Esercizio 17luogo delle radici con zeri immaginari, Routh e controllore proporzionale con polo doppio (tema d'esame settembre 2024)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

Parte (a)

1. Dati, asse reale, asintoti

$n=4$ poli: $0$ (doppio) e $-1\pm j$ (complessi a parte reale negativa); $m=2$ zeri: $\pm j$ (sull'asse immaginario). $4$ rami partono dai poli, $2$ finiscono negli zeri $\pm j$, $n-m=2$ vanno all'infinito.

Asse reale. Le uniche radici reali sono i poli in $0$ (doppio): per $\alpha>0$ ne ho $0$ a destra, per $\alpha<0$ ne ho $2$: numero pari in ogni caso. Tutto l'asse reale appartiene al luogo negativo, nessun punto reale al positivo.

Asintoti. Centro $x_B=\dfrac{(0+0+(-1+j)+(-1-j))-(j+(-j))}2=\dfrac{-2-0}2=-1$. Direzioni: luogo positivo $\pm\frac\pi2$ (verticali, in $\mathrm{Re}=-1$); luogo negativo $0$ e $\pi$.

2. Punti doppi

$n=s^2+1$, $d=s^4+2s^3+2s^2$: $d'n-dn'=2s\,(s^4+s^3+2s^2+3s+2)$. La radice $s=0$ è il polo doppio ($K=0$): non è punto doppio. Le quattro radici del polinomio di quarto grado sono complesse: $-0{,}830\pm0{,}482j$ e $0{,}330\pm1{,}437j$, con valori di $K=-\frac dn$ complessi ($-0{,}424\mp0{,}153j$ e $0{,}924\mp6{,}206j$): non appartengono al luogo. Non ci sono punti doppi (come suggerisce il testo).

3. Intersezioni con l'asse immaginario

$d+Kn=s^4+2s^3+(2+K)s^2+K$. In $s=j\omega$: $\omega^4-2j\omega^3-(2+K)\omega^2+K=0$. Parte immaginaria $-2\omega^3=0\Rightarrow\omega=0$, poi parte reale $K=0$. Nessuna intersezione con l'asse immaginario oltre all'origine per $K=0$.

4. Routh: quanti poli instabili

Tabella di $s^4+2s^3+(2+K)s^2+0\cdot s+K$: $$\begin{array}{c|ccc}4&1&2+K&K\\3&2&0&\\2&2+K&K&\\1&-\dfrac{2K}{2+K}&&\\0&K&&\end{array}$$ (il primo elemento di $s^2$ è $\frac{2(2+K)-1\cdot0}2$; l'elemento di $s^1$ è $\frac{(2+K)\cdot0-2K}{2+K}$).

• $K>0$: prima colonna $+,+,+,-,+$ (perché $-\frac{2K}{2+K}<0$): due variazioni, 2 poli instabili.
• $-2<K<0$: $+,+,+,+,-$ (con $s^1$ positivo perché $-2K>0$ e $2+K>0$): una variazione, 1 polo instabile.
• $K<-2$: $2+K<0$: $+,+,-,-,-$ (l'elemento di $s^1$ è $-\frac{2K}{2+K}$, numeratore positivo e denominatore negativo): una variazione, 1 polo instabile. Il segno di $K$ distingue quindi i due casi: $W$ non è mai BIBO stabile.

5. I due luoghi

Luogo positivo. I due rami che partono dal polo doppio $0$ escono dall'asse reale in direzione verticale e vanno agli zeri $\pm j$, che raggiungono da destra (poli di $W$ con piccola parte reale positiva: per $K=0{,}1$ $0{,}022\pm0{,}215j$; per $K=1$ $0{,}11\pm0{,}55j$; per $K=100$ $0{,}01\pm0{,}995j$). I due rami che partono da $-1\pm j$ vanno all'infinito lungo gli asintoti verticali di centro $-1$ (per $K=100$: $-1{,}01\pm10{,}0j$). Quindi per $K>0$: 2 poli in $\mathrm{Re}>0$, 2 in $\mathrm{Re}<0$.

Luogo negativo. Tutto l'asse reale: dal polo doppio $0$ un ramo va a $+\infty$ (asintoto di direzione $0$) e uno a $-\infty$ (direzione $\pi$); i rami che partono da $-1\pm j$ vanno agli zeri $\pm j$ dalla parte sinistra (per $K=-10$: $-0{,}10\pm1{,}03j$, più i reali $2{,}30$ e $-4{,}10$). Quindi per $K<0$: 1 polo reale in $\mathrm{Re}>0$ (il ramo che va a $+\infty$), 3 in $\mathrm{Re}<0$.

Risposta (a). $W$ non è mai BIBO stabile: 2 poli instabili per $K>0$, 1 per $K<0$. Controllo numerico: $K=1$: $0{,}11\pm0{,}55j,\ -1{,}11\pm1{,}39j$; $K=-0{,}1$: $0{,}206$ reale positivo e $-0{,}263,\ -0{,}971\pm0{,}948j$; $K=-3$: $1{,}108,\ -2{,}567,\ -0{,}271\pm0{,}991j$.

Parte (b)

$G_2=\dfrac{s^2+1}{(s+1)(s+10)}$ ha $n=m=2$ (poli $-1,-10$; zeri $\pm j$). Con $C=K$ i poli di $W$ sono le radici di $$d+Kn=(s+1)(s+10)+K(s^2+1)=(1+K)s^2+11s+(10+K).$$ Con il luogo positivo. Per $\alpha\in(-10,-1)$ c'è una sola radice reale a destra ($-1$): il tratto $(-10,-1)$ appartiene al luogo positivo. I rami che partono da $-10$ e da $-1$ si incontrano nel suo interno in un punto doppio (poi escono verso gli zeri $\pm j$): è lì che $W$ ha un polo reale doppio. Equazione dei candidati: $d'n-dn'=(2s+11)(s^2+1)-(s^2+11s+10)(2s)=-11s^2-18s+11=0\Rightarrow s=\frac{-9\pm\sqrt{202}}{11}$, cioè $s=-2{,}110$ e $s=0{,}474$. Il primo sta in $(-10,-1)$ e ha $K=-\frac dn=\frac{-11+\sqrt{202}}2\approx1{,}606>0$: è il punto doppio del luogo positivo. Il secondo ha $K=-12{,}6<0$ (luogo negativo).

Con il discriminante. Un polo reale doppio richiede discriminante nullo: $121-4(1+K)(10+K)=0\Rightarrow4K^2+44K-81=0\Rightarrow K=\dfrac{-11\pm\sqrt{202}}2$, cioè $K=1{,}606$ oppure $K=-12{,}6$.

Stabilità. Con $K=1{,}606$: $(1+K)=2{,}606>0$, $11>0$, $10+K=11{,}6>0$: secondo grado con coefficienti positivi: Hurwitz; il polo doppio vale $-\frac{11}{2(1+K)}=-2{,}110$ ✓. Con $K=-12{,}6$: $(1+K)<0$ e $11>0$: non Hurwitz (il polo doppio è in $\frac{-11}{2(1+K)}=+0{,}474>0$).

Soluzione: $\boxed{C(s)=K=\dfrac{-11+\sqrt{202}}2\approx1{,}606}$: sistema BIBO stabile con un polo reale doppio in $s=-2{,}11$ (verificato con il calcolo delle radici).

Errori comuni

• Credere che le radici complesse del polinomio dei candidati siano punti doppi senza calcolare $K$: qui $K$ è complesso.
• Cercare intersezioni con l'asse immaginario con $\omega\ne0$: la parte immaginaria $-2\omega^3$ impone $\omega=0$.
• Dedurre da $K>0$ la stabilità: i due rami che vanno agli zeri $\pm j$ stanno in $\mathrm{Re}>0$.
• In (b), prendere entrambe le soluzioni di $4K^2+44K-81=0$ come valide: solo quella con tutti i coefficienti positivi dà un sistema BIBO stabile.
• Dimenticare di verificare la stabilità dopo aver trovato il polo doppio.