Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi

Il regime sinusoidale descrive lo stato a regime di una linea pilotata da un segnale a una sola frequenza. In molti casi pratici (impulsi digitali, interruttori, un impulsosegnale che sale e poi ritorna a zero dopo un tempo finito di prova) il segnale cambia nel tempo e interessa il transitoriofase in cui le grandezze passano da uno stato iniziale a quello finale: come si propaga un gradinosegnale che passa bruscamente da zero a un valore costante o un impulso, cosa succede quando arriva su un carico non adattato. Lo si descrive nel dominio del tempo ("regime istantaneostudio della linea nel dominio del tempo, per segnali che cambiano, come gradini e impulsi").

Le onde di tensione e di corrente nel tempo

Per una linea senza perdite si prendono le equazioni del telegrafo con $R=G=0$ (Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazioneuna linea di trasmissionecoppia di conduttori che guida un segnale elettrico come un'onda è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri per unità di lunghezza: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le equazioni del telegrafo; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$.Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione →):

$$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t},\qquad\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}.$$

Derivando la prima rispetto a $z$ e sostituendo la seconda si ottiene l'equazione d'ondaequazione le cui soluzioni sono funzioni di t meno z diviso c e t più z diviso c

$$\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=-L\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial i}{\partial z}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2},$$

e lo stesso per $i$. Le soluzioni sono

$$v(z,t)=F_1\!\left(t-\frac zc\right)+F_2\!\left(t+\frac zc\right),\qquad i(z,t)=G_1\!\left(t-\frac zc\right)+G_2\!\left(t+\frac zc\right),\qquad c=\frac1{\sqrt{LC}},$$

dove $F_1,G_1$ sono onde che viaggiano nel verso $+z$ (dal generatore al carico) e $F_2,G_2$ nel verso $-z$, con la stessa forma (la forma d'onda non cambia mentre si propaga, la velocità non dipende dalla frequenza) e velocità $c$ (pari alla velocità di fase di una linea ideale). Le funzioni $F$ e $G$ non sono indipendenti: sostituendole nelle equazioni del primo ordine, per le onde dirette si trova $G_1=\dfrac{F_1}{\sqrt{L/C}}$, per quelle riflesse $G_2=-\dfrac{F_2}{\sqrt{L/C}}$ (le costanti additive non portano informazione). Con $Z_0=\sqrt{L/C}$:

$$v=V^++V^-,\qquad i=\frac{V^+-V^-}{Z_0},\qquad V^+=F_1\!\left(t-\tfrac zc\right),\ V^-=F_2\!\left(t+\tfrac zc\right).$$

È la stessa struttura del regime sinusoidale, ma ora $V^+$ e $V^-$ sono funzioni del tempo qualsiasi. Non c'è onda di ritorno in due soli casi: linea infinitamente lunga e carico adattato.

Un gradino lungo la linea

Formula (ampiezza del gradino che parte dal generatore). All'istante $t=0$ si collega alla linea un generatore con tensione a vuoto $V_0$ e impedenza interna $Z_g$ (resistenza $R_G$). La linea è inizialmente a riposo: il generatore "vede" soltanto $Z_0$ (l'impedenza dell'onda che parte) e la tensione ai morsetti è il partitorecircuito di due resistenze in serie che divide la tensione in proporzione ai loro valori fra $Z_g$ e $Z_0$:

$$V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0},\qquad I^+=\frac{V^+}{Z_0}=\frac{V_0}{Z_g+Z_0}.$$

Esempio. Con $V_0 = 12\ \mathrm V$, $Z_g = 25\ \Omega$ e $Z_0 = 50\ \Omega$: $V^+ = 12 \cdot \frac{50}{75} = 8\ \mathrm V$ e $I^+ = 8/50 = 160\ \mathrm{mA}$.

Se $Z_g=Z_0$ (generatore adattatogeneratore con impedenza interna uguale a quella caratteristica della linea): $V^+=\dfrac{V_0}2$ e non ci saranno riflessioni multiplerimbalzi successivi del segnale fra carico e generatore, quando entrambi sono disadattati. Un fronte viaggia con velocità $c$ verso il carico, che raggiunge dopo il tempo di propagazionetempo che l'onda impiega a percorrere la linea, lunghezza divisa per velocità $T=\dfrac Lc$. Un osservatore a distanza $L_1$ dal generatore lo vede passare all'istante $T_1=\dfrac{L_1}c$.

Formula (riflessione di un gradino su un carico resistivo). Riflessione sul carico resistivo. All'arrivo, il carico impone $v_L=R_Li_L$: la tensione e la corrente totali sul carico sono $V^++V^-$ e $\frac{V^+-V^-}{Z_0}$, quindi si genera una riflessa $V^-=\Gamma_LV^+$ con

$$\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}\qquad(\text{reale: la riflessa ha la stessa forma, un gradino}).$$

La tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$ e la corrente $I^+(1-\Gamma_L)$. L'onda riflessa torna indietro e a distanza $L_1$ dal generatore passa all'istante $2T-T_1$ (arriva al carico a $T$, percorre ancora $L-L_1$: $T+\frac{L-L_1}{c}=2T-T_1$).

Esempio. Con $V^+ = 8\ \mathrm V$, $Z_0 = 50\ \Omega$ e $R_L = 100\ \Omega$: $\Gamma_L = 1/3$, la riflessa è $V^- = 2{,}67\ \mathrm V$ e la tensione sul carico $8 \cdot \frac43 = 10{,}67\ \mathrm V$.

Casi limite.

• Corto circuito ($\Gamma_L=-1$): sul carico $v=0$, $i=2I^+$. In $L_1$ la tensione vale $V^+$ da $T_1$ a $2T-T_1$ e poi torna a $0$: un impulso rettangolare di durata $2(T-T_1)$ (così si realizza un generatore di impulsi a singolo impulso). La corrente raddoppia.
• Circuito aperto ($\Gamma_L=+1$): sul carico $v=2V^+$, $i=0$. In $L_1$ la tensione sale a $V^+$ e dopo $2T-T_1$ a $2V^+$; la corrente scende da $I^+$ a $0$.

Riflessioni multiple: generatore non adattato

Se anche il generatore non è adattato ($\Gamma_G=\dfrac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$), la riflessa che torna in $z=0$ al tempo $2T$ viene riflessa a sua volta con coefficiente $\Gamma_G$ e riparte verso il carico, e così via: il segnale rimbalza avanti e indietro. Si ordinano i fronti con un diagramma a rimbalzigrafico spazio-tempo che segue ogni fronte mentre rimbalza fra generatore e carico (diagramma di Lattice): a ogni passaggio l'ampiezza è moltiplicata per $\Gamma_L$ (al carico) o $\Gamma_G$ (al generatore). Indicando con $V_n^+$ l'$n$-esima onda diretta ($V_1^+=V^+$) e $V_n^-$ l'$n$-esima riflessa:

$$V_{n+1}^+=\Gamma_G\,V_n^-,\qquad V_n^-=\Gamma_L\,V_n^+\ \Rightarrow\ V_n^+=V^+\left(\Gamma_L\Gamma_G\right)^{n-1}.$$

Formula (tensione sul carico con riflessioni multiple e valore a regime). Tensione sul carico. I fronti arrivano a $T,3T,5T,\dots$ e a ogni arrivo la tensione è aumentata di $V_n^+(1+\Gamma_L)$:

$$v_L(\infty)=V^+(1+\Gamma_L)\left[1+\Gamma_L\Gamma_G+\left(\Gamma_L\Gamma_G\right)^2+\dots\right]=\frac{V^+(1+\Gamma_L)}{1-\Gamma_L\Gamma_G}.$$

Sostituendo $V^+=V_0\frac{Z_0}{R_G+Z_0}$, $1+\Gamma_L=\frac{2R_L}{R_L+Z_0}$ e $1-\Gamma_L\Gamma_G=\frac{2Z_0(R_L+R_G)}{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)}$ si trova

$$\boxed{v_L(\infty)=V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}}:$$

la serie converge al valore del partitore resistivo (a regime la linea è un semplice filo e il circuito è il partitore fra $R_G$ e $R_L$). Analogamente $i(\infty)=\dfrac{V_0}{R_G+R_L}$.

Tensione al generatore. A $t=0$ vale $V^+$; a $2T$ (arriva la prima riflessa e subito dopo parte la riflessa dal generatore) $V^+\left(1+\Gamma_L+\Gamma_L\Gamma_G\right)$; a $4T$ si aggiunge $V^+\left(\Gamma_L^2\Gamma_G+\Gamma_L^2\Gamma_G^2\right)$, e così via.

Esempio. $V_0=12$ V, $R_G=25\ \Omega$, $R_L=100\ \Omega$, $Z_0=50\ \Omega$: $V^+=12\cdot\dfrac{50}{75}=8$ V, $\Gamma_L=+\dfrac13$, $\Gamma_G=-\dfrac13$, $\Gamma_L\Gamma_G=-\dfrac19$.

Il limite $V_0\dfrac{R_L}{R_G+R_L}=12\cdot\dfrac{100}{125}=9{,}6$ V è raggiunto con oscillazioni smorzate (fattore $-\frac19$ a ogni giro di $2T$). Per la corrente al generatore: $160$ mA, poi $88{,}9$ mA a $2T$, $96{,}8$ mA a $4T$, e $V_0/(R_G+R_L)=96$ mA a regime.

Come leggere l'esercizio tipico

Dalla forma d'onda misurata in un punto si ricostruiscono i parametri (è il formato dei temi d'esame; i dettagli sui carichi con elementi reattivi sono in Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →):

Proprietà (ricostruzione dei dati della linea dalla forma d'onda in regime istantaneo).

1. Tempi → lunghezze. Il frontepunto in cui il segnale cambia valore e che si sposta lungo la linea diretto arriva in $L_1$ al tempo $T_1$, quello riflesso in $2T-T_1$: da questi due tempi e dalla velocità $c$ si ricavano $L_1=cT_1$ e $L=cT$.
2. Ampiezze → generatore. Se dopo la prima riflessione la tensione non ha più riflessioni multiple, il generatore è adattato ($Z_g=Z_0$) e la prima ampiezza è $V^+=\dfrac{V_0}2$: $V_0=2V^+$.
3. Ampiezze → carico. Il salto dovuto alla riflessione dà $\Gamma_L$ (rapporto fra riflessa e diretta) e quindi $R_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; il valore finale $v(\infty)=V^+(1+\Gamma_L)$ conferma il valore per un carico resistivo.

Esempio. Si osserva in $L_1$ un primo gradino di $6$ V all'istante $200$ ns e un secondo salto a $8$ V a $400$ ns; poi la tensione resta a $8$ V. Con $c=10^8$ m/s e $Z_0=50\ \Omega$: $V^+=6$ V, $\Gamma_L=\frac{8-6}{6}=\frac13$ (salto $+2$ V), quindi $R_L=50\cdot\frac{1+1/3}{1-1/3}=100\ \Omega$; il generatore è adattato, $V_0=12$ V; $L_1=cT_1=20$ m e $2T-T_1=400$ ns, quindi $T=300$ ns e $L=30$ m.

Errori comuni

• Dimenticare che $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ e non $V_0$ (il generatore ha la sua impedenza interna).
• Confondere gli istanti: in $L_1$ il fronte riflesso passa a $2T-T_1$, non a $2T$ (a $2T$ è al generatore).
• Usare il coefficiente di riflessione della tensione per la corrente: per la corrente il segno è opposto ($I^-=-\Gamma I^+$).
• Dimenticare che le riflessioni multiple esistono solo se anche il generatore è disadattato.