Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario

Le regole di base (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →) dicono da dove partono i rami, dove arrivano e quali tratti dell'asse reale occupano. Per tracciare il luogo bisogna sapere ancora dove i rami si incontrano e lasciano l'asse reale (punti doppi) e dove attraversano l'asse immaginario (cioè per quali $K$ il sistema passa da stabile a instabile).

Punti doppi (multipli)

Un punto $s_0$ è un punto doppiopunto in cui si incontrano due rami del luogo: per un certo K il polinomio caratteristico ha lì una radice doppia del luogo se per un certo $K_0$ l'equazione $d(s)+K_0n(s)=0$ ha $s_0$ come radice di molteplicità almeno due: due rami si incontrano in $s_0$ (e poi si separano: se $s_0$ è reale i due rami lasciano l'asse reale in direzione perpendicolare, $\pm\frac\pi2$). Se la molteplicità è $r$, $r$ rami si incontrano e ripartono con angoli di $\frac\pi r$.

Equazione dei candidati punti doppi. Se $s_0$ è radice doppia di $f(s)=d(s)+K_0n(s)$ allora $f(s_0)=0$ e $f'(s_0)=0$: $$d(s_0)+K_0n(s_0)=0,\qquad d'(s_0)+K_0n'(s_0)=0.$$ Eliminando $K_0$ (dalla prima, $K_0=-\frac{d(s_0)}{n(s_0)}$, e sostituendo nella seconda): $$\boxed{d'(s)\,n(s)-d(s)\,n'(s)=0,\qquad K=-\frac{d(s)}{n(s)}.}$$ Viceversa, se $s_0$ risolve l'equazione e $K_0=-\frac{d(s_0)}{n(s_0)}$ è finito, allora $f(s_0)=0$ e $f'(s_0)=\frac{d'n-dn'}{n}(s_0)=0$: $s_0$ è radice multipla di $d+K_0n$. L'equazione ha grado $n+m-1$ (i termini di grado massimo in $d'n$ e $dn'$ si cancellano parzialmente).

Perché una soluzione dell'equazione può non essere un punto doppio del luogo. Tre casi, da controllare sempre:

1. È un polo o uno zero multiplo di $G$. Se $s_0$ è un polo di molteplicità $\mu\ge2$ (o uno zero di molteplicità $\ge2$), l'equazione contiene il fattore $(s-s_0)^{\mu-1}$: ma lì $K=0$ (o $K=\infty$), quindi è un punto di partenza (o di arrivo) dei rami, non un punto d'incontro: si dividono questi fattori prima di risolvere.
2. $K(s_0)$ non è reale. Il punto $s_0$ appartiene al luogo solo se $K$ è reale: una soluzione complessa con $K$ complesso non è punto del luogo.
3. $K(s_0)$ è reale ma ha il segno sbagliato. Una soluzione con $K<0$ è punto doppio del luogo negativo, non del positivo (e viceversa): va attribuita al luogo giusto.

Se il luogo ha più di un punto doppio in pratica si tracciano solo quelli di segno giusto. Un punto sull'asse reale va verificato anche con la regola 4: i suoi punti devono stare nel luogo.

Esempio 1: tutti e tre i controlli. $G=\dfrac s{(s-1)^2(s+2)^2}$. L'equazione è $(s-1)(s+2)(3s^2+s+2)=0$. Le radici $s=1$ e $s=-2$ sono poli doppi di $G$: da scartare (partenza dei rami). Restano $s=-\frac16\pm\frac{\sqrt{23}}6j$, complesse, con $K=5{,}407\pm8{,}171j$ (stesso segno della parte immaginaria di $s$), quindi complesso: non sono punti del luogo. Il luogo non ha dunque punti doppi.

Esempio 2: punti doppi di segno diverso. $G=\dfrac1{s(s+1)(s+2)}$ ($n(s)=1$, $d=s^3+3s^2+2s$). $d'n-dn'=3s^2+6s+2=0\Rightarrow s=-1\pm\frac1{\sqrt3}=-0{,}4226,\ -1{,}5774$. I valori di $K$: $K(-0{,}4226)=+0{,}385$ e $K(-1{,}5774)=-0{,}385$. Il primo è punto doppio del luogo positivo (sta nel tratto $(-1,0)$); il secondo del luogo negativo (sta in $(-2,-1)$).

Esempio 3: zeri e poli doppi. $G=\dfrac{(s+1)^2}{(s+3)^2(s+2)^2}$. L'equazione è $2(s+1)(s+2)(s+3)(s^2+2s-1)=0$: i fattori $s+1,s+2,s+3$ corrispondono a zeri e poli doppi di $G$ (non punti doppi). Resta $s^2+2s-1=0\Rightarrow s=-1\pm\sqrt2$, cioè $0{,}414$ e $-2{,}414$. I valori di $K$ sono $K(-1+\sqrt2)=-17-12\sqrt2\approx-33{,}97$ e $K(-1-\sqrt2)=-17+12\sqrt2\approx-0{,}029$: entrambi negativi: sono punti doppi del luogo negativo (sull'asse reale, che appartiene tutto al luogo negativo per la regola 4 applicata a poli e zeri doppi).

Intersezioni con l'asse immaginario

Un ramo attraversa l'asse immaginario in $s=j\omega$ ($\omega\ge0$) per il valore $K$ per cui $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$. Poiché $d(j\omega)$ e $n(j\omega)$ sono numeri complessi, l'equazione è una coppia di equazioni reali (parte reale e immaginaria) nelle incognite $(\omega,K)$: $$\mathrm{Re}\,[d(j\omega)+Kn(j\omega)]=0,\qquad\mathrm{Im}\,[d(j\omega)+Kn(j\omega)]=0.$$ Si accettano solo le soluzioni con $\omega$ e $K$ reali. La soluzione $\omega=0$ corrisponde al passaggio dall'origine: $K=-\frac{d(0)}{n(0)}$. Il segno di $K$ dice se l'attraversamento è nel luogo positivo ($K>0$) o negativo ($K<0$).

Esempio: $G=\frac1{s(s+1)(s+2)}$, $d(j\omega)+K=-j\omega^3-3\omega^2+2j\omega+K$. Parte reale: $K-3\omega^2=0$; parte immaginaria: $\omega(2-\omega^2)=0$. Soluzioni: $\omega=0,\ K=0$ (partenza dal polo nell'origine) e $\omega^2=2,\ K=6$. Intersezione in $\pm j\sqrt2$ per $K=6$ (luogo positivo; nel negativo $K=3\omega^2>0$ non è accettabile: nessuna intersezione).

Con Routh. Si costruisce la tabella di $d(s)+Kn(s)$ (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →) e si cerca il $K$ per cui una riga si annulla: $s^3+3s^2+2s+K$ ha righe $(1,2)$, $(3,K)$, $\left(\frac{6-K}3,0\right)$, $(K)$; la riga $s^1$ si annulla per $K=6$ e il polinomio ausiliario dalla riga $s^2$ è $3s^2+K=3s^2+6$, con radici $\pm j\sqrt2$ ✓. Questo metodo dà anche gli intervalli di $K$ per cui il sistema è stabile.

Come si usa in un tracciamento

1. Calcolare l'equazione dei punti doppi, togliere i fattori di poli e zeri multipli, risolvere (spesso resta un secondo grado).
2. Per ogni soluzione calcolare $K$: reale e positivo $\to\mathcal L_+$, reale e negativo $\to\mathcal L_-$, complesso $\to$ scartare.
3. Calcolare le intersezioni con l'asse immaginario.
4. Disegnare i rami: tenendo conto dei punti doppi (dove due rami si incontrano) e degli attraversamenti si capisce quanti rami stanno nel semipiano destro per ogni $K$ (Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →).

Errori comuni

• Non togliere dall'equazione i fattori dei poli/zeri multipli e prenderli per punti doppi.
• Non calcolare $K$: una soluzione dell'equazione non è punto del luogo se $K$ non è reale (e del segno giusto).
• Calcolare $K=-\frac{n}{d}$ invece di $K=-\frac dn$ (si scambiano i valori nei punti doppi).
• Dimenticare di scartare soluzioni di $\omega$ non reali o negative nella ricerca delle intersezioni con l'asse immaginario, o di controllare il segno di $K$.