Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano

La seconda parte del corso studia le antennedispositivi che trasformano la corrente su un conduttore in onda che si propaga nello spazio e viceversa: dispositivi che trasformano una corrente su un conduttore in un'onda che si propaga nello spazio, e viceversa. Si parte dal caso più semplice di cui si conosce la soluzione esatta delle equazioni di Maxwell: un tratto di conduttore infinitesimo percorso da una corrente.

Il problema e il metodo

Si cercano le soluzioni delle equazioni di Maxwell in un mezzo con $\sigma=0$ in presenza di una densità di corrente impressa nota $\bar J_i$:

$$\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J_i,\qquad\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H.$$

Poiché le equazioni sono lineari vale la sovrapposizionein un sistema lineare il campo di più sorgenti è la somma dei campi di ciascuna: (1) si risolve il caso di un elemento di corrente infinitesimo, il dipolo elementare (o ideale); (2) per una distribuzione di corrente qualunque si somma (integra) il contributo di infiniti dipoli elementari (Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'ondaper una distribuzione di corrente arbitraria $I(z)$ su un filo di lunghezza $l$ il campo lontano è $E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)e^{jkz\cos\theta}dz$. In un'antenna filiforme sottile la corrente segue la legge di una linea aperta: $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}$ (nulla agli estremi, $I_0$ al centro). Dipolo corto ($l\ll\lambda$): corrente triangolare $I_0(1-\frac{2|z|}l)$, integrale $=I_0\frac l2$: è la realizzazione fisica del dipolo elementare con $I\Delta z\to I_0\frac l2$; $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2$ (piccola: rendimento basso). Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$): $I(z)=I_0\cos\beta z$, $D\simeq1{,}64$ (2,15 dB), $R_{rad}\simeq72\ \Omega$, diagramma poco diverso da quello del dipolo elementare, rendimento molto alto (circa $0{,}98$). Oltre $\lambda/2$ non si guadagna direttività: per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero, per $l>\lambda$ compaiono correnti negative e il diagramma si deforma. Un'antenna su un suolo a conducibilità infinita lunga $l/2$ irradia sopra il suolo come una di lunghezza $l$ nel mezzo uniforme.Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda →).

Il dipolo elementareelemento di corrente di lunghezza infinitesima, soluzione base per tutte le antenne filiformi ha $\bar J_i=I\,\delta(x)\delta(y)f(z)\hat z$ con $\delta$ la delta di Diracfunzione generalizzata nulla ovunque tranne in un punto, usata per descrivere una corrente concentrata e $f(z)=1$ per $|z|\le\frac{\Delta z}2$, $0$ altrove: un elemento di corrente costante $I$ ($\mathrm{A}$), spessore nullo, lunghezza $\Delta z$ molto piccola, posto nell'origine e diretto come $\hat z$.

Coordinate sferiche

Conviene lavorare in coordinate sferichesistema con distanza dall'origine e due angoli, polare e azimutale: $R$ è la distanza dall'origine, $\theta$ l'angolo (polare) fra la direzione e l'asse $z$ ($0\le\theta\le\pi$), $\varphi$ l'angolo azimutale nel piano $xy$. I versori $\hat R$ (radiale, uscente dalla sfera), $\hat\theta$ e $\hat\varphi$ (tangenti alla sfera) cambiano da punto a punto, a differenza di $\hat x,\hat y,\hat z$.

Il campo del dipolo elementare

Risolvendo le equazioni di Maxwell si ottiene, con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ e $\eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$:

$$E_\theta=\frac{\eta I\Delta z}{4\pi}\left(jk+\frac1R+\frac1{jkR^2}\right)\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}{R},\qquad E_R=\frac{\eta I\Delta z}{2\pi}\left(\frac1R+\frac1{jkR^2}\right)\cos\theta\,\frac{e^{-jkR}}{R},$$

$$H_\varphi=\frac{I\Delta z}{4\pi}\left(jk+\frac1R\right)\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}{R}.$$

È un'onda sfericaonda con fronti di fase sferici centrati sulla sorgente (il fattore $\frac{e^{-jkR}}{R}$) con campo magnetico lungo $\hat\varphi$ e campo elettrico con componenti $\hat\theta$ e $\hat R$. Ogni espressione ha tre ordini: termini $\propto\frac1R$ (campo lontano), $\propto\frac1{R^2}$ e $\propto\frac1{R^3}$ (campo vicino, che domina per $R\ll\lambda$).

Formula (campo lontano del dipolo elementare). Campo lontano ($R\gg\lambda$, cioè $kR\gg1$): sopravvivono solo i termini in $\frac1R$:

$$\boxed{E_\theta\simeq\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R,\qquad E_R\simeq0,\qquad H_\varphi\simeq\frac{E_\theta}{\eta}=\frac{jkI\Delta z}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R}$$

A grande distanza la sfera si confonde con un piano e l'onda è localmente un'onda piana uniforme: $\bar E$ e $\bar H$ sono ortogonali fra loro e alla direzione di propagazione $\hat R$, in fase, con $|E_\theta|/|H_\varphi|=\eta$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →). Il modulo del campo cala come $\frac1R$: $|\bar E|=\dfrac{K\sin\theta}{R}$ con $K=\dfrac{\eta kI\Delta z}{4\pi}$ costante. Questa è la formula usata negli esercizi.

Esempio (condizione di campo lontano). A $f=1$ GHz $\lambda=30$ cm: già a $R=50$ m si ha $R/\lambda=167\gg1$, campo lontanoregione a distanze molto maggiori della lunghezza d'onda dove l'onda è localmente piana e il campo cala come uno su R pienamente giustificato.

Potenza irradiata

La densità di potenza media è la parte reale del vettore di Poynting $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^*$ (Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana →). In campo lontano $\bar S=\frac12E_\theta H_\varphi^*\hat R$, quindi

$$S(R,\theta)=\frac12|E_\theta||H_\varphi|=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta.$$

Con $\eta\approx120\pi$ e $k=2\pi/\lambda$: $S_{max}=S_0(R)=\dfrac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\approx15\pi\dfrac{|I|^2}{R^2}\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2$ W/m² (massimo per $\theta=90^\circ$).

Formula (potenza irradiata dal dipolo elementare). La potenza complessa attraverso una sfera di raggio $R$ si calcola integrando il flusso di $\bar S$: $P_{rad}+jQ_{rad}=\oint\bar S\cdot\hat R\,dA=\frac12\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi E_\theta H_\varphi^*R^2\sin\theta\,d\theta$. Con le espressioni complete e $\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=\frac43$:

$$P_{rad}+jQ_{rad}=\frac{\pi}{3}\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}\lambda\right)^2\left[1-\frac{j}{(kR)^3}\right].$$

La parte attiva

$$\boxed{P_{rad}=\frac\pi3\,\eta\,|I|^2\left(\frac{\Delta z}\lambda\right)^2}$$

è la potenza irradiatapotenza attiva che l'antenna emette nello spazio, indipendente dalla distanza e non dipende dalla distanza $R$ (come deve essere: la potenza si conserva, si distribuisce su sfere sempre più grandi e la densità cala come $\frac1{R^2}$). La parte reattiva decresce come $\frac1{(kR)^3}$: è importante nel campo vicinoregione a distanze molto minori della lunghezza d'onda dove dominano i termini reattivi ($R\ll\lambda$) e trascurabile in campo lontano ($R\gg\lambda$).

Esempio. Dipolo con $\Delta z=1$ mm, $|I|=100$ mA, $f=1$ GHz ($\lambda=0{,}3$ m, $\Delta z/\lambda=\frac1{300}$): $P_{rad}=\dfrac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot\left(\dfrac1{300}\right)^2=4{,}4\cdot10^{-5}$ W $=43{,}8\ \mu$W. A $R=100$ m il campo massimo è $|E_\theta|=\dfrac{\eta kI\Delta z}{4\pi R}=\dfrac{376{,}7\cdot20{,}94\cdot0{,}1\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot100}=0{,}63$ mV/m. La corrispondente resistenza di radiazioneresistenza fittizia in cui la corrente dissiperebbe la potenza irradiata (resistenza fittizia $R_{rad}$ tale che $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$) è $\dfrac{2\pi}3\eta\left(\dfrac{\Delta z}{\lambda}\right)^2=0{,}0088\ \Omega$: molto piccola perché $\Delta z/\lambda\ll1$ (Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →).

Dipendenza angolare

Il campo irradiato dipende da $\sin\theta$: è massimo nel piano perpendicolare al dipolo ($\theta=90^\circ$) e nullo lungo l'asse ($\theta=0^\circ,180^\circ$). Non dipende da $\varphi$: il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni del piano $xy$ (antenna omnidirezionale su un piano).

Come si usa negli esercizi: rapporto fra due punti

Formula (rapporto fra i campi in due punti in campo lontano). In campo lontano $|\bar E|=\dfrac{K\sin\theta}R$ con $K$ costante: per due punti $Q_1$ e $Q_2$

$$\frac{|\bar E(Q_2)|}{|\bar E(Q_1)|}=\frac{R_1}{R_2}\cdot\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1},$$

con $\theta$ l'angolo fra il punto e l'asse del dipolo. Se due punti stanno nel piano perpendicolare al dipolo, entrambi hanno $\sin\theta=1$ e il rapporto dipende solo dalle distanze.

Esempio 1 (tema d'esame). Dipolo elementare lungo $\hat x$, $f=1$ GHz, $|\bar E(Q_1)|=0{,}8$ V/m in $Q_1=(0,50,0)$ m. Quanto vale il campo in $Q_2=(0,100,100)$ m? Entrambi i punti hanno $x=0$: stanno nel piano $yz$, perpendicolare all'asse del dipoloretta lungo cui scorre la corrente del dipolo, rispetto alla quale si misura theta: $\sin\theta=1$ in entrambi. $R_1=50$ m, $R_2=\sqrt{100^2+100^2}=141{,}4$ m: $|\bar E(Q_2)|=0{,}8\cdot\dfrac{50}{141{,}4}=0{,}283$ V/m. (Con $R\gg\lambda=0{,}3$ m il campo lontano vale.)

Esempio 2 (tema d'esame). Dipolo lungo $\hat z$, $f=1$ GHz, $|\bar E(Q_1)|=1{,}4$ V/m in $Q_1=(0,50,0)$ m. In $Q_2=\left(\frac{50}{\sqrt2},-\frac{50}{\sqrt2},0\right)$: $z=0$, quindi $\theta=90^\circ$ (stesso piano perpendicolare al dipolo) e $R_2=\sqrt{\frac{2500}2+\frac{2500}2}=50$ m $=R_1$: $|\bar E(Q_2)|=1{,}4$ V/m.

Esempio 3 (tema d'esame). Dipolo lungo $\hat y$, $|\bar E(Q_1)|=0{,}12$ V/m in $Q_1=(0,0,100)$ m; $Q_2=\left(\frac{50}{\sqrt2},0,-\frac{50}{\sqrt2}\right)$ m. Entrambi i punti hanno $y=0$ (piano $xz$, perpendicolare all'asse $y$): $\sin\theta=1$; $R_2=50$ m: $|\bar E(Q_2)|=0{,}12\cdot\frac{100}{50}=0{,}24$ V/m.

Esempio 4 (angolo diverso da $90^\circ$). Dipolo lungo $\hat x$, $|\bar E|=2$ V/m in $Q_1=(0,500,0)$ m; in $Q_2=(250,0,250)$ m: $R_2=\sqrt{250^2+250^2}=353{,}6$ m e $\cos\theta_2=\frac{x}{R}=0{,}7071$, $\theta_2=45^\circ$, $\sin\theta_2=0{,}7071$: $|\bar E(Q_2)|=2\cdot\dfrac{500}{353{,}6}\cdot0{,}7071=2{,}0$ V/m (la perdita per distanza è compensata dal diagramma).

Esempio 5. Dipolo lungo $\hat z$ con $|\bar E|=1$ mV/m in $Q_1=(0,1000,0)$ m: in $Q_2=(0,0,250)$ m il punto è sull'asse $z$ ($\theta=0$): campo nullo.

Errori comuni

• Misurare $\theta$ dall'asse sbagliato: $\theta$ è l'angolo rispetto all'asse del dipolo, non rispetto a $z$.
• Dimenticare di verificare se i due punti stanno nello stesso piano perpendicolare al dipolo (allora $\sin\theta$ si semplifica).
• Usare $\frac1{R^2}$ per il campo: il campo cala come $\frac1R$, la densità di potenza come $\frac1{R^2}$.
• Usare le formule di campo lontano a distanze confrontabili con $\lambda$ (campo vicino).