Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità

D'ora in poi la linea è ideale ($R=G=0$): $\gamma=j\beta$ con $\beta=\omega\sqrt{LC}=2\pi/\lambda$ e $Z_0$ reale (Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazioneuna linea di trasmissionecoppia di conduttori che guida un segnale elettrico come un'onda è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri per unità di lunghezza: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le equazioni del telegrafo; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$.Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione →). Si sceglie l'asse $z$ in modo che il carico sia in $z=0$ e il generatore in $z=-L$: i punti della linea hanno quindi $z<0$ e si indica con $l=-z>0$ la distanza dal carico (andando verso il generatoresorgente collegata all'inizio della linea, con la sua tensione a vuoto e la sua impedenza interna).

Tensione e corrente a distanza $l$ dal carico

Formula (tensione e corrente a distanza l dal carico). Ponendo $z=-l$ nelle soluzioni generali:

$$V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l},\qquad I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}.$$

Esempio. Con $V^+ = 6\ \mathrm V$, $V^- = 2\ \mathrm V$ e $Z_0 = 50\ \Omega$, sul carico ($l = 0$): $V_L = 8\ \mathrm V$ e $I_L = (6 - 2)/50 = 80\ \mathrm{mA}$.

Sul caricocircuito o dispositivo collegato all'estremo della linea, che assorbe (o riflette) la potenza ($l=0$) le due onde si sommano: $V_L=V^++V^-$ e $I_L=\dfrac{V^+-V^-}{Z_0}$. Il carico impone $V_L=Z_LI_L$, cioè $Z_L(V^+-V^-)=Z_0(V^++V^-)$. Si raccolgono i termini: $V^-(Z_L+Z_0)=V^+(Z_L-Z_0)$.

Coefficiente di riflessione

Definizione (coefficiente di riflessione sul carico). Si definisce coefficiente di riflessionerapporto fra l'onda che va verso il generatore e quella che va verso il carico sul carico

$$\boxed{\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}}$$

È un numero complesso con $|\Gamma_L|\le1$ per un carico passivoche assorbe potenza e non ne produce. Dice quanto dell'onda incidente viene riflesso e con quale sfasamento. L'inversa è $Z_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$.

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z_L = 100\ \Omega$: $\Gamma_L = \frac{100 - 50}{100 + 50} = \frac{1}{3}$.

Formula (coefficiente di riflessione a distanza l dal carico). Lungo la linea il rapporto fra onda riflessaonda che torna verso il generatore dopo aver incontrato il carico e incidente in un punto è

$$\Gamma(-l)=\frac{V^-e^{-j\beta l}}{V^+e^{j\beta l}}=\Gamma_Le^{-j2\beta l}=|\Gamma_L|\,e^{j(\varphi_L-2\beta l)}.$$

Il modulo non cambia (in una linea senza perdite l'onda riflessa mantiene il suo rapporto di ampiezza con l'incidente); cambia solo la fase, che diminuisce di $2\beta l$: andando dal carico verso il generatore il coefficiente di riflessione ruota in senso orario. Per ogni $\lambda/2$ ($2\beta l=2\pi$) fa un giro completo.

Esempio. Con $\Gamma_L = 0{,}7625\,e^{-j60{,}8^\circ}$ e $l = \lambda/8$ si ha $2\beta l = 90^\circ$, quindi $\Gamma(-l) = 0{,}7625\,e^{-j150{,}8^\circ}$, con lo stesso modulo.

Formula (impedenza lungo la linea). Con $V(-l)=V^+e^{j\beta l}\left[1+\Gamma(-l)\right]$ e $I(-l)=\dfrac{V^+}{Z_0}e^{j\beta l}\left[1-\Gamma(-l)\right]$ l'impedenza nel punto $-l$ è

$$\boxed{Z(-l)=\frac{V(-l)}{I(-l)}=Z_0\,\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}}$$

che, sostituendo $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ e $\Gamma_L$ in funzione di $Z_L$, diventa

$$Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}.$$

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $\Gamma(-l) = 1/3$: $Z = 50\,\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 100\ \Omega$.

Impedenze e ammettenze normalizzate

Definizione (impedenza e ammettenza normalizzate). È comodo dividere ogni impedenza per $Z_0$: l'impedenza normalizzata è $z=Z/Z_0$ (numero puro) e l'ammettenza normalizzata è $y=1/z=Y/Y_0$. Le formule diventano

$$z(-l)=\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)},\qquad\Gamma=\frac{z-1}{z+1},\qquad y=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma},\qquad z(-l)=\frac{z_L+j\tan\beta l}{1+jz_L\tan\beta l}.$$

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z = 100 + j50\ \Omega$: $z = 2 + j$ e $\Gamma = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{1 + j}{3 + j} = 0{,}4 + 0{,}2j = 0{,}447\,e^{j26{,}6^\circ}$.

Si noti che $y(\Gamma)=z(-\Gamma)$: l'ammettenza di un punto si ottiene dal suo coefficiente di riflessione cambiato di segno, cioè ruotato di $180^\circ$ (Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →).

Periodicità

Proprietà (periodicità lungo la linea senza perdite).

• Tensione e corrente hanno periodo spazialedistanza dopo la quale una grandezza si ripete uguale lungo la linea $\lambda$: $\beta\lambda=2\pi$.
• Impedenza e coefficiente di riflessione hanno periodo $\lambda/2$. Infatti $\Gamma(-l\mp\lambda/2)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}e^{\pm j2\pi}=\Gamma(-l)$, e anche $\tan(\beta l+\pi)=\tan\beta l$.
• Il motivo della differenza: dopo mezza lunghezza d'onda $V$ e $I$ cambiano segno, $V(z+\lambda/2)=V^+e^{-j\beta z}e^{-j\pi}+V^-e^{j\beta z}e^{j\pi}=-V(z)$, e così $I(z+\lambda/2)=-I(z)$. Il rapporto $Z=V/I$ resta uguale.

Esempio. A $f = 100\ \mathrm{MHz}$ in aria ($\lambda = 3\ \mathrm m$): $V$ e $I$ si ripetono ogni $3\ \mathrm m$, $\Gamma$ e $Z$ ogni $1{,}5\ \mathrm m$.

Proprietà (trasformazione dell'impedenza su un quarto d'onda). Trasformatore a quarto d'onda. Spostandosi di $\lambda/4$ ($\beta l=\pi/2$, $\tan\beta l\to\infty$) si ha $z(-l-\lambda/4)=\dfrac{1}{z(-l)}$: l'impedenza normalizzataimpedenza divisa per l'impedenza caratteristica della linea, un numero puro si trasforma nella sua inversa, cioè nell'ammettenza normalizzatainverso dell'impedenza normalizzata ($\Gamma$ cambia segno, ruota di $180^\circ$). Per questo una linea lunga $\lambda/4$ è detta trasformatoredispositivo che cambia il valore dell'impedenza vista da un lato rispetto all'altro: per esempio, se la linea ha $Z_0=50\ \Omega$ e il carico è $Z_L=100\ \Omega$ ($z_L=2$), dopo $\lambda/4$ si vede $z=1/2$, cioè $25\ \Omega$ (vedi Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →).

Esempio. Con $z_L = 2 + j$: dopo $\lambda/4$ si ha $z = 1/(2 + j) = 0{,}4 - 0{,}2j$.

Casi particolari

Proprietà (coefficiente di riflessione dei carichi notevoli).

carico	$z_L$	$\Gamma_L$	$V_L$ in funzione di $V^+$
adattato $Z_L=Z_0$	$1$	$0$	$V^+$ (niente onda riflessa)
corto circuito $Z_L=0$	$0$	$-1$	$0$
circuito aperto $Z_L\to\infty$	$\infty$	$+1$	$2V^+$
resistenza $R>Z_0$	reale $>1$	reale $>0$	$V_L>V^+$
resistenza $R<Z_0$	reale $<1$	reale $<0$	$V_L<V^+$
reattanza pura $jX$	$jx$	$\lvert\Gamma\rvert=1$	nessuna potenza assorbita

Esempio. Su una linea da $50\ \Omega$: corto circuito $\Gamma = -1$ (tensione nulla sul carico), circuito aperto $\Gamma = +1$ ($V_L = 2V^+$), carico da $50\ \Omega$ adattato ($\Gamma = 0$).

Un carico puramente reattivo ($Z_L=jX$) ha $|\Gamma_L|=1$: il numeratore $jX-Z_0$ è il complesso coniugato del denominatore $jX+Z_0$, quindi il rapporto ha modulo 1. Tutta la potenza viene riflessa: un carico reattivo non può dissipare nulla.

Esempio 1: carico RC serie

Una linea con $Z_0=100\ \Omega$ è chiusa su un carico RC seriecarico formato da una resistenza e un condensatore in serie $R=50\ \Omega$, $C=10$ pF, a $f=100$ MHz. La reattanzaparte immaginaria dell'impedenza, dovuta a induttori e condensatori, che non dissipa potenza è $-\dfrac1{\omega C}=-\dfrac{1}{2\pi\cdot10^8\cdot10^{-11}}=-159\ \Omega$, quindi $Z_L=50-j159\ \Omega$ e $z_L=0{,}5-j1{,}59$.

• $\Gamma_L=\dfrac{z_L-1}{z_L+1}=\dfrac{-0{,}5-j1{,}59}{1{,}5-j1{,}59}=\dfrac{1{,}667\,e^{-j107{,}4^\circ}}{2{,}186\,e^{-j46{,}7^\circ}}=0{,}7625\,e^{-j60{,}8^\circ}$ (il numeratore ha fase $-107{,}4^\circ$ perché è nel terzo quadrante).
• La lunghezza d'onda è $\lambda=\dfrac{c_0}{f}=3$ m. A $l=375$ mm $=\lambda/8$: $2\beta l=2\cdot\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\dfrac\lambda8=\dfrac\pi2$, quindi $\Gamma(-l)=0{,}7625\,e^{-j(60{,}8^\circ+90^\circ)}=0{,}7625\,e^{-j150{,}8^\circ}$ e $z=\dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=0{,}144-j0{,}256$, cioè $Z=14{,}4-j25{,}6\ \Omega$.
• A $l=750$ mm $=\lambda/4$: $\Gamma=0{,}7625\,e^{+j119{,}2^\circ}$ e $z=0{,}180+j0{,}572$, che è proprio $1/z_L=\dfrac{1}{0{,}5-j1{,}59}$: la verifica della proprietà del quarto d'onda. $Z=18{,}0+j57{,}2\ \Omega$ (un induttore!).

Il modulo di $\Gamma$ è rimasto $0{,}7625$ in tutti i punti; il valore del rapporto d'onda stazionario è $S=\dfrac{1+0{,}7625}{1-0{,}7625}=7{,}42$ (Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →).

Esempio 2: corto circuito e carico reale

Con $Z_0=50\ \Omega$ e $Z_L=100\ \Omega$ (reale): $\Gamma_L=\dfrac{100-50}{100+50}=\dfrac13$ (positivo: onda riflessa in fase con l'incidente). Una tensione incidente $|V^+|=6$ V sul carico dà $|V^-|=6\cdot\frac13=2$ V e $V_L=V^+(1+\Gamma_L)=8$ V (maggiore di $V^+$ perché $R>Z_0$). La corrente sul carico è $|I_L|=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1-\Gamma_L)=0{,}12\cdot\frac23=80$ mA e infatti $V_L/I_L=100\ \Omega$.

Errori comuni

• Dire che $\Gamma$ ha periodo $\lambda$: ha periodo $\lambda/2$ (è $e^{-j2\beta l}$, con il fattore 2).
• Dimenticare il segno: $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ ruota in senso orario verso il generatore; verso il carico ruota in senso antiorario.
• Scambiare $Z_0$ con $Z_L$ nella formula di $\Gamma_L$: il carico va sempre al numeratore con segno $+$ davanti: $\Gamma_L=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)$.
• Usare lunghezze in metri dentro $\beta l$ con $\beta$ calcolato sulla $\lambda$ sbagliata: in una linea con dielettrico $\lambda=v_p/f$, non $c_0/f$.