Stub e adattatore a singolo stub

** o in **circuito aperto**: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a **corto circuito**. L'**adattatore a singolo stub** si collega **in parallelo** alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$. -->

L'adattatore a quarto d'onda (Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →) richiede un cavo con una $Z_{01}$ diversa da quella della linea. Uno stub è invece fatto con lo stesso cavo della linea principale: basta un pezzetto in più, collegato in parallelocollegato ai due conduttori della linea nello stesso punto, in derivazione. Per capire come funziona bisogna prima sapere che impedenza presenta un tratto di linea chiuso in corto o in aperto.

Impedenza di uno stub

Si applica la formula di trasformazione $Z(-l)=Z_0\dfrac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$ (Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →).

Formula (impedenza di uno stub in corto e in aperto).

• Stub in corto circuito ($Z_L=0$): $Z=jZ_0\tan\beta l$, cioè $z=j\tan\beta l$ e $y=-j\cot\beta l$. È una reattanza puraimpedenza puramente immaginaria, senza parte resistiva di valore qualsiasi: induttivacon reattanza positiva, che si comporta come un induttore ($z$ immaginaria positiva) per $0<l<\lambda/4$, capacitivacon reattanza negativa, che si comporta come un condensatore per $\lambda/4<l<\lambda/2$ (dopo $\lambda/2$ si ripete). Si può quindi realizzare un induttore o un condensatore di valore arbitrario scegliendo la lunghezza.
• Stub in circuito aperto ($Z_L\to\infty$): $Z=\dfrac{Z_0}{j\tan\beta l}=-jZ_0\cot\beta l$, cioè $z=-j\cot\beta l$ e $y=+j\tan\beta l$. È capacitivo per $0<l<\lambda/4$ e induttivo per $\lambda/4<l<\lambda/2$.

Esempio. Uno stub in corto su una linea da $50\ \Omega$ lungo $\lambda/8$ ha $Z = jZ_0\tan(\pi/4) = j50\ \Omega$ (induttivo); lungo $3\lambda/8$ ha $Z = jZ_0\tan(3\pi/4) = -j50\ \Omega$ (capacitivo).

Gli stubspezzone di linea chiuso in corto o in aperto, usato come reattanza regolabile in aperto e in corto lunghi $l$ e $l+\lambda/4$ si comportano alla stessa frequenza nello stesso modo. Se il testo di un esercizio dice solo "stub", si intende stub in corto circuito; se serve quello in aperto lo si dice esplicitamente ("stub con circuito apertocarico di impedenza infinita"). Lo stub in corto è preferito perché un circuito aperto reale irradia e ha capacità parassitecapacità indesiderate dovute alla geometria, per esempio ai bordi del circuito aperto. Attenzione: $\beta=\beta(\omega)$, quindi il valore di impedenza dello stub cambia con la frequenza (adattamento a banda stretta).

Adattamento di uniformità con uno stub

Si vuole rendere $\Gamma=0$ a monte con un solo stub collegato in parallelo alla linea in un punto a distanza $d$ dal carico. Si lavora con le ammettenze perché i collegamenti in parallelo si sommano.

Idea. Si cerca il punto in cui l'ammettenza normalizzata della linea (guardando verso il carico) è

$$y(-d)=1+jb.$$

Lo stub, in parallelo, aggiunge la sua ammettenza $jb_s$. Scegliendo $b_s=-b$ si ottiene $y_{tot}=1+jb+j(-b)=1$: da lì in poi la linea vede $Y_0$, quindi niente onda riflessa. Il tratto di linea fra carico e stub resta invece con il suo ROS originale. Poiché lo stub è in parallelo, la tensione è continuail valore della tensione è lo stesso subito prima e subito dopo il punto di collegamento nel punto di collegamento (la stessa a sinistra e a destra), mentre la corrente è discontinua.

Formula (distanza dello stub dal carico). Passo 1 - Distanza $d$. Con $y_L=g+jb_L=\dfrac1{z_L}$ e $t=\tan\beta d$, $y(-d)=\dfrac{y_L+jt}{1+jy_Lt}$ (formula degli spostamenti scritta per le ammettenzeinversi delle impedenze, che si sommano nei collegamenti in parallelo). La condizione $\mathrm{Re}\,y(-d)=1$ dà l'equazione di secondo grado

$$\left(|y_L|^2-g\right)t^2-2b_Lt+(1-g)=0,\qquad t=\frac{b_L\pm\sqrt{g\left[(1-g)^2+b_L^2\right]}}{|y_L|^2-g}$$

Esempio. Per $y_L = 0{,}4 + j0{,}8$: $|y_L|^2 - g = 0{,}4$ e $t = \frac{0{,}8 \pm 0{,}632}{0{,}4} = 0{,}419$ oppure $3{,}58$, cioè $d_1 = 0{,}0631\,\lambda$ e $d_2 = 0{,}2067\,\lambda$.

(se $|y_L|^2=g$ l'equazione è di primo grado: $t=\frac{1-g}{2b_L}$). Ci sono due soluzioni $d_1,d_2$ per ogni mezza lunghezza d'onda, con $y(-d_1)=1+jb$ e $y(-d_2)=1-jb$: in $d_1$ lo stub dovrà avere $b_s=-b$, in $d_2$ avrà $b_s=+b$. Si prendono con $d>0$ aggiungendo $\lambda/2$ se serve.

Formula (lunghezza dello stub in corto o in aperto). Passo 2 - Lunghezza $l$ dello stub. Per uno stub in corto: $y=-j\cot\beta l=jb_s$, quindi $\tan\beta l=-\dfrac1{b_s}$ (si prende $\beta l\in(0,\pi)$). Per uno stub in aperto: $y=j\tan\beta l=jb_s$, quindi $\tan\beta l=b_s$.

Esempio. Con $b_s = -1{,}581$ e stub in corto: $\tan\beta l = -1/b_s = 0{,}632$, $\beta l = 0{,}564\ \mathrm{rad}$ e $l = 0{,}0897\,\lambda$.

Sulla carta di Smith. (1) Si traccia $z_L$ e si passa all'ammettenza $y_L$ (punto opposto). (2) Si ruota in senso orario (verso il generatore) lungo la circonferenza a $|\Gamma|$ costante fino a incontrare la circonferenza $g=1$ (quella che passa per il centro): si trovano due punti, $1+jb$ e $1-jb$; la distanza $d$ è la differenza di lettura fra questi punti e $y_L$ sulla scala esterna. (3) Per la lunghezza dello stub in corto: si parte dal punto $y=\infty$ (estremo destro della carta, che sulla scala "verso il generatore" si legge $0{,}25$) e si ruota verso il generatore fino al punto con parte immaginaria uguale a $b_s$ (cioè $-b$); la lunghezza è lo spostamento in $\lambda$, differenza fra le due letture. Per lo stub in aperto si parte invece dal punto $y=0$ (estremo sinistro, lettura $0$).

Esempio 1: carico $25-j50\ \Omega$ su linea da $50\ \Omega$

$z_L=0{,}5-j1$, $y_L=\dfrac1{0{,}5-j}=0{,}4+j0{,}8$: $g=0{,}4$, $b_L=0{,}8$, $|y_L|^2-g=0{,}8-0{,}4=0{,}4$ e il discriminanteradicando della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado vale $g\left[(1-g)^2+b_L^2\right]=0{,}4\cdot1=0{,}4$, quindi $t=\dfrac{0{,}8\pm0{,}632}{0{,}4}$:

• $t=0{,}4189\Rightarrow\beta d=0{,}397$ rad $\Rightarrow d_1=0{,}0631\lambda$. Qui $y(-d_1)=1+j1{,}581$: serve $b_s=-1{,}581$. Stub in corto: $\tan\beta l=-\frac1{-1{,}581}=0{,}632$, $\beta l=0{,}564$ rad, $l=0{,}0897\lambda$ (cioè $0{,}09\lambda$).
• $t=3{,}58\Rightarrow\beta d=1{,}300$ rad $\Rightarrow d_2=0{,}2067\lambda$. Qui $y(-d_2)=1-j1{,}581$: serve $b_s=+1{,}581$; $\tan\beta l=-\frac1{1{,}581}=-0{,}632$, $\beta l=\pi-0{,}564=2{,}578$ rad, $l=0{,}4103\lambda$.

La prima soluzione ha lo stub più corto e più vicino al carico; con uno stub in aperto le lunghezze sarebbero $l=0{,}340\lambda$ e $0{,}160\lambda$ (differiscono di $\lambda/4$ dagli stub in corto).

Esempio 2: due richieste diverse dallo stesso progetto

Una linea da $Z_0=100\ \Omega$ a $f=600$ MHz ($\lambda=500$ mm) è chiusa su $Z_L=50-j20\ \Omega$: $z_L=0{,}5-j0{,}2$, $y_L=\dfrac1{0{,}5-j0{,}2}=1{,}724+j0{,}690$. Dall'equazione: $|y_L|^2-g=3{,}448-1{,}724=1{,}724$ e $g[(1-g)^2+b_L^2]=1{,}724\cdot1{,}000$, quindi $t=\dfrac{0{,}690\pm1{,}313}{1{,}724}=1{,}163$ oppure $-0{,}361$; le due soluzioni sono

Un esercizio può chiedere cose diverse: la distanza minima dal carico a cui posizionare lo stub (68,4 mm), la lunghezza minima dello stub in corto (73,2 mm, che però richiede di mettere lo stub a 222,4 mm), oppure quella dello stub in aperto (51,8 mm). Si legge bene la domanda prima di scegliere la soluzione.

Confronto con l'adattatore a quarto d'onda

Esempio completo con le tensioni

Linea da $50\ \Omega$, $f=300$ MHz ($\lambda=1$ m), carico $50-j100\ \Omega$ ($S=5{,}83$), generatore con $V_g=10$ V e $Z_g=50\ \Omega$. $y_L=0{,}2+j0{,}4$: le soluzioni dall'equazione sono $d=0{,}125\lambda$ con $y=1+j2$ (stub in corto $l=73{,}8$ mm con $b_s=-2$) e $d=0{,}250\lambda$ con $y=1-j2$ (stub $l=426{,}2$ mm con $b_s=+2$). Con la seconda ($d=250$ mm): a monte $S=1$, $|V|=\tfrac{10}{2}=5$ V ovunque; fra carico e stub rimane il ROS $5{,}83$ con la potenza attiva disponibile $\tfrac{10^2}{8\cdot50}=250$ mW, quindi $|V_L|=\sqrt{2\cdot0{,}25/50}\cdot111{,}8=11{,}18$ V (prima dello stub: $7{,}9$ V), nel minimo a $187{,}5$ mm $|V|_{min}=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}25\cdot50}{5{,}83}}=2{,}07$ V e nel punto dello stub $|V|=5$ V (continuità della tensione). Si ha anche un controllo con le onde: poiché $d=\lambda/4$, $V^+=V'^+e^{j\pi/2}+V'^-e^{-j\pi/2}=jV'^+(1-\Gamma_L)$ e $V_L=V'^+(1+\Gamma_L)=-jV^+z_L$, cioè $|V_L|=5\cdot|1-j2|=11{,}18$ V (stesso risultato della potenza).

Errori comuni

• Usare $z$ al posto di $y$: gli stub sono in parallelo, le ammettenze si sommano.
• Sbagliare il verso: si ruota verso il generatore (orario) a partire da $y_L$.
• Scegliere $b_s=+b$ invece di $-b$: lo stub deve cancellare la parte immaginaria.
• Dimenticare di prendere $\beta l\in(0,\pi)$ quando $\tan\beta l$ è negativo (lunghezza negativa: si somma $\lambda/2$).
• Scambiare stub in corto e in aperto (differiscono di $\lambda/4$ a parità di $b_s$).