Esercizio 15luogo delle radici con zeri doppi nell'origine e asse immaginario nel luogo (tema d'esame settembre 2025)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Rami, asse reale e asintoti

$n=4$ poli ($-1$ doppio e $+1$ doppio, quindi due poli instabili) e $m=2$ zeri (l'origine, doppio). Dunque $4$ rami partono dai poli, $2$ finiscono nello zero doppio $0$, $n-m=2$ vanno all'infinito.

Asse reale. Per ogni $\alpha$ reale, i poli e zeri reali a destra sono in numero pari (ogni radice è doppia): $\alpha>1$: $0$; $\alpha\in(0,1)$: $2$ (i poli in $1$); $\alpha\in(-1,0)$: $4$; $\alpha<-1$: $6$. Tutto l'asse reale appartiene al luogo negativo, nessun punto al positivo.

Asintoti. Centro $x_B=\dfrac{(-1-1+1+1)-(0+0)}2=0$: gli asintoti escono dall'origine. Direzioni: luogo positivo $\pm\frac\pi2$ (coincidono con l'asse immaginario); luogo negativo $0$ e $\pi$ (coincidono con l'asse reale).

2. Punti doppi

Con $n=s^2$, $d=(s^2-1)^2=s^4-2s^2+1$: $d'n-dn'=4s(s^2-1)\,s^2-(s^2-1)^2\,2s=2s(s^2-1)\big[2s^2-(s^2-1)\big]=2s(s^2-1)(s^2+1)$. L'equazione dei candidati è $$2\,s\,(s-1)(s+1)(s^2+1)=0.$$ Le radici $s=0$ (zero doppio, $K=\infty$) e $s=\pm1$ (poli doppi, $K=0$) non sono punti doppi. Restano $s=\pm j$, con $$K=-\frac{d(\pm j)}{n(\pm j)}=-\frac{\big((\pm j)^2-1\big)^2}{(\pm j)^2}=-\frac{(-2)^2}{-1}=4>0:$$ $\pm j$ sono punti doppi del luogo positivo ($K=4$).

3. Intersezioni con l'asse immaginario

$d+Kn=s^4+(K-2)s^2+1$. In $s=j\omega$ il polinomio è reale: $\omega^4-(K-2)\omega^2+1=0$, cioè $$K=\frac{\omega^4+2\omega^2+1}{\omega^2}=\frac{(\omega^2+1)^2}{\omega^2}.$$ Per ogni $\omega>0$ esiste un $K>0$ che soddisfa l'equazione: ogni punto dell'asse immaginario appartiene al luogo positivo. Il valore minimo di $K$ è $4$ (in $\omega=1$): sull'asse immaginario il luogo esiste solo per $K\ge4$. Per $K>4$ i quattro poli di $W$ sono tutti sull'asse immaginario: $s^2=\frac{(2-K)\pm\sqrt{(K-2)^2-4}}2<0$ (due valori negativi distinti), cioè $s=\pm j\omega_1,\ \pm j\omega_2$ con $\omega_1\omega_2=1$.

4. I due luoghi

Luogo positivo. I due rami da $-1$ (doppio) e i due da $+1$ (doppio) lasciano l'asse reale, formano due archi nel semipiano sinistro e nel destro (simmetrici l'uno dell'altro rispetto all'asse immaginario perché $d+Kn$ dipende da $s^2$) e si incontrano a coppie in $\pm j$ per $K=4$. Da $\pm j$ due rami vanno verso l'origine (zeri), salendo e scendendo lungo l'asse immaginario, e due vanno all'infinito lungo l'asse immaginario con direzioni $\pm\frac\pi2$: per $K>4$ tutti i poli sono sull'asse immaginario.

Luogo negativo. Contenuto nell'asse reale: da $-1$ un ramo va a $-\infty$ e uno a $0$, da $+1$ un ramo va a $0$ e uno a $+\infty$.

5. Stabilità BIBO

• $0<K<4$: $s^2=\frac{(2-K)\pm j\sqrt{4-(K-2)^2}}{2}$ è complesso: quattro poli simmetrici rispetto all'origine, due in $\mathrm{Re}>0$ e due in $\mathrm{Re}<0$ (per $K=1$: $\pm0{,}866\pm0{,}5j$).
• $K=4$: doppio in $\pm j$.
• $K>4$: quattro poli immaginari puri (per $K=5$: $\pm0{,}618j,\ \pm1{,}618j$): non BIBO stabile, nessuno in $\mathrm{Re}>0$.
• $K<0$: $s^2=\frac{(2-K)\pm\sqrt{(K-2)^2-4}}2$ ha due soluzioni positive (somma $2-K>0$, prodotto $1$): i quattro poli sono reali, $\pm\sigma_1$ e $\pm\sigma_2$, quindi due in $\mathrm{Re}>0$ (per $K=-1$: $\pm1{,}618$ e $\pm0{,}618$).

Risposta. $W$ non è mai BIBO stabile: per ogni $K\ne0$ ha almeno due poli a parte reale non negativa (due in $\mathrm{Re}>0$ per $K<4$, quattro sull'asse immaginario per $K\ge4$).

Verifica con Routh

$d+Kn=s^4+(K-2)s^2+1$: i coefficienti di $s^3$ e $s^1$ sono nulli, quindi la seconda riga della tabella è nulla fin dall'inizio: con un polinomio pari non c'è mai stabilità asintotica e la tabella non fornisce altro (il polinomio ausiliario $s^4+(K-2)s^2+1$ coincide con il polinomio stesso). Per la regola di Cartesio un polinomio con coefficienti nulli non può essere di Hurwitz ✓.

Errori comuni

• Non accorgersi che $d+Kn$ è un polinomio pari (dipende solo da $s^2$): le radici vengono in coppie $\pm s$, quindi se una è in $\mathrm{Re}<0$ l'opposta è in $\mathrm{Re}>0$ (o entrambe sull'asse): la stabilità è impossibile per ogni $K$.
• Cercare asintoti verticali in $\mathrm{Re}=-1$: il centro è $0$ (i poli stanno in $\pm1$).
• Scambiare $K$ e $\frac1K$ nel calcolo dei punti doppi: $K=-\frac dn$.
• Tracciare il luogo positivo solo nel semipiano sinistro: per la simmetria di $d+Kn$ rispetto a $s\to-s$ il luogo è simmetrico rispetto all'asse immaginario.
• Concludere "stabile per $K>4$" perché i poli sono sull'asse e non nel semipiano destro: servono poli in $\mathrm{Re}<0$ stretto.