Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori

** è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). **Buon conduttore** ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. **Buon isolante** ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la **potenza** come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$. -->

Fino a qui il mezzo era perfetto: un dielettrico senza perdite. Un mezzo reale contiene carica libera (conducibilitàgrandezza che misura quanto un materiale conduce la corrente elettrica, in siemens al metro $\sigma$) e dissipa potenza. L'onda piana che lo attraversa si attenua. Lo studio riguarda i conduttori (rame, acqua di maremezzo con conducibilità di alcuni siemens al metro, buon conduttore alle basse frequenze) e serve a capire perché i cavi coassiali hanno perdite, come funzionano le guide metalliche e le antenne, e cosa accade all'interfaccia dielettrico-conduttore (Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →).

Costante di propagazione complessa

Definizione (costante di propagazione complessa). Con corrente di conduzione $\bar J=\sigma\bar E$ la seconda equazione di Maxwell è $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\sigma\bar E=j\omega\varepsilon_c\bar E$, con $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\varepsilon''-j\dfrac\sigma\omega$ (Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz →). L'equazione di Helmholtz diventa $\nabla^2\bar E-\gamma^2\bar E=0$ con

$$\gamma=\alpha+j\beta,\qquad\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c.$$

Esempio. In acqua di mare a $1\ \mathrm{kHz}$ si ha $\alpha = \beta = 0{,}126$, cioè $\gamma = 0{,}126\,(1 + j)\ \mathrm m^{-1}$.

Definizione (costante di attenuazione e spessore di penetrazione). Il fasore dell'onda verso $+z$ è $E_0e^{-\gamma z}=E_0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$ e nel dominio del tempo $e(z,t)=|E_0|e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$: un'onda che viaggia con velocità di fase $v_f=\dfrac\omega\beta$, lunghezza d'onda $\lambda=\dfrac{2\pi}\beta$ e ampiezza che decresce esponenzialmente. La parte reale $\alpha$ (Np/m) è la costante di attenuazioneparte reale della costante di propagazione, misurata in neper al metro, la parte immaginaria $\beta$ (rad/m) la costante di fase. Lo spessore di penetrazione (skin depthnome inglese dello spessore di penetrazione) è

$$\delta_s=\frac1\alpha\ (\text{m}):$$

Esempio. Con $\alpha = 4443\ \mathrm{Np/m}$: $\delta_s = 1/\alpha \approx 225\ \mu\mathrm m$; a $z = \delta_s$ il campo vale il $37\%$ di quello in $z = 0$.

la distanza alla quale il modulo del campo si riduce a $1/e\approx37\%$.

Con $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{re}=\varepsilon'$, $\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\sigma/\omega$), $(\alpha+j\beta)^2=-\omega^2\mu\varepsilon_{re}+j\omega^2\mu\varepsilon_{im}$ dà $\alpha^2-\beta^2=-\omega^2\mu\varepsilon_{re}$ e $2\alpha\beta=\omega^2\mu\varepsilon_{im}$, da cui

$$\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon_{re}}2}\sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon_{im}}{\varepsilon_{re}}\right)^2}-1},\qquad\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon_{re}}2}\sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\varepsilon_{im}}{\varepsilon_{re}}\right)^2}+1}.$$

Tutte le formule dell'onda piana senza perdite (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →) restano valide sostituendo $\varepsilon$ con $\varepsilon_c$: $\bar H=\dfrac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$ con $\eta_c=\sqrt{\dfrac\mu{\varepsilon_c}}$, impedenza complessa: la parte immaginaria fa sì che $\bar E$ e $\bar H$ non siano più in fase.

Buon isolante e buon conduttore

Buon isolante (basse perdite), $\sigma\ll\omega\varepsilon'$: sviluppando $\sqrt{1+x^2}\approx1+x^2/2$: $\alpha\approx\dfrac\sigma2\sqrt{\dfrac\mu{\varepsilon'}}$ e $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$ (l'onda è quasi quella senza perdite, con una lenta attenuazione). Esempio: polietilene ($\varepsilon_r=2{,}25$, $\tan\delta=10^{-4}$) a $1$ GHz: $\sigma=\omega\varepsilon\tan\delta=1{,}25\cdot10^{-5}$ S/m, $\alpha=\dfrac{\sigma}2\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon}}=1{,}57\cdot10^{-3}$ Np/m, cioè $0{,}0137$ dB/m.

Formula (buon conduttore: costante di attenuazione e spessore di penetrazione). Buon conduttore, $\sigma\gg\omega\varepsilon'$: $\varepsilon_c\approx-j\dfrac\sigma\omega$ e $\gamma^2=j\omega\mu\sigma$, cioè $\gamma=\sqrt{j\omega\mu\sigma}=(1+j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu\sigma}2}$ (perché $\sqrt j=\frac{1+j}{\sqrt2}$). Quindi

$$\boxed{\alpha=\beta=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}2}=\sqrt{\pi f\mu\sigma},\qquad\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}}$$

Esempio. Rame ($\sigma = 5{,}8 \cdot 10^{7}\ \mathrm{S/m}$) a $1\ \mathrm{GHz}$: $\alpha = \beta = \sqrt{\pi \cdot 10^{9} \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5{,}8 \cdot 10^{7}} \approx 4{,}8 \cdot 10^{5}\ \mathrm{Np/m}$ e $\delta_s \approx 2{,}09\ \mu\mathrm m$.

Definizione (impedenza di parete e resistenza superficiale). L'impedenza del mezzo conduttore (impedenza di pareteimpedenza intrinseca complessa di un buon conduttore) è $\eta_c=\sqrt{\dfrac\mu{\varepsilon_c}}\approx\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}\sigma}=(1+j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2\sigma}}=\dfrac{1+j}{\sigma\delta_s}$, e si definisce la resistenza superficialeparte reale dell'impedenza di parete, che misura le perdite di una parete conduttrice

$$R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}},\qquad\eta_c=R_s(1+j)=\sqrt2R_s\,e^{j\pi/4}.$$

Esempio. Rame a $1\ \mathrm{GHz}$: $R_s = \frac{1}{\sigma\delta_s} = \frac{1}{5{,}8 \cdot 10^{7} \cdot 2{,}09 \cdot 10^{-6}} \approx 8{,}3\ \mathrm{m\Omega}$.

Il campo magnetico è sfasato di $45^\circ$ rispetto all'elettrico (è in ritardo) e $R_s$ quantifica le perdite di una linea con pareti conduttrici (guide d'ondatubi metallici che guidano le onde ad alta frequenza, cavi). Condizione di validità: $\sigma\gg\omega\varepsilon'$, cioè $f\ll\dfrac\sigma{2\pi\varepsilon_0}$: per il rame ($\sigma\approx10^7$ S/m) $f\ll2\cdot10^{17}$ Hz (vale fino alle frequenze ottiche).

Rame ($\sigma=5{,}8\cdot10^7$ S/m): la profondità di penetrazione cala come $\frac1{\sqrt f}$:

Attenuazione di campo e di potenza

Il modulo del campo cala come $e^{-\alpha z}=e^{-z/\delta_s}$ e la densità di potenza (proporzionale al quadrato del campo) come $e^{-2\alpha z}$.

• Il campo diventa $\frac1{10}$ a $z=\delta_s\ln10=2{,}30\,\delta_s$ (se $\delta_s=5\ \mu$m: $11{,}5\ \mu$m).
• La potenza si dimezza a $z=\dfrac{\ln2}{2\alpha}=0{,}347\,\delta_s$.

Esempi svolti

Esempio 1: acqua di mare. $\sigma=4$ S/m, $\varepsilon_r=80$, $f=1$ kHz. Poiché $\sigma\gg\omega\varepsilon=2\pi\cdot10^3\cdot80\cdot8{,}854\cdot10^{-12}=4{,}4\cdot10^{-6}$ S/m, l'acqua di mare a basse frequenze è un buon conduttoremezzo in cui la corrente di conduzione è molto maggiore di quella di spostamento. $\alpha=\beta=\sqrt{\pi\cdot10^3\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot4}=0{,}126$ Np/m, $\delta_s=\dfrac1\alpha=7{,}96$ m, $\eta_c=\dfrac{1+j}{\sigma\delta_s}=0{,}0314(1+j)=0{,}0444\,e^{j\pi/4}\ \Omega$. Con $\bar h(0,t)=\hat y\,100\cos(2\pi10^3t+15^\circ)$ mA/m a $z=0$ (superficie): $|E_0|=\eta_c|H_0|=0{,}0444\cdot0{,}1=4{,}44$ mV/m e fase $\varphi_0=15^\circ+45^\circ=60^\circ$ (il campo elettrico è in anticipo di $45^\circ$). Il campo elettrico scende all'$1\%$ a $z=\dfrac{\ln100}{0{,}126}=36{,}6$ m.

Esempio 2: comunicare in acqua di mare. Con $\sigma=5$ S/m il mezzo è un buon conduttore fino a $f\ll\dfrac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\approx90$ GHz. L'attenuazione $\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$ vale $8{,}9$ Np/m ($77$ dB/m) a $4$ MHz, $0{,}089$ Np/m ($0{,}77$ dB/m) a $400$ Hz e $0{,}04$ Np/m ($0{,}35$ dB/m) a $81$ Hz. Per questo le comunicazioni con i sommergibilinavi che viaggiano sott'acqua e comunicano con frequenze molto basse usano le frequenze ELF (extremely low frequency), a scapito della velocità di trasmissione (bit rate). Alle frequenze ottiche ($10^{14}$ Hz) l'acqua si comporta da dielettrico ($\sigma\ll\omega\varepsilon$) con perdite per altri fenomeni: si usa luce blu-verde (laser).

Esempio 3: conducibilità dall'attenuazione (tema d'esame). Un'onda a $f=3$ GHz in un mezzo non magnetico, buon conduttore, vede il modulo del campo scendere da $1$ a $0{,}1$ V/m in $0{,}2$ mm. $e^{-\alpha d}=0{,}1\Rightarrow\alpha=\dfrac{\ln10}{0{,}2\cdot10^{-3}}=11\,513$ Np/m, e da $\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$: $\sigma=\dfrac{\alpha^2}{\pi f\mu_0}=\dfrac{1{,}3256\cdot10^8}{\pi\cdot3\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}}=1{,}12\cdot10^4$ S/m.

Esempio 4: potenza dimezzata (tema d'esame). Mezzo con $\sigma=10^7$ S/m a $f=400$ MHz: $\alpha=\sqrt{\pi\cdot4\cdot10^8\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^7}=1{,}257\cdot10^5$ Np/m ($\delta_s=7{,}96\ \mu$m). La densità media di potenza si dimezza a $d=\dfrac{\ln2}{2\alpha}=\dfrac{0{,}693}{2{,}513\cdot10^5}=2{,}76\ \mu$m.

Esempio 5: spessore per ridurre il campo. Mezzo con $\sigma=10^3$ S/m a $f=5$ GHz ($\sigma\gg\omega\varepsilon_0=0{,}28$ S/m): $\alpha=\sqrt{\pi\cdot5\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^3}=4443$ Np/m. Perché il campo passi da $1$ a $0{,}1$ V/m: $d=\dfrac{\ln10}{\alpha}=518\ \mu$m.

Errori comuni

• Dimenticare che la potenza decresce come $e^{-2\alpha z}$ (il campo come $e^{-\alpha z}$): per "potenza dimezzatadistanza alla quale la densità di potenza si riduce alla metà" si usa $\frac{\ln2}{2\alpha}$, non $\frac{\ln2}\alpha$.
• Usare $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$ senza verificare $\sigma\gg\omega\varepsilon$.
• Confondere $\delta_s$ (campo a $1/e$) con la distanza a cui la potenza vale $1/e$ ($\delta_s/2$).
• Scrivere $\omega$ al posto di $f$ (o viceversa) nella formula $\sqrt{\pi f\mu\sigma}$ (con $\omega$ è $\sqrt{\omega\mu\sigma/2}$).