0 S/d$: di nuovo il condensatore piano ✓.

Collegamenti in parallelo e in serie

Parallelo. Le armature sono collegate a due a due: tutti i condensatori hanno la stessa differenza di potenziale $V$, e le cariche si sommano.

Formula (condensatori in parallelo). $$Q = Q_1 + Q_2 + \dots = (C_1 + C_2 + \dots)\,V \quad\Longrightarrow\quad \boxed{C_{\text{par}} = C_1 + C_2 + \dots}$$

Esempio. $C_1 = 4$ pF e $C_2 = 2$ pF in parallelo: $C_{par} = 6$ pF, con la stessa $V$ su entrambi.

È come aumentare l'area delle armature: la capacità cresce.

Serie. I condensatori sono uno dopo l'altro. L'armatura negativa del primo e la positiva del secondo, collegate da un filo, formano un conduttore isolato e inizialmente scarico: per induzione su di esse compaiono $-Q$ e $+Q$, quindi tutti hanno la stessa carica $Q$. Le differenze di potenziale si sommano:

Formula (condensatori in serie). $$V = V_1 + V_2 + \dots = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\right) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{1}{C_{\text{serie}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots}$$

È come aumentare la distanza tra le armature: la capacità totale è minore della più piccola. Per due condensatori $C_{\text{serie}} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$.

Esempio. $C_1 = 4\ \text{pF}$ e $C_2 = 2\ \text{pF}$ in serie con un generatore da $200\ \text{V}$: $C_{\text{serie}} = 8/6 = 1{,}33\ \text{pF}$, carica $Q = 1{,}33 \cdot 10^{-12} \cdot 200 = 267\ \text{pC}$ su entrambi; $V_1 = Q/C_1 = 67\ \text{V}$, $V_2 = Q/C_2 = 133\ \text{V}$. Il condensatore più piccolo prende la tensione più grande.

Condensatori "in disguise". Molti problemi nascondono una serie o un parallelo nella geometria:

• un condensatore piano riempito a strati paralleli alle armature (spessori diversi, o materiali diversi) è una serie di condensatori piani: la carica attraversa uno strato dopo l'altro;
• un condensatore piano diviso in zone affiancate (per esempio metà area con un materiale, metà con un altro) è un parallelo: tutte le zone hanno la stessa $\Delta V$;
• con armature non parallele si divide in strisce sottili, ciascuna un piccolo condensatore piano, e si sommano in parallelo integrando (vedi Esercizio 14 · condensatore con armature inclinate).

Errori comuni

• Usare $C = \varepsilon_0 S/d$ per geometrie non piane: per cilindri e sfere il campo non è uniforme.
• Scambiare le regole di serie e parallelo (sono l'opposto di quelle dei resistori): in parallelo i condensatori si sommano.
• Pensare che la capacità dipenda dalla carica o dalla tensione: dipende solo dalla geometria e dal materiale tra le armature.
• Dimenticare il logaritmo nel cilindrico, o usare il diametro al posto del raggio (nel rapporto non cambia niente, ma nelle altre formule sì).