Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico

**. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^*>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^*$. **Riconoscere il carico** (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: **C in parallelo** ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: **L in serie** ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: **RC serie** ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: **RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo** ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le **distanze** si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa. -->

Dopo aver visto come si propagano e si riflettono gradini su carichi resistivi e reattivi (Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →, Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →), restano due aspetti pratici: gli impulsi (segnali di durata finita) e il problema, tipico degli esami, di dedurre la linea e il carico dalla forma d'onda misurata in un punto.

Impulsi rettangolari: la sovrapposizione degli effetti

Formula (impulso rettangolare come differenza di due gradini). La linea con il carico è un sistema lineareche soddisfa la sovrapposizione degli effetti: la risposta a una somma è la somma delle risposte: la risposta a una somma di segnali è la somma delle risposte. Un impulso rettangolare di ampiezza $V^+$ e durata $T^*$ è

$$v_{imp}(t)=V^+\left[u(t)-u(t-T^*)\right],$$

cioè un gradino positivo all'istante $0$ e un gradino negativo di uguale ampiezza ritardato di $T^*$ (un interruttore che si chiude per un tempo $T^*$ e poi si riapre). Anche la risposta si ottiene come differenza fra la risposta al gradino e la stessa risposta ritardata di $T^*$.

Impulso su un carico resistivo ($R_L\neq Z_0$, generatore adattato). L'impulso viaggia verso il carico, vi si riflette senza cambiare forma e ritorna con ampiezza $\Gamma_LV^+$:

• se $\Gamma_L>0$ ($R_L>Z_0$) l'impulso riflesso ha lo stesso segno dell'incidente, se $\Gamma_L<0$ segno opposto;
• sul carico incidente e riflesso si sommano: $v_L=V^+(1+\Gamma_L)$ per tutta la durata $T^*$;
• al generatore, l'incidente occupa $0<t<T^*$ e il riflesso $2T<t<2T+T^*$. Se $T^*<2T$ i due impulsisegnali di durata finita che salgono e poi tornano a zero sono separati e si distinguono; se $T^*>2T$ si sovrappongono e in $2T<t<T^*$ la tensione vale $V^+(1+\Gamma_L)$ (ampiezza diversa da $V^+$, ma non si riesce più a dire quanto valgano separatamente incidente e riflesso).

Esempio. Generatore adattatogeneratore con impedenza interna uguale a quella caratteristica della linea con $V_0=10$ V ($V^+=5$ V), $Z_0=50\ \Omega$, $L=30$ m, $c=2\cdot10^8$ m/s ($T=150$ ns), carico $R_L=150\ \Omega$ ($\Gamma_L=0{,}5$), impulso lungo $T^*=100$ ns. Al generatore: $5$ V fra $0$ e $100$ ns e un secondo impulso di $2{,}5$ V fra $300$ e $400$ ns. Sul carico: $7{,}5$ V fra $150$ e $250$ ns. Con $T^*=500$ ns invece: da $300$ a $500$ ns si sommano ($5+2{,}5=7{,}5$ V), poi restano $2{,}5$ V fino a $800$ ns.

Impulso su un carico reattivo. Il carico capacitivo, per esempio, risponde a un gradino con $2V^+\left(1-e^{-t'/\tau}\right)$; all'impulso con la differenza $2V^+\left[\left(1-e^{-t'/\tau}\right)-\left(1-e^{-(t'-T^*)/\tau}\right)u(t'-T^*)\right]$. Se $T^*\gg\tau$ il carico raggiunge quasi il regime e poi torna a $0$ (impulso arrotondato su entrambi i fronti); se $T^*\ll\tau$ la tensione non fa in tempo a salire e riflette soltanto un piccolo "dosso" (il condensatore integrasomma nel tempo il segnale: la tensione sul condensatore sale in proporzione all'area dell'impulso l'impulso).

Riconoscere il carico dalla forma d'onda

Nei temi d'esame viene dato il grafico della tensione (o della corrente) in un punto — ai morsettipunti di collegamento di un dispositivo al circuito del generatore o a una distanza $L_1$ — in un esperimento con un gradino, e si chiede di ricavare le caratteristiche della linea e del carico. Per un generatore adattato ($Z_g=Z_0$: nessuna riflessione multipla; $V_0=2V^+$) valgono questi passi.

1. Distanze. Il primo gradino $V^+$ arriva in $L_1$ al tempo $T_1=L_1/c$ (o a $0$ se si osserva al generatore); la riflessa arriva a $2T-T_1$ (o a $2T$ al generatore). Da qui $L_1=cT_1$ e, poiché $t_1+t_2=T_1+(2T-T_1)=2T$, $L=cT=c\,\dfrac{t_1+t_2}{2}$. Se il grafico è quello al generatore, il tempo del cambio di forma è $2T$ e $L=\dfrac{c\,t}{2}$.
2. Generatore. Se dopo il primo cambio la forma d'onda non ha più altri gradini (a parte l'esponenziale) allora non ci sono riflessioni multiplepiù rimbalzi del segnale fra carico e generatore, presenti solo se anche il generatore è disadattato: $Z_g=Z_0$, $V_0=2V^+$.
3. Tipo di carico. Si legge $v_0$ (valore subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (valore finale), e si calcola $\Gamma_0=\dfrac{v_0}{V^+}-1$, $\Gamma_\infty=\dfrac{v_\infty}{V^+}-1$ (per le correnti: $\Gamma=1-\dfrac{i}{I^+}$).

Proprietà (riconoscimento del carico dalla forma d'onda).

$v_0$ (subito dopo)	$v_\infty$ (finale)	carico	come si trova $R$
$0$ ($\Gamma_0=-1$)	$2V^+$	C pura	non c'è $R$
$0$	tra $0$ e $2V^+$	RC parallelo	$v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$
$2V^+$ ($\Gamma_0=+1$)	$0$	L pura	non c'è $R$
$2V^+$	tra $0$ e $2V^+$	RL serie	$v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$
tra $0$ e $2V^+$	$2V^+$	RC serie	$v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$
tra $0$ e $2V^+$	$0$	RL parallelo	$v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$

Esempio. Con $V^+ = 8\ \mathrm V$, se la tensione sale a $2V^+ = 16\ \mathrm V$ e decade a $9{,}6\ \mathrm V$ il carico è un RL serie con $R = Z_0\,\frac{v_\infty}{2V^+ - v_\infty} = 50 \cdot \frac{9{,}6}{6{,}4} = 75\ \Omega$.

Il criterio si capisce con la regola dei valori limiteall'inizio il condensatore è un corto e l'induttore un aperto, a regime il contrario: all'inizio un condensatore è un corto ($v_0=0$ se c'è in parallelo al resto, altrimenti si vede la sola $R$ in serie), un induttore è un aperto ($v_0=2V^+$ se è in serie, altrimenti si vede la sola $R$ in parallelo); a regime il contrario.

4. Valore di $R$. Si ricava da $\Gamma$: $R=Z_0\dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ oppure direttamente da $v=2V^+\dfrac R{R+Z_0}$, cioè $R=Z_0\dfrac{v}{2V^+-v}$.
5. Il valore di $C$ o $L$. Dalla costante di tempo $\tau=\dfrac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$, e poi dalla formula del tipo di carico (tabella di Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →).

Esempi svolti

Esempio 1 (tensione, RL serie). Si osserva in $L_1$: $0$ per $t\le t_1=100$ ns, $V_1=8$ V per $t_1<t<t_2=200$ ns, poi $V_2=16$ V in $t_2$ che decade esponenzialmente fino a $V_3=9{,}6$ V; velocità $2\cdot10^8$ m/s, $Z_0=50\ \Omega$ (tema del 15 luglio 2024). $V^+=8$ V; la tensione sale a $16=2V^+$: $v_0=2V^+$ (induttore aperto all'inizio) e finale $9{,}6$ V fra $0$ e $2V^+$: RL serie. $R=50\cdot\dfrac{9{,}6}{16-9{,}6}=75\ \Omega$. Distanze: $L_1=cT_1=2\cdot10^8\cdot100\cdot10^{-9}=20$ m; $t_1+t_2=300$ ns $=2T$, $T=150$ ns, $L=30$ m. Generatore: $V_0=2V^+=16$ V (adattato, nessun altro gradino).

Esempio 2 (corrente, RC serie). Si osserva la corrente: $0$ per $t\le t_1=200$ ns, $i_1=150$ mA per $t_1<t<t_2=400$ ns, $i_2=200$ mA a $t_2$, poi $i\to0$ (velocità $1{,}8\cdot10^8$ m/s, $Z_0=50\ \Omega$). $I^+=150$ mA. Subito dopo la riflessa $i_0=200=I^+(1-\Gamma_0)\Rightarrow\Gamma_0=-\dfrac13$, quindi il carico è inizialmente resistivo con $R=50\cdot\dfrac{1-1/3}{1+1/3}=25\ \Omega$; a regime $i_\infty=0$ (aperto: $\Gamma_\infty=+1$): RC serie con $R=25\ \Omega$. Distanze: $t_1+t_2=600$ ns, $T=300$ ns, $L=1{,}8\cdot10^8\cdot300\cdot10^{-9}=54$ m, $L_1=1{,}8\cdot10^8\cdot200\cdot10^{-9}=36$ m. Tensione: $V_0=2V^+=2Z_0I^+=15$ V.

Esempio 3 (al generatore, RL parallelo). Al generatore si misura $V_1=12$ V fino a $t_1=400$ ns, poi $8$ V che decadono a $0$ (velocità $10^8$ m/s). $V^+=12$ V, $V_0=24$ V. $v_0=8$ V, $\Gamma_0=\dfrac8{12}-1=-\dfrac13$: carico inizialmente resistivo $R=25\ \Omega$ e finale $v_\infty=0$ (cortocircuito): RL parallelo. Il tempo $400$ ns è $2T$ (generatore): $T=200$ ns e $L=10^8\cdot200\cdot10^{-9}=20$ m.

Quando il generatore non è adattato

Se $Z_g\ne Z_0$ compaiono più gradini (riflessioni multiple) e le formule della tabella non bastano. Si ragiona sulla successione dei livelli: ogni onda diretta di corrente $I^+_n$ è seguita dalla riflessa $-\Gamma_LI^+_n$, e l'onda diretta successiva si ottiene moltiplicando per $\Gamma_L\Gamma_G$ (Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →). Dal primo gradino $I^+=\frac{V_0}{Z_g+Z_0}$ e dal secondo livello si ricava $\Gamma_L$; dal terzo si ricava $\Gamma_G$ e quindi $Z_g$. Un esercizio di questo tipo è svolto fra gli esercizi sul regime istantaneo.

Errori comuni

• Applicare la tabella quando il generatore non è adattato.
• Dimenticare che per la corrente $\Gamma=1-\dfrac{i}{I^+}$ (non $\dfrac{i}{I^+}-1$).
• Prendere $2T$ come istante del cambio a $L_1$: a $L_1$ è $2T-T_1$; a $2T$ solo al generatore.
• Scambiare RC seriecarico con resistenza e condensatore in serie con RC parallelocarico con resistenza e condensatore in parallelo: nel parallelo la tensione parte da $0$.