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Note per Studenti Esercizio 24 · onde nei buoni conduttori, spessore di penetrazione e conducibilità (temi d'esame)

Esercizio 24onde nei buoni conduttori, spessore di penetrazione e conducibilità (temi d'esame)

Esame
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Testo (temi d'esame).

  1. (luglio 2024) In un mezzo non magnetico (μ=μ0=4π⋅10−7\mu=\mu_0=4\pi\cdot10^{-7} H/m), buon conduttore (σ≫ωε\sigma\gg\omega\varepsilon) alla frequenza f=3f=3 GHz, il modulo del campo di un'onda piana diminuisce da 11 V/m a 0,10{,}1 V/m per una propagazione in uno spessore di 0,20{,}2 mm. Quanto vale la conducibilità σ\sigma? (a. 85,6⋅10385{,}6\cdot10^3; b. 22,4⋅10322{,}4\cdot10^3; c. 11,2⋅10311{,}2\cdot10^3; d. 44,8⋅10344{,}8\cdot10^3 Ω−1m−1\Omega^{-1}\text{m}^{-1})
  2. (23 giugno 2025) Onda piana che si propaga in z>0z>0 in un mezzo non magnetico, buon conduttore con σ=107 Ω−1m−1≫ωε\sigma=10^7\ \Omega^{-1}\text{m}^{-1}\gg\omega\varepsilon, a f=400f=400 MHz. A quale distanza da z=0z=0 la densità media di potenza è dimezzata rispetto a z=0z=0? (c. 2,76 μ2{,}76\ \mum; d. 7,96 μ7{,}96\ \mum; e. 5,52 μ5{,}52\ \mum; f. 3,98 μ3{,}98\ \mum)
  3. (2º parziale) Mezzo non magnetico, buon conduttore con σ=103 Ω−1m−1≫ωε\sigma=10^3\ \Omega^{-1}\text{m}^{-1}\gg\omega\varepsilon a f=5f=5 GHz. Spessore per cui il modulo del campo elettrico diminuisce da 11 V/m a 0,10{,}1 V/m? (a. 518 μ518\ \mum; b. 51,8 μ51{,}8\ \mum; c. 259 μ259\ \mum; f. 777 μ777\ \mum)
  4. (esercitazione 1) Un'onda piana a polarizzazione rettilinea incide su un mezzo buon conduttore. Noto che lo spessore di penetrazione è δs=5 μ\delta_s=5\ \mum, determinare a quale distanza dd dalla superficie il modulo del campo elettrico si è ridotto a 1/101/10 di quello presente sulla superficie. (a. 2,5 μ2{,}5\ \mum; b. 11,5 μ11{,}5\ \mum; c. 7,5 μ7{,}5\ \mum; d. 5,5 μ5{,}5\ \mum)
  5. (esercitazione 1) Onda piana a f=1200f=1200 MHz incide su un mezzo con μ=μ0\mu=\mu_0 e ε=16π10−9\varepsilon=\frac1{6\pi}10^{-9} F/m. Nell'ipotesi di buon conduttore e noto δs=10−312π\delta_s=\frac{10^{-3}}{12\pi} m, determinare la conducibilità.
  6. Acqua di mare (σ=4\sigma=4 S/m, εr=80\varepsilon_r=80, μr=1\mu_r=1) a f=10f=10 kHz, campo magnetico in superficie hˉ(0,t)=y^ 50cos⁡(2π⋅104t+30∘)\bar h(0,t)=\hat y\,50\cos(2\pi\cdot10^4t+30^\circ) mA/m (propagazione lungo zz, verso il basso). Verificare che è un buon conduttore, calcolare α\alpha, β\beta, δs\delta_s, l'impedenza ηc\eta_c, il campo elettrico in superficie (ampiezza e fase), la profondità a cui il campo scende all'1%1\% e l'attenuazione in dB a 1010 m.
  7. Rame (σ=5,8⋅107\sigma=5{,}8\cdot10^7 S/m) a 11 GHz: δs\delta_s, resistenza superficiale; un foglio di rame spesso 5 μ5\ \mum quanto attenua il campo e la potenza?

Teoria usata: Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Formule. Buon conduttore (σ≫ωε\sigma\gg\omega\varepsilon): α=β=πfμσ\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}, δs=1α\delta_s=\dfrac1\alpha, campo ∝e−αz\propto e^{-\alpha z}, potenza ∝e−2αz\propto e^{-2\alpha z}, ηc=(1+j)1σδs\eta_c=(1+j)\dfrac1{\sigma\delta_s}, Rs=1σδsR_s=\dfrac1{\sigma\delta_s}.

1. Conducibilità dall'attenuazione

e−αd=0,1⇒α=ln⁡10d=2,30260,2⋅10−3=11 513e^{-\alpha d}=0{,}1\Rightarrow\alpha=\dfrac{\ln10}{d}=\dfrac{2{,}3026}{0{,}2\cdot10^{-3}}=11\,513 Np/m. Da α2=πfμσ\alpha^2=\pi f\mu\sigma:

σ=α2πfμ0=1,3255⋅108π⋅3⋅109⋅4π⋅10−7=1,3255⋅1081,1843⋅104=1,12⋅104 S/m\sigma=\frac{\alpha^2}{\pi f\mu_0}=\frac{1{,}3255\cdot10^{8}}{\pi\cdot3\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}3255\cdot10^8}{1{,}1843\cdot10^4}=\mathbf{1{,}12\cdot10^4}\ \text{S/m}

(risposta c). Condizione: σ≫ωε0=2π⋅3⋅109⋅8,85⋅10−12=0,167\sigma\gg\omega\varepsilon_0=2\pi\cdot3\cdot10^9\cdot8{,}85\cdot10^{-12}=0{,}167 S/m ✓.

2. Distanza di dimezzamento della potenza

α=πfμσ=π⋅4⋅108⋅4π⋅10−7⋅107=1,2566⋅105\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}=\sqrt{\pi\cdot4\cdot10^8\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^7}=1{,}2566\cdot10^5 Np/m (δs=7,96 μ\delta_s=7{,}96\ \mum). La potenza cala come e−2αze^{-2\alpha z}: e−2αd=12⇒d=ln⁡22α=0,69312,513⋅105=2,76 μme^{-2\alpha d}=\dfrac12\Rightarrow d=\dfrac{\ln2}{2\alpha}=\dfrac{0{,}6931}{2{,}513\cdot10^5}=\mathbf{2{,}76\ \mu m} (risposta c; l'errore tipico è ln⁡2/α=5,52 μ\ln2/\alpha=5{,}52\ \mum, opzione e, che vale per il campo).

3. Spessore per ridurre il campo a 1/101/10

α=π⋅5⋅109⋅4π⋅10−7⋅103=1,974⋅107=4443\alpha=\sqrt{\pi\cdot5\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^3}=\sqrt{1{,}974\cdot10^7}=4443 Np/m; d=ln⁡10α=2,30264443=518 μmd=\dfrac{\ln10}{\alpha}=\dfrac{2{,}3026}{4443}=\mathbf{518\ \mu m} (risposta a). Condizione: ωε0=0,278\omega\varepsilon_0=0{,}278 S/m ≪103\ll10^3 ✓.

4. Distanza per il campo a 1/101/10 dato δs\delta_s

E(z)=E0e−z/δs=E010⇒z=δsln⁡10=5⋅2,3026=11,5 μmE(z)=E_0e^{-z/\delta_s}=\dfrac{E_0}{10}\Rightarrow z=\delta_s\ln10=5\cdot2{,}3026=\mathbf{11{,}5\ \mu m} (risposta b).

5. Conducibilità dallo spessore di penetrazione

δs=1πfμσ⇒σ=1πfμ0δs2\delta_s=\dfrac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}\Rightarrow\sigma=\dfrac1{\pi f\mu_0\delta_s^2} con δs=10−312π=2,653⋅10−5\delta_s=\dfrac{10^{-3}}{12\pi}=2{,}653\cdot10^{-5} m e δs2=7,04⋅10−10\delta_s^2=7{,}04\cdot10^{-10} m2^2:

σ=1π⋅1,2⋅109⋅4π⋅10−7⋅7,04⋅10−10=13,335⋅10−6=3⋅105 S/m.\sigma=\frac1{\pi\cdot1{,}2\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot7{,}04\cdot10^{-10}}=\frac1{3{,}335\cdot10^{-6}}=\mathbf{3\cdot10^5}\ \text{S/m}.

Controllo: ωε=2π⋅1,2⋅109⋅10−96π=0,4\omega\varepsilon=2\pi\cdot1{,}2\cdot10^9\cdot\dfrac{10^{-9}}{6\pi}=0{,}4 S/m ≪3⋅105\ll3\cdot10^5: ipotesi di buon conduttore verificata.

6. Acqua di mare a 1010 kHz

  • Buon conduttore? ωε=2π⋅104⋅80⋅8,854⋅10−12=4,45⋅10−5\omega\varepsilon=2\pi\cdot10^4\cdot80\cdot8{,}854\cdot10^{-12}=4{,}45\cdot10^{-5} S/m ≪σ=4\ll\sigma=4 S/m ✓ (il rapporto è 9⋅1049\cdot10^4).
  • Costanti: α=β=π⋅104⋅4π⋅10−7⋅4=0,397\alpha=\beta=\sqrt{\pi\cdot10^4\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot4}=\mathbf{0{,}397} Np/m e rad/m; δs=1α=2,52\delta_s=\dfrac1\alpha=\mathbf{2{,}52} m; λ=2πβ=15,8\lambda=\dfrac{2\pi}{\beta}=15{,}8 m.
  • Impedenza: ηc=1+jσδs=1+j4⋅2,516=0,0994(1+j)=0,140 ej45∘ Ω\eta_c=\dfrac{1+j}{\sigma\delta_s}=\dfrac{1+j}{4\cdot2{,}516}=0{,}0994(1+j)=\mathbf{0{,}140\,e^{j45^\circ}\ \Omega}.
  • Campo elettrico in superficie: E0=∣ηc∣∣H0∣=0,1405⋅0,05=7,0E_0=|\eta_c||H_0|=0{,}1405\cdot0{,}05=\mathbf{7{,}0} mV/m, con fase 30∘+45∘=75∘30^\circ+45^\circ=\mathbf{75^\circ} (il campo elettrico è in anticipo di 45∘45^\circ rispetto al magnetico): eˉ(z,t)=x^ 7,0 e−0,397zcos⁡(2π104t−0,397z+75∘)\bar e(z,t)=\hat x\,7{,}0\,e^{-0{,}397z}\cos(2\pi10^4t-0{,}397z+75^\circ) mV/m.
  • Profondità all'1%1\%: z=ln⁡100α=4,6050,397=11,6z=\dfrac{\ln100}{\alpha}=\dfrac{4{,}605}{0{,}397}=\mathbf{11{,}6} m.
  • Attenuazione a 1010 m: AdB=8,686 αz=8,686⋅0,397⋅10=34,5A_{dB}=8{,}686\,\alpha z=8{,}686\cdot0{,}397\cdot10=\mathbf{34{,}5} dB (il campo scende a e−3,97=1,9%e^{-3{,}97}=1{,}9\% del valore in superficie; la potenza a 0,035%0{,}035\%).

7. Rame a 11 GHz

δs=1π⋅109⋅4π⋅10−7⋅5,8⋅107=2,09 μm\delta_s=\dfrac1{\sqrt{\pi\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot5{,}8\cdot10^7}}=\mathbf{2{,}09\ \mu m}, Rs=1σδs=15,8⋅107⋅2,09⋅10−6=8,25 mΩR_s=\dfrac1{\sigma\delta_s}=\dfrac1{5{,}8\cdot10^7\cdot2{,}09\cdot10^{-6}}=\mathbf{8{,}25\ m\Omega}. Un foglio di 5 μ5\ \mum: il campo che lo attraversa è e−5/2,09=0,091e^{-5/2{,}09}=0{,}091 (il 9%9\%) e la potenza e−2⋅2,39=0,0084e^{-2\cdot2{,}39}=0{,}0084 (lo 0,84%0{,}84\%): in decibel sono lo stesso numero, 20log⁡100,091=10log⁡100,0084=−20,820\log_{10}0{,}091=10\log_{10}0{,}0084=-20{,}8 dB. Già pochi micron di rame schermano a 11 GHz.

Errori comuni

  • Usare ln⁡2/α\ln2/\alpha per la potenza dimezzata: la potenza cala come e−2αze^{-2\alpha z}, quindi ln⁡2/(2α)\ln2/(2\alpha).
  • Dimenticare la condizione σ≫ωε\sigma\gg\omega\varepsilon prima di usare α=πfμσ\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}.
  • Usare ω\omega al posto di ff (o viceversa) in πfμσ=ωμσ/2\sqrt{\pi f\mu\sigma}=\sqrt{\omega\mu\sigma/2}.
  • Dimenticare lo sfasamento di 45∘45^\circ fra campo elettrico e magnetico nel conduttore.

Versione ripasso

Testo (temi d'esame). Sette quesiti sui buoni conduttori: conducibilità dall'attenuazione, distanza per la potenza dimezzata, spessori per il campo a 1/10, spessore di penetrazione, acqua di mare a 10 kHz, rame a 1 GHz.

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