Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità

**, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi **trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione**) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con **impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm** $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono **in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante** nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$. -->

L'approssimazione di onda piana

Una sorgente puntiforme emette un'onda sferica: i fronti d'ondasuperfici formate dai punti con la stessa fase (punti con la stessa fase) sono sfere centrate sulla sorgente. A grande distanza, in una regione piccola rispetto al raggio, una sferasuperficie di punti equidistanti da un centro si confonde con un piano: si parla di approssimazione di onda pianaa grande distanza dalla sorgente il fronte sferico si può trattare come un piano. Un'onda piana è uniforme se campo elettricocampo che esercita forze sulle cariche, misurato in volt al metro e magnetico hanno gli stessi valori (ampiezza e fase) in tutti i punti di un piano $z=$ costante. Allora tutte le derivate rispetto a $x$ e $y$ sono nulle ($\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{\partial E_x}{\partial y}=0$) e la dipendenza spaziale è solo lungo $z$: la stessa situazione delle tensioni e correnti di una linea (Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz →).

Le soluzioni

Formula (onda piana: soluzione dell'equazione di Helmholtz). L'equazione di Helmholtz per la componente $E_x$ si riduce a una sola derivata ordinaria:

$$\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0\ \Rightarrow\ E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz},$$

Esempio. A $2{,}4\ \mathrm{GHz}$ nel vuoto: $k = 2\pi f/c_0 \approx 50{,}3\ \mathrm{rad/m}$ e $\lambda = 12{,}5\ \mathrm{cm}$; dopo $\lambda/4 = 3{,}1\ \mathrm{cm}$ la fase dell'onda progressiva è ruotata di $-\pi/2$.

con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ reale (mezzo senza perdite) e $E_x^\pm$ ampiezze complesse da determinare con le condizioni al contornovalori imposti dalle sorgenti e dalle superfici di separazione che fissano le ampiezze delle onde. Analoghe espressioni per $E_y$, $H_x$, $H_y$.

I campi sono trasversali. Le componenti lungo $z$ delle due equazioni di Maxwell sono $\hat z\left(\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}\right)=j\omega\varepsilon E_z\hat z$ e $\hat z\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)=-j\omega\mu H_z\hat z$: con $\partial_x=\partial_y=0$ il primo membro è nullo e quindi $E_z=0$ e $H_z=0$. Campo elettrico e magnetico non hanno componente nella direzione di propagazione.

Il campo magnetico. Si prende per semplicità $\bar E=\hat xE_x(z)$. Dalla prima equazione di Maxwell $\bar H=-\dfrac1{j\omega\mu}\nabla\times\bar E=-\dfrac1{j\omega\mu}\hat y\dfrac{dE_x}{dz}$. Derivando l'espressione di $E_x$: $\dfrac{dE_x}{dz}=-jkE_x^+e^{-jkz}+jkE_x^-e^{+jkz}$, quindi

$$\bar H=\hat y\left(\frac{k}{\omega\mu}E_x^+e^{-jkz}-\frac{k}{\omega\mu}E_x^-e^{+jkz}\right)=\hat y\left(H_y^+e^{-jkz}+H_y^-e^{+jkz}\right),$$

Definizione (impedenza intrinseca del mezzo). con $H_y^+=\dfrac{E_x^+}{\eta}$ e $H_y^-=-\dfrac{E_x^-}{\eta}$, dove

$$\boxed{\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}}$$

è l'impedenza intrinseca (o impedenza d'onda) del mezzo, in ohm (rapporto fra campo elettrico e campo magneticocampo che insieme a quello elettrico forma l'onda, misurato in ampere al metro dell'onda che si propaga in un verso). Nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx120\pi\ \Omega\approx377\ \Omega$. È l'analogo dell'impedenza caratteristica $Z_0$ della linea: stesso ruolo, stessa struttura (il segno meno dell'onda regressiva, il coefficiente di riflessione, e così via).

Esempio. Nel vuoto $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377\ \Omega$: con $|E| = 1\ \mathrm{V/m}$ si ha $|H| = 1/377 \approx 2{,}65\ \mathrm{mA/m}$.

Formula (relazione vettoriale fra campo elettrico e magnetico di un'onda piana). Onda con due componenti (la figura descritta nel tempo da $\bar E$ è la polarizzazione, Polarizzazione delle onde pianela polarizzazione di un'onda piana uniforme è la figura descritta nel tempo, in un punto fissato, dalla punta del vettore $\bar e$ nel piano ortogonale alla propagazione. Con $\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz}$ (onda verso $+z$, $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$) si ha $\bar e=\hat xa_x\cos(\omega t-kz)+\hat ya_y\cos(\omega t-kz+\varphi)$. Rettilinea: $\varphi=0$ o $\pi$ (inclinazione costante); circolare: $a_x=a_y$ e $\varphi=\pm\frac\pi2$; ellittica: tutti gli altri casi ($a_x\ne a_y$ e $\varphi\ne0,\pi$, oppure $a_x=a_y$ con $\varphi\neq\pm\frac\pi2$). Il verso si trova con la regola della mano: pollice nel verso di propagazione, le dita indicano il verso di rotazione di $\bar e$ nel tempo; se è la mano destra → destrorsa, sinistra → sinistrorsa. Per $\bar E\propto\hat x+a\hat ye^{j\varphi}$ con $a>0$: $0<\varphi<\pi$ → sinistrorsa; $-\pi<\varphi<0$ → destrorsa; $\varphi=+\frac\pi2$ circolare sinistrorsa $(\hat x+j\hat y)$, $\varphi=-\frac\pi2$ circolare destrorsa $(\hat x-j\hat y)$. Con il rapporto di polarizzazioneparametro complesso che distingue polarizzazione rettilinea, destrorsa e sinistrorsa $p=j\frac{A_y}{A_x}$: $\Re{p}=0$ rettilinea, $\Re{p}>0$ destrorsa, $\Re{p}<0$ sinistrorsa. Un campo rettilineo è la somma di due circolari opposti di ugual ampiezza.Polarizzazione delle onde piane →). Per $\bar E=\left(\hat xE_x^++\hat yE_y^+\right)e^{-jkz}$ si ha $H_x=-\dfrac{E_y}{\eta}$ e $H_y=\dfrac{E_x}{\eta}$, cioè in forma vettoriale

$$\boxed{\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta},\qquad\bar E=\eta\,\bar H\times\hat k}$$

con $\hat k$ il versore di propagazionevettore di modulo uno che indica il verso in cui l'onda avanza. Si ricorda così: $\bar E\times\bar H$ punta nel verso di propagazione $\hat k$. I tre vettori $\bar E$, $\bar H$, $\hat k$ sono a due a due ortogonali (onda TEMonda in cui campo elettrico e magnetico sono entrambi trasversali alla propagazione, trasversale elettro-magnetica), e dato che $\eta$ è reale, $\bar E$ e $\bar H$ sono in fase nel tempo.

Esempio. Con $\bar E = 2\,\hat x\ \mathrm{V/m}$ che si propaga lungo $+z$ nel vuoto: $\bar H = (\hat z \times \bar E)/\eta_0 = \hat y\,2/377 \approx \hat y\,5{,}3\ \mathrm{mA/m}$.

Nel dominio del tempo: velocità di fase e lunghezza d'onda

Formula (velocità di fase, indice di rifrazione e lunghezza d'onda). Nel dominio del tempo il campo elettrico è $e_x(z,t)=|E_x^+|\cos(\omega t-kz+\varphi^+)+|E_x^-|\cos(\omega t+kz+\varphi^-)$: il primo termine è un'onda che viaggia verso $+z$, il secondo verso $-z$. Un punto a fase costante ($\omega t-kz=$ cost.) si sposta con la velocità di fasevelocità con cui si sposta un punto a fase costante dell'onda

$$v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}.$$

Nel vuoto $v_f=\dfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c_0=2{,}998\cdot10^8$ m/s $\approx3\cdot10^8$ m/s, la velocità della luce. In un dielettrico non magnetico e non conduttore $\mu=\mu_0$, $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$:

$$v_f=\frac{c_0}{n},\quad n=\sqrt{\varepsilon_r}\ (\text{indice di rifrazione}),\quad\eta=\frac{\eta_0}{n},\quad\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{c_0}{nf}=\frac{\lambda_0}n.$$

Esempio. In un dielettrico con $\varepsilon_r = 2{,}25$ ($n = 1{,}5$) a $600\ \mathrm{MHz}$: $v_f = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$, $\lambda = 0{,}5/1{,}5 \approx 0{,}333\ \mathrm m$ e $\eta = 377/1{,}5 \approx 251\ \Omega$.

Una onda piana uniforme che si propaga solo verso $+z$ (la potenza che trasporta è in Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana →) ($E_x^-=0$) ha $\bar e=\hat x|E^+|\cos(\omega t-kz+\varphi^+)$ e $\bar h=\hat y\dfrac{|E^+|}{\eta}\cos(\omega t-kz+\varphi^+)$: stessa fase, rapporto $\dfrac{|E|}{|H|}=\eta$.

Esempi

Esempio 1: dall'espressione del campo alle grandezze. Un'onda piana ha $\bar e(z,t)=\hat xE^+\cos\left(1{,}51\cdot10^{10}t-61{,}6\,z\right)$. Per confronto con $\cos(\omega t-kz)$: $\omega=1{,}51\cdot10^{10}$ rad/s e $k=61{,}6$ rad/m. Allora $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=0{,}102$ m, $v_f=\dfrac{\omega}{k}=2{,}45\cdot10^8$ m/s, $n=\dfrac{c_0}{v_f}=1{,}224$, $\varepsilon_r=n^2=1{,}5$, $\eta=\dfrac{\eta_0}{n}=\dfrac{376{,}7}{1{,}224}=307{,}8\ \Omega$ e $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=2{,}4$ GHz.

Esempio 2: da $\bar H$ a $\bar e(t)$. In un mezzo senza perdite con impedenza $\eta_0$, un'onda ha $\bar H(y)=4\,e^{-j2\pi y}\hat x$ mA/m: si propaga verso $+y$ (il fattore $e^{-jky}$ con $k=2\pi$ rad/m). Il campo elettrico è ortogonale a $\bar H$ e a $\hat y$ e tale che $\bar E\times\bar H\parallel+\hat y$: poiché $\hat z\times\hat x=\hat y$, $\bar E$ è lungo $+\hat z$ con modulo $\eta_0|H|=377\cdot4\cdot10^{-3}=1{,}51$ V/m. Nel tempo: $\bar e(y,t)=1{,}5\cos(\omega t-2\pi y)\hat z$ V/m. Con $\eta=150\ \Omega$ invece: $150\cdot4\cdot10^{-3}=0{,}6$ V/m.

Esempio 3: la formula vettoriale. Se $\bar H(z)=(H_x\hat x+H_y\hat y)e^{-jkz}$ (propagazione verso $+z$) allora $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat z=\eta\left[H_x(\hat x\times\hat z)+H_y(\hat y\times\hat z)\right]=\eta\left(-H_x\hat y+H_y\hat x\right)$, cioè $\bar E=\dfrac{k}{\omega\varepsilon}\left(H_y\hat x-H_x\hat y\right)e^{-jkz}$ (poiché $\eta=\dfrac{\omega\mu}{k}=\dfrac{k}{\omega\varepsilon}$). Con $\bar H=(0{,}03\hat x+0{,}01\hat y)e^{-jkz}$ A/m e $\eta=200\ \Omega$: $\bar E=200\,(0{,}01\hat x-0{,}03\hat y)=(2\hat x-6\hat y)e^{-jkz}$ V/m. Se invece l'onda va verso $+x$ con $\bar H=(H_y\hat y+H_z\hat z)e^{-jkx}$: $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat x=\eta\left(-H_y\hat z+H_z\hat y\right)=\dfrac{k}{\omega\varepsilon}\left(H_z\hat y-H_y\hat z\right)e^{-jkx}$.

Esempio 4: ampiezze. In un mezzo con $n=2$ ($\varepsilon_r=4$, $\eta=60\pi\ \Omega$) un'onda a polarizzazione rettilinea con $H_0=0{,}01$ A/m ha $E_0=\eta H_0=60\pi\cdot0{,}01=0{,}6\pi$ V/m $=1{,}88$ V/m. Un segnale con $\lambda=1$ cm in un mezzo con $n=1{,}5$ ha $f=\dfrac{c_0}{n\lambda}=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot0{,}01}=20$ GHz. A $600$ MHz nel vuoto $k_0=\dfrac{2\pi f}{c_0}=4\pi$ m$^{-1}$.

Errori comuni

• Usare la formula $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat k$ con l'ordine sbagliato: $\bar H\times\hat k$, non $\hat k\times\bar H$ (darebbe il segno opposto).
• Scrivere $\eta_0=377\ \Omega$ in un dielettrico: lì $\eta=\eta_0/n$.
• Confondere $\hat k$ (versore della direzione di propagazione) con la direzione di $\bar E$ o $\bar H$: sono tutti ortogonali.
• Dimenticare che $k$, $\lambda$ e $v_f$ dipendono dal mezzo: $\lambda=\lambda_0/n$, $v_f=c_0/n$.