Tracciare i diagrammi di Bode di una funzione di trasferimento

Con i termini elementari (Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →) il tracciamento diventa una procedura meccanica, la prima richiesta di quasi tutti i compiti d'esame (Esercizio 6 · diagramma di Bode e di Nyquist di una funzione con zeri immaginari e poli instabili (tema d'esame luglio 2025) e successivi). Ecco i passi.

Procedura

1. Forma di Bode. Fattorizzare $G(s)$ e portare ogni fattore a termine noto $1$; raccogliere la costante $K_B$ (con segno) e il numero $h$ di poli nell'origine. Annotare: zeri e poli reali (con segno), coppie complesse ($\omega_n,\xi$), radici instabili.
2. Pulsazioni di spezzamento. Elencare in ordine crescente $\frac1{|T_i|}$ e $\omega_{n,i}$, segnando per ciascuna se è zero o polo, semplice o doppia.
3. Modulo asintotico.
   • Per $\omega\to0^+$: retta di pendenza $-20h$ dB/dec, che passa per $20\log_{10}|K_B|$ dB in $\omega=1$ rad/s (anche se $1$ è fuori dalla zona di interesse: la retta si prolunga). Se $h=0$ il modulo parte da $20\log_{10}|K_B|$.
   • Ad ogni pulsazione di spezzamento la pendenza cambia di $+20$ dB/dec (zero reale), $-20$ (polo reale), $+40$ (coppia di zeri complessi), $-40$ (coppia di poli complessi).
   • Per trovare il valore in un punto qualsiasi si percorre la retta: la variazione tra due pulsazioni $\omega_a<\omega_b$ vale (pendenza) $\times\log_{10}\frac{\omega_b}{\omega_a}$.
4. Fase.
   • Valore iniziale: $\arg K_B$ ($0$ o $180^\circ$) $-90^\circ h$.
   • Per ogni radice, una variazione di $\pm90^\circ$ (reale) o $\pm180^\circ$ (coppia complessa): zero stabile $+$, polo stabile $-$, zero instabile $-$, polo instabile $+$. Si disegna la variazione distribuita su circa due decadi attorno alla pulsazione di spezzamento (a tratti: da $0{,}1\omega_i$ a $10\omega_i$).
   • Radici immaginarie pure $\pm j\omega_0$: salto istantaneo di $+180^\circ$ per gli zeri, $-180^\circ$ per i poli, in $\omega_0$.
5. Correzioni. In ogni spezzamento reale il modulo è $3$ dB sopra (zero) o sotto (polo) l'asintoto; per le coppie complesse c'è il picco di antirisonanza o di risonanza ($20\log2\xi$ dB in $\omega_n$ se $\xi<\frac12$) e la fase cambia più bruscamente quanto più $\xi$ è piccolo. Per $\xi=0$ il picco è infinito.

Esempio 1: funzione a fase minima

$$G_1(s)=\frac{100\,(1+s)}{s\,(1+\frac s{10})(1+\frac s{1000})}.$$ Forma di Bode: già in forma, $K_B=100$ ($40$ dB), $h=1$ (un polo nell'origine); zero stabile in $1$; poli stabili in $10$ e $1000$.

Modulo asintotico. Per $\omega<1$ la pendenza è $-20$ dB/dec e passa per $40$ dB in $\omega=1$ (cioè $60$ dB in $0{,}1$, $80$ dB in $0{,}01$). In $\omega=1$ lo zero porta la pendenza a $0$: il modulo resta a $40$ dB fino a $\omega=10$. In $10$ il primo polo riporta a $-20$ dB/dec: in $100$ vale $20$ dB, in $1000$ vale $0$ dB. In $1000$ il secondo polo dà $-40$ dB/dec.

Fase. Parte da $-90^\circ$ (polo nell'origine). Lo zero in $1$ sale di $90^\circ$ (da $0{,}1$ a $10$), il polo in $10$ scende di $90^\circ$ (da $1$ a $100$), il polo in $1000$ scende di $90^\circ$ (da $100$ a $10^4$). Valori esatti: $-84{,}9^\circ$ in $0{,}1$; $-50{,}8^\circ$ in $1$; $-51{,}3^\circ$ in $10$; $-90{,}6^\circ$ in $100$; $-134{,}5^\circ$ in $1000$.

Gli scarti di circa $\pm3$ dB sono nelle pulsazioni di spezzamento ($1$, $10$ ma anche $1000$), come previsto.

Esempio 2: zero instabile (fase non minima)

$$G_2(s)=\frac{10\,(1-s)}{s\,(1+\frac s{10})}.$$ $K_B=10$ ($20$ dB), $h=1$, zero instabile in $1$, polo stabile in $10$. Il modulo è $-20$ dB/dec fino a $\omega=1$ (passando per $20$ dB in $\omega=1$), piatto a $20$ dB fino a $10$, poi $-20$ dB/dec: in $100$ vale $0$ dB. Il modulo è identico a quello della funzione $\frac{10(1+s)}{s(1+s/10)}$ con lo zero stabile. La fase invece parte da $-90^\circ$, lo zero instabile la porta giù di altri $90^\circ$ (in $\omega=1$: $-140{,}7^\circ$) e il polo in $10$ di altri $90^\circ$: tende a $-270^\circ$ (valori esatti $-219{,}3^\circ$ in $10$, $-263{,}7^\circ$ in $100$).

Come leggere un diagramma di Bode

• Guadagno a bassa frequenza: il livello del modulo per $\omega\to0$ (se $h=0$) è $20\log|K_B|$.
• Pulsazione di attraversamento $\omega_A$: dove il modulo vale $0$ dB (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →).
• Banda passante e picco di risonanza: letti sul modulo di $W$ (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →).
• Il passaggio al diagramma di Nyquist usa modulo e fase insieme: per ogni $\omega$ un punto di modulo e fase letti dai due diagrammi (Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →).

Errori comuni

• Dimenticare che la retta iniziale $-20h$ dB/dec passa per $20\log|K_B|$ in $\omega=1$ e non in $\omega=0$.
• Cambiare la pendenza della fase invece di aggiungere un contributo: la fase è una somma di contributi, non una spezzata che si "rimbalza".
• Attribuire fase positiva a uno zero instabile: sale solo quello stabile.
• Non contare i poli nell'origine nella fase iniziale: $-90^\circ h$.
• Dimenticare il segno di $K_B$ nella fase iniziale.