Carta di Smith - costruzione e uso

Calcolare a mano $z(-l)=\dfrac{z_L+j\tan\beta l}{1+jz_L\tan\beta l}$ è scomodo, e sul piano delle impedenze non si riesce a prevedere la traiettoria che le impedenze descrivono lungo la linea. Sul piano del coefficiente di riflessione tutto è molto più semplice: lungo una linea senza perdite $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ ha modulo costante e cambia solo la fase, quindi si muove su una circonferenza (Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →). La carta di Smith disegna sul piano $\Gamma$ anche i valori di impedenza, in modo da passare a colpo d'occhio dall'uno all'altro.

Da dove viene la carta

Formula (parti reale e immaginaria dell'impedenza normalizzata in funzione di Γ). Si scrive $\Gamma=u+jv$ e $z=r+jx=\dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=\dfrac{1+u+jv}{1-u-jv}$. Razionalizzandomoltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore (moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato $1-u+jv$) si ottengono le parti reale e immaginaria:

$$r=\frac{1-u^2-v^2}{(1-u)^2+v^2},\qquad x=\frac{2v}{(1-u)^2+v^2}.$$

Esempio. Con $\Gamma = 0{,}4 - j0{,}2$ ($u = 0{,}4$, $v = -0{,}2$): $r = \frac{1 - 0{,}16 - 0{,}04}{0{,}36 + 0{,}04} = 2$ e $x = \frac{2 \cdot (-0{,}2)}{0{,}4} = -1$, cioè $z = 2 - j$.

Proprietà (circonferenze a r costante e a x costante nel piano di Γ). La trasformazione $z\mapsto\Gamma$ è bilinearedella forma (az+b)/(cz+d): trasforma circonferenze in circonferenze: trasforma circonferenze e rette (circonferenze di raggio infinito) in circonferenze. Fissando $r$ nella prima relazione si ha $r\left[(1-u)^2+v^2\right]=1-u^2-v^2$; sviluppando e raccogliendo $u^2$ e $v^2$ (con $1+r$ come coefficiente) e completando il quadratoriscrivere un polinomio di secondo grado come un quadrato più una costante si trova

$$\left(u-\frac r{1+r}\right)^2+v^2=\left(\frac1{1+r}\right)^2:$$

una circonferenza di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$. Per $r=0$ è la circonferenza unitaria $|\Gamma|=1$, per $r\to\infty$ si riduce al punto $\Gamma=1$; tutte le circonferenze $r=$ costante passano per $\Gamma=1$. Analogamente dalla seconda ($x\left[(1-u)^2+v^2\right]=2v$, diviso per $x$ e completando il quadrato in $v$):

$$(u-1)^2+\left(v-\frac1x\right)^2=\left(\frac1x\right)^2:$$

circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$, di cui interessa solo l'arco dentro $|\Gamma|\le1$ (un carico passivo ha $r\ge0$). Nella carta si disegnano le due famiglie:

Esempio. Per $r = 1$ la circonferenza ha centro $(1/2, 0)$ e raggio $1/2$; per $x = 1$ ha centro $(1, 1)$ e raggio $1$.

Nella figura le circonferenze con il centro sull'asse reale sono quelle a $r=0{,}2;\,0{,}5;\,1;\,2;\,5$ (da fuori verso il punto di destra); gli archi sopra l'asse (colore diverso) sono $x=0{,}5;\,1;\,2$ (reattanza positiva, induttiva), quelli sotto sono $x=-0{,}5;\,-1;\,-2$ (reattanza negativa, capacitiva).

Come si legge la carta

• Centro ($z=1$, $\Gamma=0$): carico adattato.
• Asse reale: carichi resistivi. Sul semiasse destro $z=r>1$ (massimi di tensionepunti dove il modulo della tensione lungo la linea è massimo), su quello sinistro $z=r<1$ (minimi di tensione). L'estremo sinistro è il corto circuito ($z=0$, $\Gamma=-1$), l'estremo destro il circuito aperto ($z=\infty$, $\Gamma=+1$).
• Bordo $|\Gamma|=1$ ($r=0$): carichi puramente reattivi.
• Semicerchio superiore: $x>0$ (carichi induttivicarichi con reattanza positiva, che si comportano come induttori); inferiore: $x<0$ (capacitivicarichi con reattanza negativa, che si comportano come condensatori).
• Modulo di $\Gamma$: la distanza dal centro, misurata sulla scala "coefficiente di riflessionerapporto fra onda riflessa e onda incidente, numero complesso di modulo al più 1 per un carico passivo" (raggio del bordo $=1$). Fase di $\Gamma$: l'angolo letto sulla ghierascala circolare graduata disegnata sul bordo della carta in gradi (positivo in senso antiorario).
• Rapporto d'onda stazionaria: la circonferenza con centro l'origine passante per $z$ interseca il semiasse reale destro in un punto che ha $r=S$.
• Spostamenti lungo la linea: la ghiera esterna è graduata in lunghezze d'ondaunità di misura delle distanze lungo la linea, pari a una frazione della lunghezza d'onda. Una scala indica gli spostamenti verso il generatore (rotazione oraria), un'altra gli spostamenti verso il carico (antioraria). Una rotazione completa vale $\lambda/2$ (perché $\Gamma$ ha periodo $\lambda/2$): un angolo $2\beta l=4\pi l/\lambda$ corrisponde a una distanza $l/\lambda$.
• Ammettenza: poiché $y=\dfrac{1-\Gamma}{1+\Gamma}$ è il valore di $z$ calcolato in $-\Gamma$, l'ammettenza normalizzata di un punto è il punto diametralmente opposto (rotazione di $180^\circ$, cioè uno spostamento di $\lambda/4$). La stessa carta, con una rotazione di $180^\circ$, serve quindi come carta delle ammettenze: le circonferenze $r=$ costante diventano $g=$ costante (conduttanzaparte reale dell'ammettenza, inverso della resistenza per un carico puramente resistivo) e gli archi $x$ diventano archi di suscettanzaparte immaginaria dell'ammettenza.

Procedura tipica

Proprietà (procedura di lettura sulla carta di Smith).

1. Normalizzare: $z_L=Z_L/Z_0$ e disegnare il punto $A$.
2. Tracciare la circonferenza a $|\Gamma|$ costante passante per $A$ (compassostrumento per tracciare circonferenze con centro e raggio assegnati con centro nell'origine).
3. Leggere $|\Gamma_L|$, $\varphi_L$, $S$.
4. Per spostarsi di $l$ verso il generatore, ruotare in senso orario di $l/\lambda$ sulla scala: il punto di arrivo dà $z(-l)$. Il primo massimo di tensione a partire dal carico è dove la rotazione oraria raggiunge il semiasse reale positivo; il primo minimo dove raggiunge il negativo; la distanza si legge come differenza delle letture sulla scala (in $\lambda$).
5. Per passare ad ammettenza, ruotare di $180^\circ$.

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z_L = 100 - j50\ \Omega$: $z_L = 2 - j$, $|\Gamma_L| = 0{,}447$, $\varphi_L = -26{,}6^\circ$ e $S = 2{,}62$.

Esempi

Esempio 1: spostamento lungo la linea. $Z_L=100-j50\ \Omega$ su una linea da $50\ \Omega$ a $f=600$ MHz ($\lambda=500$ mm). È $z_L=2-j1$ (punto $A$) e $\Gamma_L=\dfrac{1-j}{3-j}=0{,}4-j0{,}2=0{,}447\,e^{-j26{,}6^\circ}$, quindi $S=\dfrac{1+0{,}447}{1-0{,}447}=2{,}62$. A $50$ mm dal carico, cioè $0{,}1\lambda$, la rotazione oraria è di $2\beta l=4\pi\cdot0{,}1=72^\circ$: la fase di $\Gamma$ diventa $-26{,}6^\circ-72^\circ=-98{,}6^\circ$ (punto $B$) e $z=0{,}60-j0{,}66$, cioè $Z=30{,}0-j33{,}2\ \Omega$. Il primo massimo di tensione è a $\dfrac{\varphi_L}{4\pi}\lambda$ aggiungendo $\lambda/2$ fino a rendere positivo: $\dfrac{-26{,}6^\circ+360^\circ}{720^\circ}=0{,}463\lambda=231$ mm.

La figura mostra il punto $A$ ($z=2-j1$, all'incrocio di $r=2$ e $x=-1$), la circonferenza tratteggiata a $|\Gamma|=0{,}447$, l'arco orario di $72^\circ$ fino a $B$ e l'intersezione con l'asse reale che dà $S=2{,}62$.

Esempio 2: lettura diretta. Se $z_L=0{,}5+j1$: $|\Gamma_L|=\dfrac{|-0{,}5+j|}{|1{,}5+j|}=\dfrac{1{,}118}{1{,}803}=0{,}620$, $\varphi_L=116{,}6^\circ-33{,}7^\circ=82{,}9^\circ$, $S=\dfrac{1+0{,}62}{1-0{,}62}=4{,}27$. Il primo massimo di tensione è a $\dfrac{82{,}9^\circ}{720^\circ}=0{,}115\lambda$ dal carico e il primo minimo $\lambda/4$ dopo, a $0{,}365\lambda$. A $0{,}3\lambda$ dal carico si trova $z=0{,}28-j0{,}41$ e la corrispondente ammettenza (punto opposto) è $y=1{,}15+j1{,}69$.

Esempio 3: dai massimi e minimi al carico. Una linea da $50\ \Omega$ ha $|V|_{max}=9$ V, $|V|_{min}=3$ V, primo minimo a $50$ mm dal carico e minimi adiacenti a $200$ mm. Allora $\lambda/2=200$ mm, $\lambda=400$ mm; $S=\dfrac93=3$, $|\Gamma_L|=\dfrac{3-1}{3+1}=0{,}5$. Il minimo è a $50\text{ mm}=0{,}125\lambda$: partendo dal punto del minimo ($z=1/S=0{,}33$ sull'asse reale sinistro) si ruota verso il carico (antiorario) di $0{,}125\lambda$, cioè di $90^\circ$, e si trova $z_L=0{,}6-j0{,}8$, $Z_L=30-j40\ \Omega$ (verifica: $\Gamma_L=-j0{,}5$, fase $-90^\circ=270^\circ$ perché $\varphi_L=\pi+4\pi\cdot0{,}125=\frac{3\pi}2$).

Precisione e uso con il calcolatore

Sulla carta si leggono circa due cifre significative: le risposte numeriche degli esercizi (che hanno opzioni ben distanziate) hanno proprio questa precisione. Quando si possono usare le formule del calcolatore ($\Gamma=(z-1)/(z+1)$, $z(-l)$ con la tangente) si ottengono valori più precisi: gli stessi esercizi di questi appunti riportano i valori esatti e, quando differiscono, i valori letti dalla carta nelle soluzioni del corso.

Errori comuni

• Ruotare nel verso sbagliato: verso il generatore = orario, verso il carico = antiorario.
• Leggere la distanza in gradi: la scala esterna è in lunghezze d'onda (0 a 0,5), mezza lunghezza d'onda corrisponde a un giro completo ($360^\circ$ di $\Gamma$).
• Passare all'ammettenza senza ruotare di $180^\circ$, o leggere la conduttanza come resistenza.
• Normalizzare con l'impedenza sbagliata: il punto deve usare $z_L=Z_L/Z_0$ della linea in cui si guarda, non di un'altra (per esempio dentro un adattatore a quarto d'onda l'impedenza caratteristica è $Z_{01}$).